高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第28講 4.5.2用二分法求方程的近似解（教師版）

第06講4.5.2用二分法求方程的近似解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解運(yùn)用二分法逼近方程近似解的數(shù)學(xué)思想。②了解二分法只能用于求變號(hào)零點(diǎn)的方法。③借助數(shù)學(xué)工具用二分法求方程的近似解。④能解決與方程近似解有關(guān)的問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)用二分法進(jìn)行簡(jiǎn)單方程近似解的求解，并能根據(jù)題的要求，解決與二分法相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題的處理。知識(shí)點(diǎn)01：區(qū)間中點(diǎn)對(duì)于區(qū)間，其中點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)02：二分法1、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷的把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection)【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，對(duì)于A，在零點(diǎn)的左右附近，函數(shù)值不改變符號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).故選：A．2、用二分法求零點(diǎn)的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)（3）計(jì)算;①若（此時(shí))，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若（此時(shí))，則令；③若（此時(shí))，則令；（4）判斷是否達(dá)到精確度，若，則得到零點(diǎn)近似值(或)，否則重復(fù)2--4【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算、的值，第二次計(jì)算的值，第三次計(jì)算的值，則．【答案】/【詳解】因?yàn)?，，取的中點(diǎn)，則，所以，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故為區(qū)間的中點(diǎn)值，因此，.故答案為：.題型01二分法概念的理解【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于（

）A．變號(hào)零點(diǎn) B．不變號(hào)零點(diǎn)C．都適合 D．都不適合【答案】A【詳解】由零點(diǎn)存在定理可知，二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值適合于在零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值異號(hào)，即適用于變號(hào)零點(diǎn).故選：A.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是：函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即穿過(guò)x軸，據(jù)此分析選項(xiàng)：A選項(xiàng)中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)，故選：A.【典例3】（多選）（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)校考期中）下列函數(shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】選項(xiàng)A：由，可得在上存在零點(diǎn)；選項(xiàng)B：由，可得在上存在零點(diǎn)；選項(xiàng)C：，則其零點(diǎn)為，但不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，因而不能用二分法求此函數(shù)零點(diǎn)；選項(xiàng)D：由，可得在上存在零點(diǎn).故選：ABD【變式1】（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)，則不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn).故選：B.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點(diǎn)的是（

）A．（k，b為常數(shù)，且）B．（a，b，c為常數(shù)，且）C．D．（，k為常數(shù)）【答案】A【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知其沒(méi)有函數(shù)零點(diǎn)，故C，D不能用“二分法”求其零點(diǎn)，故CD錯(cuò)誤；對(duì)于二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，不能用二分法，故B錯(cuò)誤；由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，且存在函數(shù)零點(diǎn)，故可以用“二分法”求其零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確.故選：A【變式3】（2023·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)圖象均與軸有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是【答案】③【詳解】若函數(shù)的零點(diǎn)能用二分法求解，則在零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值符號(hào)相反；由圖象可知：只有③中圖象滿(mǎn)足此條件.故答案為：③．題型02確定零點(diǎn)（根）所在區(qū)間【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)必屬于區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解法一：二分法由已知可求得，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋訡項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以D項(xiàng)正確.解法二：因?yàn)椋?，即函?shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為2，故D正確.故選：D.【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)區(qū)間利用兩次“二分法”，可確定所在的區(qū)間為．【答案】/【詳解】解：，，而，∴函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間．又，，∴函數(shù)的零點(diǎn)在．故答案為：．【典例3】（2023秋·山東濟(jì)寧·高一?？计谀┮阎x在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若在內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】∵,∴，即，∴函數(shù)f(x)的周期為4．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，則?x∈[?2,0]，∴，∵f(x)是偶函數(shù)，∴由f(x)?loga(x+2)=0，得f(x)=loga(x+2)，令作出函數(shù)的圖象如圖所示：①當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)g(x)=loga(x+2)單調(diào)遞減，此時(shí)兩函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件；②當(dāng)a>1時(shí)，要使方程f(x)?loga(x+2)=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則需函數(shù)f(x)與g(x)=loga(x+2)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則需滿(mǎn)足，即，解得．故a的取值范圍是．答案：C【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高一校考期中）用二分法求方程在內(nèi)的近似解，已知判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以在上有唯一零點(diǎn)，即，故，所以方程的根落在區(qū)間上，故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，且單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，故選：A【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以用二分法求方程近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是.故選：B.題型03用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某同學(xué)在用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，．得到如下函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)：x11.251.3751.406251.43751.50.05670.14600.3284則下列說(shuō)法正確的是（

）A．1.25是滿(mǎn)足精確度為0.1的近似值 B．1.5是滿(mǎn)足精確度為0.1的近似值C．1.4375是滿(mǎn)足精確度為0.05的近似值 D．1.375是滿(mǎn)足精確度為0.05的近似值【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，故AC錯(cuò)誤；因?yàn)?，，且，故D正確；因?yàn)?，且故C錯(cuò)誤；故選:D【典例2】（多選）（2023秋·高一單元測(cè)試）某同學(xué)求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：則方程的近似解（精確度）可取為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合表格可知，方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.5625）內(nèi)，又精確度0.1，∴方程的近似解（精確度0.1）可取為2.51，2.56.故選：AB．【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：據(jù)此數(shù)據(jù)，可知的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為（誤差不超過(guò)0.005）．【答案】1.55935（答案不唯一）【詳解】解：因?yàn)椋?，根?jù)零點(diǎn)存在性定理，可知零點(diǎn)在內(nèi)，由二分法可得零點(diǎn)的近似值可取為，所以的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為1.55935，誤差不超過(guò)0.005．故答案為：1.55935（答案不唯一）.【變式1】（2023春·江蘇南通·高一校考期末）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）為（

）x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【答案】B【詳解】易知在上單調(diào)遞增，由表格得，且，∴函數(shù)零點(diǎn)在，∴一個(gè)近似值為0.57．故選:B．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，因?yàn)?，，所以根在?nèi)，因?yàn)椋圆粷M(mǎn)足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以根在區(qū)間，因?yàn)?，所以不滿(mǎn)足精確度，繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以根在區(qū)間內(nèi)，因?yàn)闈M(mǎn)足精確度，因?yàn)?，所以根在?nèi)，所以方程的一個(gè)近似解為，故選：C【變式3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州市廣陵區(qū)紅橋高級(jí)中學(xué)?？计谥校┯枚址ㄇ蠓匠痰慕平猓蟮玫牟糠趾瘮?shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程的近似解可取為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，，由精確度為可知，，故方程的一個(gè)近似解為，選C.題型04二分法的過(guò)程【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高一?？计谥校┯枚址ㄇ蠓匠淘趦?nèi)的近似解，已知判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，，所以在上有唯一零點(diǎn)，即，故，所以方程的根落在區(qū)間上，故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)時(shí)，精度為0.001，則經(jīng)過(guò)一次二分就結(jié)束計(jì)算的條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)二分法的步驟知，經(jīng)過(guò)一次計(jì)算，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?，?dāng)時(shí)，結(jié)束計(jì)算，故，故選：B.【典例3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度小于0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計(jì)算.【答案】3【詳解】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算，理由如下：取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)?，所以區(qū)間的中點(diǎn)即為零點(diǎn)的近似值，即，所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算.故答案為：3【變式1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值的精確度為0.001，若只從二等分區(qū)間的角度來(lái)考慮，則對(duì)區(qū)間至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次【答案】D【詳解】設(shè)對(duì)區(qū)間至少二等分n次，此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度為2，則第n次二等分后區(qū)間長(zhǎng)為，依題意得，所以，，所以.故選：D【變式2】（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算、的值，第二次計(jì)算的值，第三次計(jì)算的值，則．【答案】/【詳解】因?yàn)?，，取的中點(diǎn)，則，所以，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故為區(qū)間的中點(diǎn)值，因此，.故答案為：.【變式3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用“二分法”研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，可知必存在零點(diǎn)，則第二次應(yīng)計(jì)算，這時(shí)可以判斷零點(diǎn)．【答案】【詳解】因?yàn)榈谝淮斡?jì)算，可知必存在零點(diǎn)，又，，由零點(diǎn)存在性定理可知.故答案為：；A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)校考期末）函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求方程在內(nèi)近似解的過(guò)程中可得，，，則方程的解所在區(qū)間為（

）A． B．C． D．不能確定【答案】B【詳解】解：因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，且，，，所以，，所以在上存在零點(diǎn)，即方程的解所在區(qū)間為.故選：B2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精確度為0.05）可能是（

）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066【答案】C【詳解】由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)方程的解的近似值為，由表格得，所以,因?yàn)?，所以方程的近似解可取?.5625．故選：C.3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（）A．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算【答案】C【詳解】，在內(nèi)有零點(diǎn)；，沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該繼續(xù)計(jì)算.故選：C.4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于（

）A．1 B． C．0.25 D．0.75【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，，所以在?nèi)存在零點(diǎn)，根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計(jì)算，其中；故選：C5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是；第三次所取的區(qū)間可能是.故選：.6．（2023春·全國(guó)·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)，則不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn).故選：B.7．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn),要求精確度為時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：開(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)過(guò)一次操作,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，經(jīng)過(guò)此操作后,區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解,要求精確度為，，解得，故選：C.8．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來(lái)至少需要計(jì)算（

）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】開(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)一次二分法計(jì)算，區(qū)間長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，經(jīng)過(guò)次二分法計(jì)算后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋质褂枚址ㄓ?jì)算函數(shù)的在區(qū)間上零點(diǎn)的近似解時(shí)，要求近似解的精確度為0.1，所以，則，又，所以，又，故，所以接下來(lái)至少需要計(jì)算你次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．故選：C.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，，則函數(shù)的一個(gè)誤差不超過(guò)的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)可以為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)?，，，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，所以，函數(shù)的一個(gè)誤差不超過(guò)的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)可以為或或.故選：BCD.10．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是：（）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1B．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2C．用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為（精確到）D．用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解可取為（精確到）【答案】AC【詳解】解：易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所?/p>