第六章圓周運動

第六章圓周運動1圓周運動一、線速度1.定義：物體做圓周運動，在一段很短的時間Δt內(nèi)，通過的弧長為Δs.則Δs與Δt的比值叫作線速度，公式：v＝eq\f(Δs,Δt).2.意義：描述做圓周運動的物體運動的快慢.3.方向：為物體做圓周運動時該點的切線方向.(1)定義：物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫作勻速圓周運動.(2)性質(zhì)：線速度的方向是時刻變化的，所以是一種變速運動，這里的“勻速”是指速率不變.二、角速度1.定義：連接物體與圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度與轉(zhuǎn)過這一角度所用時間的比值，公式：ω＝eq\f(Δθ,Δt).2.意義：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢.3.單位：弧度每秒，符號是rad/s或rad·s－1.不變的運動.三、周期T：做勻速圓周運動的物體，運動一周所用的時間，單位：秒(s).n：物體轉(zhuǎn)動的圈數(shù)與所用時間之比.單位：轉(zhuǎn)每秒(r/s)或轉(zhuǎn)每分(r/min).3.周期和轉(zhuǎn)速的關(guān)系：T＝eq\f(1,n)(n的單位為r/s時).四、線速度與角速度的關(guān)系1.在圓周運動中，線速度的大小等于角速度大小與半徑的乘積.2.公式：v＝ωr。五、線速度和勻速圓周運動1.對線速度的理解(1)線速度是物體做圓周運動的瞬時速度，線速度越大，物體運動得越快.(2)線速度是矢量，它既有大小，又有方向，線速度的方向在圓周各點的切線方向上.(3)線速度的定義式：v＝eq\f(Δs,Δt)，Δs代表在時間Δt內(nèi)通過的弧長.2.對勻速圓周運動的理解(1)由于勻速圓周運動是曲線運動，其速度方向沿著圓周上各點的切線方向，所以速度的方向時刻在變化.(2)勻速的含義：速度的大小不變，即速率不變.(3)運動性質(zhì)：勻速圓周運動是一種變速運動，其所受合外力不為零。六、角速度、周期和轉(zhuǎn)速1.對角速度的理解(1)角速度描述做圓周運動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢，角速度越大，物體轉(zhuǎn)動得越快.(2)角速度的定義式：ω＝eq\f(Δθ,Δt)，Δθ代表在時間Δt內(nèi)物體與圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度.(3)在勻速圓周運動中，角速度不變.2.對周期和頻率(轉(zhuǎn)速)的理解(1)勻速圓周運動具有周期性，每經(jīng)過一個周期，線速度大小和方向與初始時刻完全相同.(2)當(dāng)單位時間取1s時，f＝n.頻率和轉(zhuǎn)速對勻速圓周運動來說在數(shù)值上是相等的，但頻率具有更廣泛的意義，兩者的單位也不相同.3.周期、頻率和轉(zhuǎn)速間的關(guān)系：T＝eq\f(1,f)＝eq\f(1,n)。七、描述勻速圓周運動各物理量之間的關(guān)系1.描述勻速圓周運動各物理量之間的關(guān)系(1)v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)＝2πnr(2)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)＝2πn(3)v＝ωr2.各物理量之間關(guān)系的理解(1)角速度、周期、轉(zhuǎn)速之間關(guān)系的理解：物體做勻速圓周運動時，由ω＝eq\f(2π,T)＝2πn知，角速度、周期、轉(zhuǎn)速三個物理量，只要其中一個物理量確定了，其余兩個物理量也確定了.(2)線速度與角速度之間關(guān)系的理解：由線速度大小v＝ω·r知，r一定時，v∝ω；v一定時，ω∝eq\f(1,r)；ω一定時，v∝r。八、同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動問題同軸轉(zhuǎn)動皮帶傳動齒輪傳動裝置A、B兩點在同軸的一個圓盤上兩個輪子用皮帶連接(皮帶不打滑)，A、B兩點分別是兩個輪子邊緣上的點兩個齒輪嚙合，A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點特點角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等規(guī)律線速度大小與半徑成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)角速度與半徑成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)角速度與半徑成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)2向心力一、向心力1.定義：做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力叫作向心力.2.方向：始終沿著半徑指向圓心.3.作用：只改變速度的方向，不改變速度的大小.作用效果命名的，它由某個力或者幾個力的合力提供.5.表達式：(1)Fn＝meq\f(v2,r)(2)Fn＝mω2r.二、變速圓周運動和一般的曲線運動1.變速圓周運動的合力：變速圓周運動的合力產(chǎn)生兩個方向的效果，如圖1所示.圖1(1)跟圓周相切的分力Ft：改變線速度的大小.(2)指向圓心的分力Fn：改變線速度的方向.(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動.(2)處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，每一小段可以看作圓周運動的一部分，分析質(zhì)點經(jīng)過曲線上某位置的運動時，可以采用圓周運動的分析方法來處理.三、實驗：探究向心力的大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系探究方案一用繩和沙袋定性研究如圖3(a)所示，繩子的一端拴一個小沙袋(或其他小物體)，將手舉過頭頂，使沙袋在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，此時沙袋所受的向心力近似等于繩對沙袋的拉力.圖3在離小沙袋重心40cm的地方打一個繩結(jié)A，在離小沙袋重心80cm的地方打另一個繩結(jié)B.同學(xué)甲看手表計時，同學(xué)乙按下列步驟操作：操作一手握繩結(jié)A，如圖(b)所示，使沙袋在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，每秒轉(zhuǎn)動1周.體會此時繩子拉力的大小.操作二手仍然握繩結(jié)A，但使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動2周，體會此時繩子拉力的大小.操作三改為手握繩結(jié)B，使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動1周，體會此時繩子拉力的大小.操作四手握繩結(jié)A，換用質(zhì)量較大的沙袋，使沙袋在水平面內(nèi)每秒轉(zhuǎn)動1周，體會此時繩子拉力的大小.(1)通過操作一和二，比較在半徑、質(zhì)量相同的情況下，向心力大小與角速度的關(guān)系.(2)通過操作一和三，比較在質(zhì)量、角速度相同的情況下，向心力大小與半徑的關(guān)系.(3)通過操作一和四，比較在半徑、角速度相同的情況下，向心力大小與質(zhì)量的關(guān)系.3.實驗結(jié)論：半徑越大，角速度越大，質(zhì)量越大，向心力越大.探究方案二用向心力演示器定量探究向心力演示器如圖4所示，勻速轉(zhuǎn)動手柄1，可使變速塔輪2和3以及長槽4和短槽5隨之勻速轉(zhuǎn)動.皮帶分別套在塔輪2和3上的不同圓盤上，可使兩個槽內(nèi)的小球分別以幾種不同的角速度做勻速圓周運動.小球做圓周運動的向心力由橫臂6的擋板對小球的壓力提供，球?qū)醢宓姆醋饔昧?，通過橫臂的杠桿使彈簧測力套筒7下降，從而露出標(biāo)尺8，根據(jù)標(biāo)尺8上露出的紅白相間等分標(biāo)記，可以粗略計算出兩個球所受向心力的比值.圖4(1)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動半徑和轉(zhuǎn)動角速度相同時，探究向心力與小球質(zhì)量的關(guān)系.(2)皮帶套在塔輪2、3半徑相同的圓盤上，小球轉(zhuǎn)動角速度和質(zhì)量相同時，探究向心力與轉(zhuǎn)動半徑的關(guān)系.(3)皮帶套在塔輪2、3半徑不同的圓盤上，小球質(zhì)量和轉(zhuǎn)動半徑相同時，探究向心力與角速度的關(guān)系.探究方案三利用力傳感器和光電傳感器探究如圖5所示，利用力傳感器測量重物做圓周運動的向心力，利用天平、刻度尺、光電傳感器分別測量重物的質(zhì)量m、做圓周運動的半徑r及角速度ω.實驗過程中，力傳感器與DIS數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)相連，可直接顯示力的大小.光電傳感器與DIS數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)相連，可直接顯示擋光桿擋周運動的角速度.圖5實驗時采用控制變量法，分別研究向心力與質(zhì)量、半徑、角速度的關(guān)系.(1)設(shè)計數(shù)據(jù)記錄表格，并將實驗數(shù)據(jù)記錄到表格中(表一、表二、表三)①m、r一定(表一)序號123456Fnωω2②m、ω一定(表二)序號123456Fnr③r、ω一定(表三)序號123456Fnm(2)數(shù)據(jù)處理分別作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的圖像，若Fn－ω圖像不是直線，可以作Fn－ω2圖像.(3)實驗結(jié)論：①在質(zhì)量和半徑一定的情況下，向心力的大小與角速度的平方成正比.②在質(zhì)量和角速度一定的情況下，向心力的大小與半徑成正比.③在半徑和角速度一定的情況下，向心力的大小與質(zhì)量成正比.3向心加速度一、勻速圓周運動的加速度方向1.定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，這個加速度叫作向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.二、勻速圓周運動的加速度大小an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r.2.向心加速度的公式既適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動.三、對向心加速度及其方向的理解1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小.3.圓周運動的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發(fā)生變化，圓周運動是變加速曲線運動.4.變速圓周運動的加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢，所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。四、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式：①an＝eq\f(v2,r)；②an＝ω2r.(2)拓展公式：①an＝eq\f(4π2,T2)r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.2.向心加速度公式的適用范圍向心加速度公式不僅適用于勻速圓周運動，也適用于非勻速圓周運動，v即為那一位置的線速度圓心.3.向心加速度與半徑的關(guān)系(如圖2所示)圖2【特別提醒】向心加速度公式的應(yīng)用技巧向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關(guān)系，必須在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關(guān)系.(1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同.(2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比。4生活中的圓周運動一、火車轉(zhuǎn)彎1.如果鐵道彎道的內(nèi)外軌一樣高，火車轉(zhuǎn)彎時，由外軌對輪緣的彈力提供向心力，由于質(zhì)量太大，因此需要很大的向心力，靠這種方法得到向心力，不僅鐵軌和車輪極易受損，還可能使火車側(cè)翻.(1)彎道處外軌略高于內(nèi)軌.(2)火車轉(zhuǎn)彎時鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè).支持力與重力的合力指向圓心.(3)在修筑鐵路時，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時所需的向心力幾乎完全由重力G和彈力FN的合力來提供.3.彎道的特點鐵路彎道處，外軌高于內(nèi)軌，若火車按規(guī)定的速度v0行駛，轉(zhuǎn)彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtanθ＝meq\f(v\o\al(2,0),R)，如圖2所示，則v0＝eq\r(gRtanθ)，其中R為彎道半徑，θ為軌道平面與水平面間的夾角。圖24.速度與軌道壓力的關(guān)系(1)當(dāng)火車行駛速度v等于規(guī)定速度v0時，所需向心力僅由重力和支持力的合力提供，此時內(nèi)外軌道對火車無擠壓作用.(2)當(dāng)火車行駛速度v>v0時，外軌道對輪緣有側(cè)壓力.(3)當(dāng)火車行駛速度v<v0時，內(nèi)軌道對輪緣有側(cè)壓力.二、拱形橋汽車過拱形橋汽車過凹形橋受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)對橋的壓力FN′＝mg－meq\f(v2,r)FN′＝mg＋meq\f(v2,r)結(jié)論汽車對橋的壓力小于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小汽車對橋的壓力大于汽車的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大三、航天器中的失重現(xiàn)象1.向心力分析：宇航員受到的地球引力與座艙對他的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律：mg－FN＝meq\f(v2,R)，所以FN＝mg－meq\f(v2,R).2.完全失重狀態(tài)：當(dāng)v＝eq\r(Rg)時，座艙對宇航員的支持力FN＝0，宇航員處于完全失重狀態(tài).四、離心運動1.定義：做圓周運動的物體沿切線飛出或做逐漸遠離圓心的運動.2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.(1)應(yīng)用：離心干燥器；洗衣機的脫水筒；離心制管技術(shù)；分離血漿和紅細(xì)胞的離心機.(2)防止：轉(zhuǎn)動的砂輪、飛輪的轉(zhuǎn)速不能太高；在公路彎道，車輛不允許超過規(guī)定的速度.4.物體做離心運動的原因提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足夠的向心力.注意：物體做離心運動并不是物體受到“離心力”“離心力”實際上并不存在.5.合力與向心力的關(guān)系(如圖3所示).圖3(1)若F合＝mrω2或F合＝eq\f(mv2,r)，物體做勻速圓周運動，即“提供”滿足“需要”.(2)若F合>mrω2或F合>eq\f(mv2,r)，物體做近心運動，即“提供過度”.(3)若0<F合<mrω2或0<F合<eq\f(mv2,r)，則合力不足以將物體“拉回”到原軌道上，而做離心運動，即“提供不足”.四、汽車過橋問題與航天器中的失重現(xiàn)象(1)汽車過拱形橋(如圖4)圖4汽車在最高點滿足關(guān)系：mg－FN＝meq\f(v2,R)，即FN＝mg－meq\f(v2,R).①當(dāng)v＝eq\r(gR)時，F(xiàn)N＝0.②當(dāng)0≤v<eq\r(gR)時，0<FN≤mg.③當(dāng)v>eq\r(gR)時，汽車將脫離橋面做平拋運動，易發(fā)生危險.說明：汽車通過拱形橋的最高點時，向心加速度向下，汽車對橋的壓力小于其自身的重力，而且車速越大，壓力越小，此時汽車處于失重狀態(tài).(2)汽車過凹形橋(如圖5）圖5汽車在最低點滿足關(guān)系：FN－mg＝eq\f(mv2,R)，即FN＝mg＋eq\f(mv2,R).說明：汽車通過凹形橋的最低點時，向心加速度向上，而且車速越大，壓力越大，此時汽車處于超重狀態(tài).由于汽車對橋面的壓力大于其自身重力，故凹形橋易被壓垮，因而實際中拱形橋多于凹形橋.2.繞地球做圓周運動的衛(wèi)星、飛船、空間站處于完全失重狀態(tài).(1)質(zhì)量為M的航天器在近地軌道運行時，航天器的重力提供向心力，滿足關(guān)系：Mg＝Meq\f(v2,R)，則v＝eq\r(gR).(2)質(zhì)量為m的航天員：設(shè)航天員受到的座艙的支持力為FN，則mg－FN＝eq\f(mv2,R).當(dāng)v＝eq\r(gR)時，F(xiàn)N＝0，即航天員處于完全失重狀態(tài).(3)航天器內(nèi)的任何物體都處于完全失重狀態(tài).