《流體力學(xué)》典型例題與解答

...wd......wd......wd...《流體力學(xué)》典型例題〔9大類(lèi)〕例1~例3——牛頓內(nèi)摩擦定律〔牛頓剪切公式〕應(yīng)用例4~例5——流體靜力學(xué)根本方程式的應(yīng)用——用流體靜力學(xué)根本方程和等壓面計(jì)算某點(diǎn)的壓強(qiáng)或兩點(diǎn)之間的壓差。例6~例8——液體的相對(duì)平衡——流體平衡微分方程中的質(zhì)量力同時(shí)考慮重力和慣性力〔補(bǔ)充內(nèi)容〕〔1〕等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中液體的相對(duì)平衡〔與坐標(biāo)系選取有關(guān)〕〔2〕等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的平衡〔與坐標(biāo)系選取有關(guān)〕例9——求流線、跡線方程；速度的隨體導(dǎo)數(shù)〔歐拉法中的加速度〕；渦量計(jì)算及流動(dòng)有旋、無(wú)旋判斷例10~16——速度勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)、速度場(chǎng)之間的互求例17——計(jì)算流體微團(tuán)的線變形率、角變形率及旋轉(zhuǎn)角速度例18~20——?jiǎng)恿慷ɡ響?yīng)用〔課件中求彎管受力的例子〕例21~22——總流伯努利方程的應(yīng)用例23——綜合：總流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流態(tài)判斷、管路系統(tǒng)沿程與局部損失計(jì)算例題1：如以下圖，質(zhì)量為m＝5kg、底面積為S＝40cm×60cm的矩形平板，以U＝1m/s的速度沿著與水平面成傾角＝的斜面作等速下滑運(yùn)動(dòng)。平板與斜面之間的油層厚度＝1mm，假設(shè)由平板所帶動(dòng)的油層的運(yùn)動(dòng)速度呈線性分布。求油的動(dòng)力粘性系數(shù)。解：由牛頓內(nèi)摩擦定律，平板所受的剪切應(yīng)力又因等速運(yùn)動(dòng)，慣性力為零。根據(jù)牛頓第二定律：，即：粘性是流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，具有的抵抗產(chǎn)生剪切變形速率能力的量度；粘性是流體的一種固有物理屬性；流體的粘性具有傳遞運(yùn)動(dòng)和阻滯運(yùn)動(dòng)的雙重性。例題2：如以下圖，轉(zhuǎn)軸的直徑d＝0.36m，軸承的長(zhǎng)度l＝1m，軸與軸承的縫隙寬度＝0.23mm，縫隙中充滿(mǎn)動(dòng)力粘性系數(shù)的油，假設(shè)軸的轉(zhuǎn)速。求抑制油的粘性阻力所消耗的功率。解：由牛頓內(nèi)摩擦定律，軸與軸承之間的剪切應(yīng)力粘性阻力〔摩擦力〕：抑制油的粘性阻力所消耗的功率：例題3：如以下圖，直徑為的兩個(gè)圓盤(pán)相互平行，間隙中的液體動(dòng)力黏度系數(shù)為，假設(shè)下盤(pán)固定不動(dòng)，上盤(pán)以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，此時(shí)所需力矩為，求間隙厚度的表達(dá)式。解：由于圓盤(pán)不同半徑處的線速度不同，在半徑處取徑向?qū)挾鹊奈⒃娣e環(huán)，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，可得該微元面積環(huán)上受到的切向力為：例題4：如以下圖的雙U型管，用來(lái)測(cè)定比水小的液體的密度，試用液柱高差來(lái)確定未知液體的密度〔取管中水的密度＝1000kg/m3〕。解：經(jīng)分析可知圖中1-1和2-2為兩組等壓面。根據(jù)等壓面的性質(zhì)和流體靜力學(xué)根本方程，采用相對(duì)壓強(qiáng)可得：左側(cè)：，右側(cè)：中間：聯(lián)立可得：例題5：如以下圖，U型管中水銀面的高差h＝0.32m，其他流體為水。容器A和容器B中心的位置高差z＝1m。求A、B兩容器中心處的壓強(qiáng)差〔取管中水的重度＝9810N/m3，水銀的重度＝133416N/m3〕。解：圖中1-1、2-2為2組等壓面。根據(jù)等壓面的性質(zhì)和流體靜力學(xué)根本方程，可得：，，例題6：如以下圖，僅在重力場(chǎng)作用下的無(wú)蓋水箱高H＝1.2m，長(zhǎng)L＝3m，靜止時(shí)盛水深度h=0.9m?，F(xiàn)水箱以的加速度沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng)。假設(shè)取水的密度，水箱中自由水面的壓強(qiáng)＝98000Pa。試求：〔1〕水箱中自由水面的方程和水箱中的壓強(qiáng)分布?！?〕水箱中的水不致溢出時(shí)的最大加速度。解：〔1〕如以下圖，將固定在水箱上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于靜止時(shí)自由水面的中點(diǎn)，z軸垂直向上，x軸與加速度的方向一致。則水箱運(yùn)動(dòng)時(shí)單位質(zhì)量水受到的質(zhì)量力和水的加速度分量分別為代入非慣性坐標(biāo)系中的壓力全微分公式，得①積分得利用邊界條件確定積分常數(shù)：在坐標(biāo)原點(diǎn)O〔〕處，，得由式①可得水箱內(nèi)的壓強(qiáng)分布對(duì)于水箱中的等壓面，有，所以由式①可得等壓面的微分方程積分得上式給出了一簇斜率為的傾斜平面，就代表水箱加速運(yùn)動(dòng)的一簇等壓面，自由水面是等壓面中的一個(gè)，因自由水面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，可確定積分常數(shù)。因此自由水面方程為〔2〕假設(shè)水箱以加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，其中的水剛好沒(méi)有溢出，且此時(shí)水箱右側(cè)水的深度為，則根據(jù)加速前后水的體積不變的性質(zhì)可得②又根據(jù)水箱作水平等加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，自由外表的斜率與幾何長(zhǎng)度之間的關(guān)系③②和③式聯(lián)立求解，得：例題7：有一盛水的旋轉(zhuǎn)圓筒，直徑D＝1m，高H＝2m，靜止時(shí)水深為h＝1.5m。求：〔1〕為使水不從筒邊溢出，旋轉(zhuǎn)角速度應(yīng)控制在多大〔2〕當(dāng)＝6rad/s時(shí)，筒底G、C點(diǎn)處的相對(duì)壓強(qiáng)〔相對(duì)于自由水面〕分別為多少解：〔1〕假設(shè)將坐標(biāo)原點(diǎn)放在筒底的中心位置，并假設(shè)自由外表最低點(diǎn)的高度為，則由：，可推出自由水面〔為一等壓面〕的方程：根據(jù)在水沒(méi)有溢出的情況下，旋轉(zhuǎn)前后水的體積不變的性質(zhì)，可得：由此可求得：，帶入自由外表方程得：假設(shè)使到達(dá)某一最大值而水不溢出，則有時(shí)，，帶入上式，得〔2〕旋轉(zhuǎn)容器中任意一點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)可表達(dá)為將G點(diǎn)條件：帶入得：同理，將C點(diǎn)條件：帶入得：例題8：如以下圖為一圓柱形容器，直徑為，高，容器內(nèi)裝水，水深為，使容器繞垂直軸做等角速旋轉(zhuǎn)，試確定水正好不溢出來(lái)的轉(zhuǎn)速。解：如以下圖，將坐標(biāo)原點(diǎn)o放在筒底的中心位置，并假設(shè)自由外表最低點(diǎn)的高度為，則由：，可推出自由水面〔為一等壓面〕的方程：根據(jù)在水沒(méi)有溢出的情況下，旋轉(zhuǎn)前后水的體積不變的性質(zhì)，可得：由此可求得：，帶入自由外表方程得：假設(shè)使到達(dá)某一最大值而水不溢出，將時(shí)，，帶入上式，得例9平面直角坐標(biāo)系中的二維速度場(chǎng)。試求：〔1〕跡線方程；〔2〕流線方程；〔3〕時(shí)刻，通過(guò)〔1，1〕點(diǎn)的流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的加速度；〔4〕渦量〔即旋度〕，并判斷流動(dòng)是否有旋。解：〔1〕將代入跡線方程得：采用變量代換法解這個(gè)微分方程。令，，則，，代入上式，得：，，于是得跡線的參數(shù)方程：其中，是積分常數(shù)〔拉格朗日變數(shù)〕。消掉時(shí)間，并給定即可得到以表示的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。例如：歐拉法表示的速度場(chǎng)，求流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程，并說(shuō)明跡線形狀。將代入跡線微分方程：，得：別離變量并積分，得：從上兩式中消去時(shí)間t得跡線方程：即：可見(jiàn)，該流場(chǎng)中流體質(zhì)點(diǎn)的跡線為一雙曲線?！?〕將代入流線微分方程得：將看成常數(shù)，積分上式得流線方程：或〔3〕由質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義可得流動(dòng)在x和y方向的加速度分量分別為：所以，時(shí)刻，通過(guò)〔1，1〕點(diǎn)的流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的加速度為：〔4〕由渦量〔旋度〕的定義，對(duì)于題中所給的平面流動(dòng)有：所以流動(dòng)無(wú)旋。求速度勢(shì)函數(shù)〔一〕利用勢(shì)函數(shù)的全微分求由，得又由，得，積分得于是，求速度勢(shì)函數(shù)〔二〕按勢(shì)函數(shù)定義求例題10：速度場(chǎng)。求證：此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，并求速度勢(shì)函數(shù)。解：①——平面流動(dòng)②——不可壓縮③——無(wú)旋求速度勢(shì)函數(shù)〔一〕利用勢(shì)函數(shù)的全微分求由，得又由，得，積分得于是，求速度勢(shì)函數(shù)〔二〕按勢(shì)函數(shù)定義求〔正確〕不能按三個(gè)獨(dú)立的不定積分相加求〔錯(cuò)誤〕例題11：三維速度場(chǎng)。求證：此流動(dòng)是不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)，并求速度勢(shì)函數(shù)。解：①——不可壓縮流體②，，——流動(dòng)無(wú)旋求速度勢(shì)函數(shù)〔一〕利用勢(shì)函數(shù)的全微分求由，得又由，得，可得于是，求速度勢(shì)函數(shù)〔二〕按勢(shì)函數(shù)定義求〔正確〕不能按三個(gè)獨(dú)立的不定積分相加求〔錯(cuò)誤〕例12二維速度場(chǎng)為，?！?〕證明該速度分布可以表示不可壓縮流體的平面流動(dòng)；〔2〕求該二維流場(chǎng)的流函數(shù)；〔3〕證明該流動(dòng)為勢(shì)流；〔4〕求速度勢(shì)函數(shù)。解：〔1〕平面流動(dòng)判定不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程為由條件可求，，可見(jiàn)速度分布滿(mǎn)足連續(xù)方程。故可以表示不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)?！?〕流函數(shù)確實(shí)定按流函數(shù)定義和條件有(1)(2)積分式(1)得(3)為確定函數(shù)，將式(3)對(duì)求偏導(dǎo)，并按流函數(shù)定義令其等于，即(4)由式(4)可以判定，積分求得(5)其中為積分常數(shù)。將式(5)代入式(3)，得：〔3〕有勢(shì)流動(dòng)判定判定流動(dòng)是否為有勢(shì)流有兩種方法。方法一：是直接利用速度場(chǎng)求旋度看其是否為零由此可以判定流動(dòng)為有勢(shì)流。方法二：看流函數(shù)是否滿(mǎn)足拉普拉斯方程〔因?yàn)槠矫娌豢蓧嚎s勢(shì)流同時(shí)存在流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)〕：流函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，流動(dòng)為勢(shì)流?！?〕勢(shì)函數(shù)方法一：按勢(shì)函數(shù)定義和條件有(6)(7)積分式(6)得(8)為確定函數(shù)，將式(8)對(duì)求偏導(dǎo)，并按勢(shì)函數(shù)定義式(7)令其等于，即(9)由式(9)可以判定，積分求得(10)其中為積分常數(shù)。將式(10)代入式(8)，得：方法二：因已證明流動(dòng)為有勢(shì)流，則必然存在勢(shì)函數(shù)，且和?？砂磩?shì)函數(shù)定義求：例13：證明：所表示的流動(dòng)是勢(shì)流，并求出該流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)。解：1〕判斷流動(dòng)是否為勢(shì)流方法一對(duì)于平面內(nèi)的流動(dòng)，說(shuō)明流動(dòng)無(wú)旋，所以是勢(shì)流。方法二，，流函數(shù)滿(mǎn)足Laplace方程，所以流動(dòng)是勢(shì)流?！矫娌豢蓧嚎s無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程。注：1、不可壓流體無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足Laplace方程：2、不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿(mǎn)足Laplace方程2〕因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗裕谑抢?4：三維不可壓縮流場(chǎng)中，，且處，試求流場(chǎng)中的表達(dá)式，并檢驗(yàn)是否無(wú)旋解：由連續(xù)方程得：積分得：由處=0得：c=0所以流場(chǎng)中的表達(dá)式為由于，，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，該流體運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋的；當(dāng)時(shí)，該流體運(yùn)動(dòng)是有旋的。例15：二元流場(chǎng)的速度勢(shì)為〔1〕試求和，并檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足連續(xù)條件和無(wú)旋條件?！?〕求流函數(shù)。解：〔1〕，由于，滿(mǎn)足連續(xù)方程；由于，流動(dòng)無(wú)旋?！?〕由流函數(shù)的定義：=1\*GB3①=2\*GB3②積分式=1\*GB3①得=3\*GB3③將式③對(duì)x求偏導(dǎo)，并令其等于，即，可得，于是，流函數(shù)為：例16：不可壓縮流場(chǎng)的流函數(shù)為〔1〕證明流動(dòng)有勢(shì)〔2〕并求速度勢(shì)函數(shù)。〔3〕求〔1，1〕點(diǎn)的速度。解：〔1〕因?yàn)?，所以，，即流?dòng)無(wú)旋，也即有勢(shì)?！?〕因?yàn)?，所以，?duì)上式作不定積分得速度勢(shì)函數(shù)：〔3〕由，，得，〔1，1〕點(diǎn)的速度為：，即：例17：，，試求此流場(chǎng)中在，點(diǎn)處的線變形率、角變形率和角速度。解：由，，，，得線變形率為：，角變形率為：角速度為：例題18：如以下圖，有一水平放置的噴管水射流裝置，由直管段和收縮形噴管組成，噴嘴與直管段的接頭用螺栓連接。水流從噴嘴噴出，沖擊到一塊垂直平板上。：噴管上游直管段的截面積，水的壓強(qiáng)〔表壓，即相對(duì)于大氣壓的值〕，噴管出口截面積。假設(shè)將射流視為不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，且不計(jì)粘性和重力的影響。試求：〔1〕噴管與直管段接頭處所受的拉力；〔2〕平板所受的水流的沖擊力。解：建設(shè)如以下圖的坐標(biāo)系，取x軸所在的水平面為基準(zhǔn)面；選取控制體，確定控制面；分析控制體受力：假定噴管壁面對(duì)水的作用力在水平方向的分量為，沿x軸的負(fù)方向；垂直平板對(duì)射流的作用力為，沿x軸的負(fù)方向。對(duì)1－1和2－2截面列伯努利方程：，將條件，，〔相對(duì)壓強(qiáng)〕代入伯努利方程，得：〔A〕又由質(zhì)量守恒方程，可得：〔B〕聯(lián)立求解〔A〕和〔B〕可得：，，?！?〕針對(duì)1－1和2－2截面間的控制體，列x方向的動(dòng)量方程：可求得噴管壁面對(duì)水流的作用力：為正值，說(shuō)明噴管壁面對(duì)水流的作用力方向與初始假定的方向一樣，水流對(duì)噴管壁面沿水平方向的作用力為的反作用力，故有，即噴管與直管段接頭處所受的拉力為57.6N?！?〕針對(duì)2－2、3－4和4－4截面間的控制體〔該控制體周?chē)膲簭?qiáng)均為大氣壓強(qiáng)，故不考慮壓強(qiáng)引起的作用力〕，列x方向的動(dòng)量方程：可求得垂直平板對(duì)射流的作用力：為正值，說(shuō)明垂直平板對(duì)射流的作用力方向與初始假定的方向一樣，射流對(duì)垂直平板的作用力為的反作用力，故有。例題19：如以下圖，將一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的軸線，該平板截去射流的一局部，并引起射流其余局部偏轉(zhuǎn)角度。，〔升/秒〕，。求射流對(duì)平板的作用力R及射流的偏轉(zhuǎn)角〔不計(jì)摩擦力及水的重量的影響，取水的密度〕。解：建設(shè)坐標(biāo)系，選取控制體，確定控制面。分析受力〔假定力的方向〕：由于不計(jì)摩擦力的影響，平板對(duì)射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力〔假設(shè)其方向向左〕，而沿平行于平板方向的切向摩擦力。于是可列出x和y方向的動(dòng)量方程：根據(jù)條件和連續(xù)性方程：將其他條件帶入，可以求得：，射流對(duì)平板的作用力，方向向右。例題20：如以下圖連續(xù)管系中的90漸縮彎管放在水平面上，管徑，，入口處水的平均流速，靜壓〔計(jì)示壓強(qiáng)〕。如不計(jì)能量損失，試求支撐彎管在其位置所需的水平力解：由可得：對(duì)1-1和2-2兩個(gè)過(guò)流截面列伯努利方程，可得：建設(shè)如以下圖的坐標(biāo)系，x坐標(biāo)軸向右為正，y坐標(biāo)軸向上為正。取1-1、2-2截面和彎管內(nèi)壁所包圍的體積為控制體，假設(shè)彎管對(duì)控制體內(nèi)水流的作用力為F，它沿x、y方向的分量分別為，方向如以下圖，則可分別列出x、y方向的動(dòng)量方程：再利用連續(xù)性方程，則有：均為正值，說(shuō)明其實(shí)際方向與假設(shè)的方向一樣，即分別沿x、y坐標(biāo)軸的負(fù)方向。彎管對(duì)控制體內(nèi)水流作用力的合力F大小為合力F的方向角〔如以下圖〕為彎管受到水流的作用力是F的反作用力，二者大小相等，方向相反，即。就此題而言，只需用x方向的動(dòng)量方程求出，即可知道彎管受到水流沿水平方向的作用力，與大小相等、方向相反。例題21：軸流式風(fēng)機(jī)可采用如圖3所示的集流器來(lái)測(cè)量流量，風(fēng)機(jī)入口側(cè)管道直徑，U形管讀數(shù),水與空氣的密度分別為,，忽略流動(dòng)的能量損失，求空氣的體積流量。解：針對(duì)在風(fēng)機(jī)入口前斷面1－1和U型管所在的風(fēng)筒截面2－2列伯努里方程：得由靜力學(xué)根本方程：帶入上式，得：空氣的體積流量：例題