數(shù)學(xué)分析第二章：數(shù)列極限-3數(shù)列極限存在的條件_第1頁(yè)
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第三節(jié)數(shù)列極限存在的條件馮永平Fypmath@gzhu.edu.cn數(shù)列極限的兩大問(wèn)題數(shù)列極限的存在性；（此問(wèn)題為最關(guān)鍵的問(wèn)題）數(shù)列極限值的大?。唬ù嬖谛猿闪⒑?，才想辦法計(jì)算極限）復(fù)習(xí)引入幾種證明極限存在的方法：按照數(shù)列極限的定義證明。按照奇、偶子列的收斂性證明。依據(jù)任意子列的收斂性證明。利用夾逼準(zhǔn)則證明。復(fù)習(xí)引入最簡(jiǎn)單的思想是利用數(shù)列本身的性質(zhì)證明數(shù)列極限的存在性幾個(gè)簡(jiǎn)單的單調(diào)數(shù)列：?jiǎn)握{(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列正文準(zhǔn)則I：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則

幾何解釋:幾點(diǎn)說(shuō)明：?

通常該準(zhǔn)則變通為：1）單調(diào)遞增有上界的數(shù)列存在極限。2）單調(diào)遞減有下界的數(shù)列存在極限。?

本定理只是證明了存在性。?本定理只對(duì)一類(lèi)特殊的數(shù)列可以判別存在性。?此定理的條件為充分非必要條件。

例1

設(shè)

其中，證明收斂。

證明：遞增顯然，下面證明有上界，事實(shí)上：

例2

證明存在。證明：

的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。

的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，每一項(xiàng)為正數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)有：即的第項(xiàng)小于的第項(xiàng)，此外比還多了一個(gè)正數(shù)項(xiàng)，故嚴(yán)格增加下面證明有上界：Cauchy收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件為：收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面，項(xiàng)之間幾乎“擠”在了一起。判別的收斂性只要根據(jù)本身滿(mǎn)足的特性就可以判

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