基于流形不變的航天器姿態(tài)分塊自適應(yīng)約束控制

基于流形不變的航天器姿態(tài)分塊自適應(yīng)約束控制

隨著模擬器應(yīng)用的深入，對(duì)小型低成本微型武器的需求逐漸增加。低體積低價(jià)意味著容器擔(dān)心的性能有限，容易受到干擾。這就要求動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)通過(guò)不斷改善雄株性，考慮控制飽和?，F(xiàn)在，廣泛研究和應(yīng)用于非線性武器的動(dòng)態(tài)控制方法主要包括動(dòng)態(tài)逆、滑動(dòng)模型的結(jié)構(gòu)控制和反演。反演階段沒(méi)有時(shí)間分離的假設(shè)和重量，并且隨著具有嚴(yán)格收斂和穩(wěn)定的lyapubu函數(shù)的反演過(guò)程得到了很好的改進(jìn)。在此基礎(chǔ)上，反步法的結(jié)構(gòu)具有很大的靈活性，因此在這項(xiàng)工作中，我們選擇了反步驟設(shè)計(jì)的基于負(fù)軌跡的基礎(chǔ)裝置。對(duì)于受多種不確定性因素影響的在軌航天器控制問(wèn)題,可采用兩種自適應(yīng)反步結(jié)構(gòu)以提高控制器的性能:一是基于調(diào)節(jié)函數(shù)的自適應(yīng)反步(adaptivebacksteppingwithtuningfunctions,TFAB),該方法通過(guò)Lyapunov函數(shù)的遞歸推導(dǎo)來(lái)構(gòu)造不確定參數(shù)的自適應(yīng)律,克服了過(guò)參數(shù)化估計(jì)問(wèn)題,具有強(qiáng)穩(wěn)定性,但更新律結(jié)構(gòu)和控制律形式復(fù)雜,特別是參數(shù)估計(jì)不能保證真值收斂,且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)與參數(shù)更新律動(dòng)態(tài)強(qiáng)耦合,不可預(yù)知的參數(shù)更新動(dòng)態(tài)可能導(dǎo)致非期望的閉環(huán)瞬態(tài)響應(yīng),因而對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),TFAB控制器參數(shù)調(diào)節(jié)困難;二是基于估計(jì)的分塊自適應(yīng)反步(modularadaptivebackstepping),分別設(shè)計(jì)魯棒控制律和非基于Lyapunov的估計(jì)器,如正交最小二乘估計(jì)器等,估計(jì)器直接在線估計(jì)并補(bǔ)償不確定性的影響.但對(duì)于非線性系統(tǒng),由于難以保證確定等價(jià)原則,所以需要引入非線性阻尼項(xiàng)以克服參數(shù)估計(jì)的時(shí)變特性,然而非線性阻尼導(dǎo)致了不期望的高增益控制,可能引起數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題,且閉環(huán)系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性相對(duì)于方法一來(lái)說(shuō)也損失了強(qiáng)穩(wěn)定性.最近,文獻(xiàn)[10,12-14]提出了一種新的基于系統(tǒng)浸入和流形不變(I&I)的非線性自適應(yīng)控制和狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,對(duì)于參數(shù)嚴(yán)反饋系統(tǒng)該觀測(cè)器可用于對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并使參數(shù)估計(jì)誤差具有期望的一致穩(wěn)定動(dòng)態(tài),因而閉環(huán)系統(tǒng)具有控制與估計(jì)兩個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的分塊自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu),相對(duì)前述傳統(tǒng)自適應(yīng)反步法,其參數(shù)調(diào)節(jié)更容易,且不需要非線性阻尼項(xiàng),極大的改善了自適應(yīng)系統(tǒng)的性能.因而,本文基于I&I設(shè)計(jì)非線性估計(jì)器對(duì)“總干擾”(外干擾和慣性參數(shù)攝動(dòng)引起的干擾力矩)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償,以提高反步控制的魯棒性和精度.由于航天器作動(dòng)器物理飽和與系統(tǒng)狀態(tài)約束的存在會(huì)嚴(yán)重降低閉環(huán)系統(tǒng)的性能,所以在設(shè)計(jì)控制器時(shí)還必須考慮輸入受限問(wèn)題.本文采用指令濾波反步法(commandfilteredbackstepping,CFBS)設(shè)計(jì)反步控制器,通過(guò)指令濾波器來(lái)施加系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入的幅值及速率約束,并對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行修正以消除飽和約束對(duì)跟蹤誤差收斂性的影響,同時(shí)得到虛擬控制量導(dǎo)數(shù)以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程.最后,將本文基于I&I的分塊自適應(yīng)約束反步控制器(I&Ibasedmodularadaptiveconstraintedbackstepping,IIACB)與非自適應(yīng)的CFBS和基于調(diào)節(jié)函數(shù)的約束自適應(yīng)反步控制器(constrainedadaptivebackstepping,CABS)進(jìn)行比較仿真,驗(yàn)證了本文方法在小型航天器高精度姿態(tài)控制中的有效性.1影法的特征軸轉(zhuǎn)動(dòng)修正羅德里格參數(shù)(MRP)是通過(guò)投影法由四元數(shù)推出的描述姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的三參數(shù)全局非奇異方法,能夠表示|θ|<360°的特征軸轉(zhuǎn)動(dòng),參數(shù)較少,計(jì)算量小.1.1姿態(tài)參數(shù)向量假設(shè)航天器在圓軌道上運(yùn)行,則軌道角速率n為常值,由MRP表示的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為其中:σ=[σ1σ2σ3]T∈R3為MRP姿態(tài)參數(shù)向量(文中‖·‖表示向量的2范數(shù)或矩陣的誘導(dǎo)2范數(shù));N(σ)為MRP運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣;I3×3是3×3單位矩陣;ω=[ω1ω2ω3]T∈R3為航天器相對(duì)于慣性系I的角速度向量;ci(σ),i=1,2,3是MRP方向余弦矩陣C(σ)的第i列向量,C(σ)表示如下:Sζ表示如下反對(duì)稱(chēng)矩陣:1.2干擾性能分析剛體航天器向量形式的歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)方程為其中:M=(Tg+Tc+Td)∈R3為航天器在本體坐標(biāo)系上所受的總外力矩,Tg=3n2Sc3J0c3為非均勻重力場(chǎng)引起的重力梯度力矩,Tc為執(zhí)行器控制力矩,Td=TdI+TdEX為總干擾力矩,TdI及TdEX分別表示慣性參數(shù)攝動(dòng)引起的干擾力矩部分和受到的環(huán)境外干擾力矩部分;J0∈R3×3為航天器對(duì)稱(chēng)正定慣性張量矩陣的已知測(cè)量部分,則航天器標(biāo)稱(chēng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為其中未知干擾力矩Td的系數(shù)項(xiàng)J0-1是常值回歸項(xiàng).1.3tdi分類(lèi)模型針對(duì)航天器姿態(tài)數(shù)學(xué)模型(1)和(3),在全局范圍內(nèi)作如下假設(shè):假設(shè)1存在正常數(shù)Mm和Mr,使得‖Td‖≤Mm,成立,即時(shí)變的總干擾力矩Td及其導(dǎo)數(shù)是有界的.假設(shè)1表明干擾屬于有界慢時(shí)變形式,在實(shí)際航天背景下,航天器所受空間干擾項(xiàng),包括了地球引力攝動(dòng)、大氣阻力、太陽(yáng)光壓以及日月三體引力等因素,這些因素取決于空間環(huán)境、軌道參數(shù)及星間相對(duì)狀態(tài)等,可以在具體應(yīng)用背景下通過(guò)相應(yīng)的模型獲得其大小,雖然不同外干擾的大小差別很大,但是與航天器姿態(tài)控制力矩相比他們都非常小.文獻(xiàn)[22-23]指出:一般在控制器設(shè)計(jì)中可將其作為有界的未知項(xiàng)處理,并通常具有偏差項(xiàng)與周期項(xiàng)相加的形式.因此,本文對(duì)Td中常值慣性張量偏差引起的干擾力矩TdI及其導(dǎo)數(shù)有界性進(jìn)行證明.在證明之前,首先給出以下2范數(shù)的定義和性質(zhì):向量v∈Rn的2范數(shù)定義為,矩陣A∈Rm×n的誘導(dǎo)2范數(shù)為v∈Rn,并且對(duì)于有界的矩陣A和向量v滿(mǎn)足如下性質(zhì):其中γ為有限的正常數(shù).進(jìn)一步對(duì)于向量的叉乘運(yùn)算使用2范數(shù)可得其中w∈Rn.慣性張量模型由J=J0+ΔJ表示,其中J是實(shí)際慣性矩陣,J0和ΔJ分別表示已知測(cè)量部分和常值慣性張量偏差,進(jìn)一步將實(shí)際慣性矩陣的逆用J0表示為J-1=J0-1+ΔJ*,由式(3)可知,實(shí)際的航天器動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)為將上式中的不確定項(xiàng)分離并整理可得可見(jiàn),由慣性張量常值偏差ΔJ引起的干擾力矩TdI是時(shí)變的,可以用I&I觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì).由于J和J-1均為有限常值非奇異矩陣,取式(7)的2范數(shù)并利用范數(shù)性質(zhì)式(4)~(5)可得其中γi為有限正常數(shù).由于特征軸轉(zhuǎn)動(dòng)|θ|<360°,MRP滿(mǎn)足|σ|2<1,因而向量ci(σ),i=1,2,3有界,又因?yàn)樵诜床娇刂破髟O(shè)計(jì)中利用指令濾波器施加了控制輸入Tc與狀態(tài)ω的幅值飽和限制,所以Tc和ω均有界,因而從式(8)可知TdI有界.進(jìn)一步TdI的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為對(duì)上式同樣取2范數(shù)可得可知,取2范數(shù)可得因而有界,綜上可知有界.假設(shè)2參考指令信號(hào)及其一階導(dǎo)數(shù)存在且有界.在實(shí)際跟蹤控制系統(tǒng)中,參考指令信號(hào)通常均有界.將參考指令進(jìn)行一階濾波形成新的參考指令,則可使得其一階導(dǎo)數(shù)存在且有界.假設(shè)3系統(tǒng)狀態(tài)(姿態(tài)角σ,角速度ω)完全可知.由于本文研究狀態(tài)反饋控制律設(shè)計(jì),所以提出該假設(shè),實(shí)際工程中航天器姿態(tài)角和角速率也是可測(cè)的.至此,本文控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)為:針對(duì)式(1)和(3)組成的6階非線性嚴(yán)格反饋MRP模型,設(shè)計(jì)控制律Tc,使得在系統(tǒng)不確定性和干擾條件下航天器姿態(tài)σ跟蹤光滑參考指令σr,閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定且當(dāng)t→∞時(shí)跟蹤誤差zi(i=1,2)收斂于包含零的可任意小的鄰域內(nèi).2i-i自適應(yīng)反步控制2.1濾波器及飽和函數(shù)考慮系統(tǒng)(1)和(3),首先定義跟蹤誤差向量其中:x2,c是實(shí)際內(nèi)環(huán)參考角速率,x2,c及其導(dǎo)數(shù)6)x2,c可通過(guò)對(duì)x02,c=α1-χ2指令濾波后獲得(α1是設(shè)計(jì)的內(nèi)環(huán)虛擬控制律,χ2是由于濾波作用而定義的修正項(xiàng)),對(duì)于文獻(xiàn)的指令濾波器可采用如下離散形式:其中:xc0是濾波器輸入信號(hào);xf1,xf2是濾波器狀態(tài);xc,是濾波器輸出;sat*(·)是飽和函數(shù)(*取M和R分別表示幅值和速率);Δt為仿真時(shí)間步長(zhǎng).由于在實(shí)際飽和發(fā)生時(shí)往往需要保持控制力矩向量的方向,如使用單框架控制力矩陀螺,所以選取超球面飽和函數(shù)sat*(·)如下,M*為飽和限,跟蹤誤差式(10)、(11)的動(dòng)態(tài)為為消除飽和約束對(duì)跟蹤誤差的影響,進(jìn)一步定義修正跟蹤誤差為注1雖然式(15)中z1,χ1都是MRP表示的角度,但當(dāng)參考指令連續(xù)光滑時(shí),z1較小,且合理設(shè)計(jì)指令濾波器可使χ1比z1更小,因而可不采用形如式(10)的MRP代數(shù)運(yùn)算,直接相減進(jìn)行合理近似.帶飽和約束的指令濾波對(duì)跟蹤誤差z1、z2的效應(yīng)由如下穩(wěn)定線性濾波進(jìn)行估計(jì),即修正項(xiàng)χ1、χ2滿(mǎn)足至此,未經(jīng)濾波的初始控制律設(shè)計(jì)為其中增益矩陣k1,k2>0,通?？蛇x擇內(nèi)環(huán)增益k2大于外環(huán)增益k1,是“總干擾”力矩估計(jì)值.實(shí)際執(zhí)行器飽和約束下的控制力矩Tc由Tc0通過(guò)(12)指令濾波獲得.2.2估計(jì)誤差系統(tǒng)的建立I&I是利用定義的不變流形使得所有流形面上的解都收斂于平衡狀態(tài),為此,I&I使用閉環(huán)目標(biāo)動(dòng)態(tài)來(lái)合理設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制的估計(jì)律.對(duì)于航天器姿態(tài)模型,干擾項(xiàng)僅存在于動(dòng)力學(xué)方程(3)中,首先定義流形外的估計(jì)誤差為其中:是估計(jì)器狀態(tài);β(ω)是隨后定義的光滑函數(shù);是干擾力矩的估計(jì).代入動(dòng)力學(xué)方程(3),控制律(19)和修正項(xiàng)動(dòng)態(tài)(17),則的動(dòng)態(tài)為消去式(21)的已知部分,則定義估計(jì)律為這使得誤差系統(tǒng)式(20)具有如下動(dòng)態(tài):由于式(3)中回歸函數(shù)J0-1是常值,所以由文獻(xiàn)可知,β(ω)存在如下解:其中γ>0是估計(jì)增益,代入式(23)可得至此,式(22)、(24)構(gòu)成I&I估計(jì)律,式(25)是估計(jì)誤差動(dòng)態(tài),且以下穩(wěn)定性引理成立.引理對(duì)于誤差系統(tǒng)式(23)和形如式(24)定義的光滑函數(shù)β(ω),在假設(shè)1成立的條件下,估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)式(25)一致全局有界,其解漸進(jìn)收斂于集合S,證明考慮Lyapunov函數(shù)其沿式(25)的導(dǎo)數(shù)為由假設(shè)1可知?jiǎng)t由于J0-1是常值,由式(28)可知,是一致全局有界的且收斂于集合(26),證畢.可見(jiàn),當(dāng)Mr,J0一定時(shí),的上界可以通過(guò)選擇充分大的γ而任意小,即估計(jì)值趨近于真值Td,并且注意到I&I方法的特點(diǎn),該結(jié)論的成立是獨(dú)立于控制律設(shè)計(jì)的.3控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)首先,分析閉環(huán)系統(tǒng)修正跟蹤誤差式(15)的動(dòng)態(tài),由式(13)可知:進(jìn)一步代入式(16)、(18)可得同理,由式(14)、(17)、(19)可得其沿估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)式(25),修正跟蹤誤差動(dòng)態(tài)式(29)、(30)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為其中Λ=ΛT>0,且如果滿(mǎn)足如下條件:則式(31)為為使得增益γ滿(mǎn)足條件(32),且無(wú)需顯式計(jì)算Λ,將式(32)兩不等式結(jié)合可得最終,在滿(mǎn)足參數(shù)選擇條件式(34)和假設(shè)1干擾力矩導(dǎo)數(shù)有界的情況下,由式(33)可知,修正跟蹤誤差相對(duì)于輸入狀態(tài)穩(wěn)定,漸進(jìn)收斂于包含原點(diǎn)的緊集,且選擇估計(jì)器增益γ充分大可使該緊集任意小.而通過(guò)合理設(shè)計(jì)指令濾波器,能夠保證χi,i=1,2很小,由式(15)可知,這使得跟蹤誤差zi與修正跟蹤誤差一樣具有輸入狀態(tài)穩(wěn)定性并收斂于相同的緊集.最終,小型航天器IIACB分塊姿態(tài)控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.4iacb仿真針對(duì)航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng),本文分別基于文獻(xiàn)帶飽和約束的非自適應(yīng)CFBS,文獻(xiàn)中自適應(yīng)的CABS以及本文的IIACB進(jìn)行仿真比較.CFBS控制器與IIACB的控制器部分相同,而由于干擾力矩的時(shí)變性質(zhì),CABS控制器的內(nèi)環(huán)控制律Tc0需要增加非線性阻尼項(xiàng)J0-1κJ0-1來(lái)克服估計(jì)誤差,以使得閉環(huán)系統(tǒng)輸入-狀態(tài)穩(wěn)定,其中κ=κT>0為魯棒增益,而其調(diào)節(jié)函數(shù)估計(jì)律由修正跟蹤誤差z珋2驅(qū)動(dòng),如式(35),增加光滑投影算子Proj(·)用于保證估計(jì)誤差有界,Γ>0為自適應(yīng)增益,其中:δ>0為小的常值;M是超球面集半徑;τ表示估計(jì)律.航天器軌道角速度n=1.078×10-3rad/s,慣性張量J=J0+ΔJ,Jii表示J的第i個(gè)對(duì)角元素.Td為航天器本體軸上的外干擾力矩,且航天器參考姿態(tài)分為重定向和掃描機(jī)動(dòng)兩部分.初始姿態(tài)σ0=[000]T,目標(biāo)姿態(tài)為為說(shuō)明飽和約束的影響,首先,航天器從初始姿態(tài)σ0重定向到目標(biāo)姿態(tài)σ1,過(guò)渡過(guò)程采用角速率1.5(°)/s并經(jīng)一階低通濾波的斜坡參考信號(hào),其次,在目標(biāo)姿態(tài)σ1與σ2之間進(jìn)行周期T=110s,峰峰振幅40°的正弦掃描機(jī)動(dòng).仿真步長(zhǎng)0.01s.為平等比較,CFBS,IIACB內(nèi)環(huán)控制律同樣加入非線性阻尼,并選擇三種控制器具有相同的控制增益,由于I&I估計(jì)器是根據(jù)閉環(huán)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì),并使得閉環(huán)系統(tǒng)為兩穩(wěn)定系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)分塊結(jié)構(gòu),所以相比于CABS,I&I自適應(yīng)設(shè)計(jì)參數(shù)調(diào)節(jié)更容易,增大觀測(cè)器增益γ不僅使估計(jì)更快,而且能改善閉環(huán)動(dòng)態(tài)性能(實(shí)際仿真誤差還受限于由數(shù)值穩(wěn)定性決定的時(shí)間步長(zhǎng)).由估計(jì)誤差上界式(26)和參數(shù)條件式(34)可知,γ的選擇與名義航天器模型慣性矩陣J0及控制增益k2的大小有關(guān),所以選擇I&I估計(jì)器參數(shù)為γ=50.對(duì)于調(diào)節(jié)函數(shù)估計(jì)律式(35),雖然僅要求增益Γ為正,但如引言對(duì)TFAB的論述,閉環(huán)瞬態(tài)性能受估計(jì)誤差影響,所以Γ選擇過(guò)小則系統(tǒng)性能降低,選擇過(guò)大則系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩,經(jīng)反復(fù)調(diào)整,調(diào)節(jié)函數(shù)估計(jì)增益為Γ=diag{6,6,6}·J0.根據(jù)執(zhí)行器物理約束及航天器所載儀器對(duì)其狀態(tài)的限制,指令濾波器參數(shù)為:內(nèi)環(huán)x2,c限幅1(°)/s,速率限制0.2(°)/s2,控制力矩Tc限幅0.05N·m,速率限制5(N·m)/s.由于約束自適應(yīng)反步法(CABS)使用指令濾波器施加了控制力矩的約束限制,避免了閉環(huán)系統(tǒng)在約束條件下不穩(wěn)定,所以可以適當(dāng)放寬選擇投影算子的參數(shù)M=0.1N·m和δ=0.001N·m,使得估計(jì)律能夠更準(zhǔn)確的估計(jì)干擾力矩的大小,以提高閉環(huán)的干擾抑制性能.仿真結(jié)果如圖2~6所示,其中,IIACB姿態(tài)跟蹤如圖2(a)和圖3(a)所示,圖2(b)和圖3(b)給出了CFBS,CABS和IIACB的跟蹤誤差比較,θe=4arctan(‖σe‖)為式(37)所示特征軸轉(zhuǎn)角θ的跟蹤誤差,‖ωe‖為角速率跟蹤誤差的2范數(shù).可以看出在給定輸入\狀態(tài)約束下,盡管航天器跟蹤設(shè)計(jì)的參考姿態(tài)出現(xiàn)了角速率和控制力矩飽和,由于引入了指令濾波和修正跟蹤誤差,3種控制器均能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤,但非自適應(yīng)的CFBS對(duì)慣性參數(shù)攝動(dòng)和周期性干擾的抑制能力較弱,并且受外加常值干擾的影響,θe和‖ωe‖均產(chǎn)生了穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差,自適應(yīng)控制器IIACB和CABS跟蹤效果更好,但相比之下CABS內(nèi)外環(huán)跟蹤誤差較大,而IIACB的跟蹤更精確,性能主要受飽和約束影響.上述定性分析的結(jié)論,可以使用均方根RMS(rootmeansquare)進(jìn)一步定量比較三種控制器的姿態(tài)跟蹤誤差和干擾估計(jì)誤差,如表1所示.從圖4控制力矩變化可知,IIACB控制律對(duì)干擾的抑制并不以較大的控制量為代價(jià),定義航天器能量消耗的量度如下(單位J):其中ωi和Tci分別表示角速率ω和