2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題6.2 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 （新教材新高考）（練）含答案

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，，則的值為（）A． B． C．2 D．102．（2021·全國高三其他模擬（文））已知，記與夾角為，則的值為（）A． B． C． D．3.（2021·天津和平區(qū)·高一期末）已知正方形的邊長為2，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．1 D．4．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且，記，，則（）A． B． C． D．5.（2021·全國高一專題練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若，則________.6．（遼寧高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的邊，，已知點(diǎn)，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.7．（2021·中牟縣教育體育局教學(xué)研究室高一期中）設(shè)已知向量，向量.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量垂直.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為120°，求.9．（2021·全國高一專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，AB邊上的點(diǎn)，，記，.試用向量，表示.10．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））已知向量，若，（1）求向量與的夾角；（2）求的值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·浙江高一期末）任意兩個(gè)非零向量和，，定義：，若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則的值可能為（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2021·江西新余市·高一期末（文））如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段的延長線與的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若，則的取值范圍是___________.3．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，為線段上一點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.4．（江蘇高考真題）在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α，且tanα=7,OB5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．若，則______；若存在兩個(gè)不同的值，使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．6．（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高一期末）已知四邊形，，，，且，（i）___________；（ii）若，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則的最大值為___________.7．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).設(shè)，且.（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m，n；（3）求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).8．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的面積為S滿足，且·＝3，與的夾角為θ.求與夾角的取值范圍．9．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；（2）若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m+n=1.10．（2021·北京首都師大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1（1）求的值；（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊AB在x軸上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上運(yùn)動(dòng).求的最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A．-3 B．-2C．2 D．32.（2021·全國高考真題（理））已知向量．若，則________．3．（2021·全國高考真題（理））已知向量，若，則__________．4.（2021·全國高考真題（文））已知向量，若，則_________．5.（2018·北京高考真題（文））（2018年文北京卷）設(shè)向量a=（1,0），b=（?1,m）,若a⊥(ma?b)，則m=_________.6．（2020·北京高考真題）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，，則的值為（）A． B． C．2 D．10【答案】C【解析】先求出的坐標(biāo)，再借助向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因，，則，而，，于是得，即，解得，所以的值為2.故選：C2．（2021·全國高三其他模擬（文））已知，記與夾角為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用平面向量數(shù)量積的定義以及模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以．故選:.3.（2021·天津和平區(qū)·高一期末）已知正方形的邊長為2，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，由是線段上的點(diǎn)，設(shè)，且，因此，，故，因，所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：B.4．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BE上，且，記，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取，作為基底，把用基底表示出來，利用向量的減法即可表示出.【詳解】取，作為基底，則.因?yàn)?，所以，所?故選：D.5.（2021·全國高一專題練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若，則________.【答案】1【解析】由共線可設(shè)，進(jìn)而得，化簡對應(yīng)的即可得解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴存在非零實(shí)數(shù)，使得，∴∴∵，∴.故答案為：16．（遼寧高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的邊，，已知點(diǎn)，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】平行四邊形中，，∴，即點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.7．（2021·中牟縣教育體育局教學(xué)研究室高一期中）設(shè)已知向量，向量.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算即可得出；（2）可求出，然后根據(jù)與垂直即可得出，解出即可．【詳解】（1）∵，，∴.（2）∵，且與垂直，∴，解得.8．（2021·江西新余市·高一期末（文））已知，（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若與的夾角為120°，求.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先求與向量共線的單位向量，結(jié)合，即可得出的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)夾角求出，根據(jù)模的運(yùn)算律，即可得到.【詳解】解：（1），與共線的單位向量為.，，或.（2），，，，，.9．（2021·全國高一專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E分別為AC，AB邊上的點(diǎn)，，記，.試用向量，表示.【答案】【解析】根據(jù)向量的減法及向量的數(shù)乘，化簡即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?即10．（2021·江西省萬載中學(xué)高一期末（理））已知向量，若，（1）求向量與的夾角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)得到，再求出，，，即得解；（2）直接利用向量的模的坐標(biāo)公式求解.【詳解】（1），，，，解得，，，，，所以向量與的夾角為.（2），．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·浙江高一期末）任意兩個(gè)非零向量和，，定義：，若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則的值可能為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】CD【解析】由已知得集合的元素特征，再分析和的范圍，再由定義計(jì)算后，可得答案.【詳解】首先觀察集合，從而分析和的范圍如下：因?yàn)?，∴，而，且，可得，又∵中，∴，從而，∴，又，所以．且也在集合中，故有或．故選：CD.2．（2021·江西新余市·高一期末（文））如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段的延長線與的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】如圖所示，由，，三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)滿足，，，，即，與兩比較，即可得出．【詳解】解：如圖所示，，，三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)滿足，又，，，即，與兩比較，可得，，則．的取值范圍是．故答案為：．3．（2021·寧夏銀川市·高三其他模擬（理））已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，為線段上一點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】根據(jù)可得，再表示出坐標(biāo)，由條件可得，再將代入可得關(guān)于的不等式，從而可得答案.【詳解】解析：設(shè)點(diǎn)，由，得，所以.因?yàn)?，所以，即，化簡得將代入，得，即，解?因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，且，所以.綜上，可知.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（江蘇高考真題）在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α，且tanα=7,OB【答案】3【解析】以O(shè)A為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A1,0，由OC的模為2與OA與OC的夾角為α，且tanα=7知，cosα=210,sinα=210，可得C15,75,5．（2021·福建漳州市·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，．若，則______；若存在兩個(gè)不同的值，使得恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】．【解析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求；用坐標(biāo)表示出，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由向量共線得，則，又，則；計(jì)算得，則，又存在兩個(gè)不同的值，使得恒成立，則在上有兩個(gè)不同的解，令，由，得，作出簡圖如下，所以有．故答案為：；．6．（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高一期末）已知四邊形，，，，且，（i）___________；（ii）若，動(dòng)點(diǎn)在線段上，則的最大值為___________.【答案】【解析】利用向量的數(shù)量積可得，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，可得，進(jìn)而可得，求出；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為建立平面直角坐標(biāo)系，首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用向量共線求出，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，則,因?yàn)椋?，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，可得，因?yàn)?，所以，由，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)由，即，解得，即，設(shè)，，，則，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：；7．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).設(shè)，且.（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m，n；（3）求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.【解析】（1）利用向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（2）利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等即可求解.（3）利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，∴，解得.（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵，∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M(0，20).又∵，∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N(9，2)，∴=(9，-18).8．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的面積為S滿足，且·＝3，與的夾角為θ.求與夾角的取值范圍．【答案】.【解析】可設(shè)與夾角為，則據(jù)題意得出為銳角，且，從而根據(jù)的面積可得出，這樣根據(jù)正切函數(shù)在的單調(diào)性即可求出的范圍．【詳解】解：，的夾角為銳角，設(shè)的夾角為，則：，，又；，，，，，與夾角的取值范圍為．9．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；（2）若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m+n=1.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由原式可代換為，再由，兩式聯(lián)立變形即可求證；（2）由A，P，B三點(diǎn)共線，可得，變形得，整理成關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合，由對應(yīng)關(guān)系即可求證【詳解】（1）證明：若m+n=1，則，，故，即，，即共線，又有公共點(diǎn)，則A，P，B三點(diǎn)共線；（2）證明：若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得，變形得，即，，又，，故10．（2021·北京首都師大二附高一期末）在△ABC中.∠BAC=120°，AB=AC=1（1）求的值；（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊AB在x軸上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上運(yùn)動(dòng).求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，利用坐標(biāo)公式求得數(shù)量積即可.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，利用三角函數(shù)的最值求得數(shù)量積的最值.【詳解】解：（1），，.（2）點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，又，，，又，則，故當(dāng)時(shí)，有最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2019·全國高考真題（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，則，．故選C．2.（2021·全國高考真題（理））已知向量．若，則________．【答案】.【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.3．（2021·全國高考真題（理））已知向量，若，則__________．【答案】【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)椋杂煽傻?，，解得．故答案為：?.（2021·全國高考真題（文））已知向量，若，則_________．【答案】【解析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.5.（2018·北京高考真題（文））（2018年文北京卷）設(shè)向量a=（1,0），b=（?1,m）,若a⊥(ma-b)，則m=_________.【答案】-1.【解析】∵a∴ma由a⊥(ma-∴a即m=-1.6．（2020·北京高考真題）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.專題6.3平面向量的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）已知等邊的邊長為為它所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）A． B．7 C．5 D．2．（2021·浙江高一期末）在中，，則（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．3．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知中，角的對邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）A． B．為銳角三角形C． D．4．【多選題】（2021·麻城市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)為外接圓的圓心，，，則（）A． B．C． D．5．（2021·河北高一期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，由3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，若的邊長為﹐且，則的面積為___________.6．（2021·蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是_________．7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐標(biāo)系中，非零向量，在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夾角為，且平面向量滿足記為（）的最小值，則的最大值是__________．9．（2021·江蘇蘇州市·高一月考）我們知道，“有了運(yùn)算，向量的力量無限”.實(shí)際上，通過向量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知，，是的三條高，求證：，，相交于一點(diǎn).10．（2021·浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時(shí)，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時(shí)，測得海面上乙船擱淺在其南偏東方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測得乙船P在其南偏東方向，（1）假設(shè)水流速度為0，畫出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離．（2）若水流的速度為10海里/小時(shí)，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時(shí)的靜水速度不變，從點(diǎn)B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．2．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角B的值為________；若a＋c＝6，則AC邊的中線的最小值為________．3．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，則角=__________；設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則線段的取值范圍是__________.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G為其重心，直線經(jīng)過點(diǎn)G，且與射線、分別交于D、E兩點(diǎn)，記和的面積分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______．5．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點(diǎn)且滿足，則________．6．（2021·浙江高三其他模擬）已知單位向量，與非零向量滿足，，則的最大值是______.7．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三三模）已知邊長為2的正方形邊上有兩點(diǎn)P?Q，滿足，設(shè)O是正方形的中心，則的取值范圍是___________.8．（2021·浙江嘉興市·高三其他模擬）已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿足，若時(shí)，的最小值為，則___________.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，且滿足，若角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，，求：（1）求的值；（2）求邊的值．10．（2021·山東泰安市·高一月考）三角形ABC中，，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，（1）求和;（2）是延長線上的點(diǎn)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．2．（2020·全國高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．83.（2021·全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（）A．346 B．373 C．446 D．4734．（2021·全國高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距5.（2021·全國高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C． D．6．（2021·全國高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.專題6.3平面向量的應(yīng)用練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·重慶九龍坡區(qū)·高三二模）已知等邊的邊長為為它所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（）A． B．7 C．5 D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，并延長到，則有，從而將轉(zhuǎn)化為，而，所以結(jié)合圖形可得答案【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，并延長到，使，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)榈冗叺倪呴L為，所以，要使取得最大值，則與共線且同向，所以的最大值為，故選：B2．（2021·浙江高一期末）在中，，則（）A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．【答案】D【解析】利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得，由此求得的值，利用正弦定理可得的值.【詳解】由題意，在中，，利用向量的數(shù)量積的定義可知，即即，即，設(shè)，解得，所以，所以由正弦定理可得.故選:D.3．【多選題】（2021·浙江高一期末）已知中，角的對邊分別為為邊上的高，以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）A． B．為銳角三角形C． D．【答案】ACD【解析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積公式，三角形中余弦定理及向量的運(yùn)算法則對各命題進(jìn)行判斷，看出每一個(gè)命題的正誤【詳解】解：，所以，故A正確；若，則為銳角，無法得到其他角的關(guān)系，故無法判斷的形狀，故B錯(cuò)誤；而，故C正確由余弦定理有故有，故D正確故選：ACD．4．【多選題】（2021·麻城市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)為外接圓的圓心，，，則（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)垂徑定理先求出，再求即可.【詳解】令，則，所以（舍）或，所以，所以.故選：BD.5．（2021·河北高一期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，由3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊，若的邊長為﹐且，則的面積為___________.【答案】【解析】先根據(jù)圖形的構(gòu)成判斷出，利用余弦定理解出AF，利用面積公式即可求出的面積.【詳解】因?yàn)?，所?設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，解得，所以.故答案為：.6．（2021·蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是_________．【答案】【解析】取，，作，由平行四邊形法則可得點(diǎn)軌跡，確定所求最大值為；利用平面向量數(shù)量積的定義和余弦定理可求得所需邊長，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】取，，作，為內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)且，根據(jù)平行四邊形法則可知：點(diǎn)的軌跡為線段，.在中，，，，，，即的最大值為.故答案為：.7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐標(biāo)系中，非零向量，在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由條件得，代入坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算，得到，從而求得范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由條件可知，，設(shè)向量與的夾角為，由得，即，因?yàn)槭欠橇阆蛄浚?，于是，因?yàn)椋?，所以的取值范圍是．故答案為?．（2021·浙江高三月考）已知平面向量夾角為，且平面向量滿足記為（）的最小值，則的最大值是__________．【答案】【解析】將條件轉(zhuǎn)化，然后用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，，，則，，依題意可知，，，，故點(diǎn)在△的外接圓上.其半徑，為點(diǎn)到直線的距離，顯然，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，有最大值.故答案為：.9．（2021·江蘇蘇州市·高一月考）我們知道，“有了運(yùn)算，向量的力量無限”.實(shí)際上，通過向量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知，，是的三條高，求證：，，相交于一點(diǎn).【答案】證明見解析.【解析】結(jié)合向量的數(shù)量積即可證明.【詳解】如圖，設(shè)，則，①-②得：，即故，即，又所以，，三點(diǎn)共線，所以，，相較于一點(diǎn).10．（2021·浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時(shí)，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時(shí)，測得海面上乙船擱淺在其南偏東方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測得乙船P在其南偏東方向，（1）假設(shè)水流速度為0，畫出兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離．（2）若水流的速度為10海里/小時(shí)，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時(shí)的靜水速度不變，從點(diǎn)B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值．【答案】（1）點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離為海里，（2）.【解析】（1）畫出圖形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四邊形法則畫出圖形，然后利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）兩船的位置圖如下：由圖可得，，所以所以由余弦定理可得所以點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離為海里（2）如圖，的方向?yàn)樗鞯姆较?，的方向?yàn)榇^的方向，的方向?yàn)閷?shí)際行進(jìn)的方向，其中在中，由正弦定理可得所以即甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值為練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．【答案】或0【解析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.2．（2021·寧夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則角B的值為________；若a＋c＝6，則AC邊的中線的最小值為________．【答案】【解析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式對已知式子進(jìn)行化簡，然后結(jié)合輔助角公式可得B；利用余弦定理及基本不等式即可直接求解AC邊的中線的最小值【詳解】∵，∴，而，∴，∵，∴即，∵，∴，∴，故；延長中線到點(diǎn)，使得，不妨設(shè)中線長為，如圖所示，即，由平面幾何知識(shí)易得四邊形是平行四邊形，而，∴，，，∴在中，由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：；.3．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，則角=__________；設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則線段的取值范圍是__________.【答案】【解析】先由正弦定理，然后再化簡、變形得，就可以求出角.求的取值范圍時(shí)，先將圖形補(bǔ)成平形四邊形，然后運(yùn)用余弦定及基本不等式求范圍.【詳解】由正弦定理及得，.因?yàn)樗运?，又所以；把補(bǔ)成平行四邊形（如圖所示），在中，，由余弦定理得等號成立，所以.又，所以.綜上得.故線段的取值范圍是.故答案為：；.4．（2021·浙江高一期末）在中，，G為其重心，直線經(jīng)過點(diǎn)G，且與射線、分別交于D、E兩點(diǎn)，記和的面積分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______．【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)重心位置及共線定理求得，根據(jù)面積公式分別表示出分別與，的關(guān)系，代入求得取最小值時(shí)的參數(shù)的值，根據(jù)與間的關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，且G為三角形ABC的重心，延長AG交BC于H，延長CG交AB于M，則，則，又D，G，E三點(diǎn)共線，則，即，，同理得，則，又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，此時(shí)，故答案為：5．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點(diǎn)且滿足，則________．【答案】【解析】根據(jù)已知的向量關(guān)系先分析出，然后通過設(shè)，根據(jù)相似三角形以及正弦定理找到的關(guān)系，從而可求解出的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，即，同理可知：，不妨設(shè)，所以，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以，所以，所以；在中，，所以，所以，又在中，，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.6．（2021·浙江高三其他模擬）已知單位向量，與非零向量滿足，，則的最大值是______.【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)，，，由得出的范圍，由得出關(guān)系，則，根據(jù)得出的關(guān)系以及取等的條件可得出答案.【詳解】設(shè)，，所以由，可得，即由，可得所以又，所以則當(dāng)時(shí)，等號成立.此時(shí)，或即，或（這與矛盾，故舍去），由，則，即所以，解得此時(shí)所以故答案為：7．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三三模）已知邊長為2的正方形邊上有兩點(diǎn)P?Q，滿足，設(shè)O是正方形的中心，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】先建立平面直角坐標(biāo)系，再分類討論求出各種情況下的的范圍即可得到答案.【詳解】建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系.①當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的同一邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，由于，所以滿足，可得，所以；②當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的相鄰邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，所以，由于，所以滿足，其表示的平面區(qū)域如下圖所示：令，當(dāng)過時(shí)，有最小值，當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，所以這種情況下；③當(dāng)兩點(diǎn)在正方形的對邊上時(shí)（含正方形的頂點(diǎn)）.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，所以，由圖可知，，所以.綜上可知：.故答案為：.8．（2021·浙江嘉興市·高三其他模擬）已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿足，若時(shí)，的最小值為，則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，將平面向量轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，B在以A為圓心5為半徑的圓上，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義分別確定D、E使、，進(jìn)而可知表示，若是關(guān)于的對稱點(diǎn)，可知共線時(shí)最小，△中應(yīng)用余弦定理求，即可求.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，若，，則，，，即，∴，即，若是關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，即，如下圖示，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，即最小，∵，即，，∴此時(shí)，△中，，而且為銳角，∴，而.故答案為：.9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，且滿足，若角的角平分線交邊于點(diǎn)，且，，求：（1）求的值；（2）求邊的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)條件先用正弦定理，再由兩角和的公式化簡即可求解；（2）由題意得，再兩邊平方及角平分線定理求得，再運(yùn)用余弦定理可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，即，因?yàn)?、為的?nèi)角，所以，所以，因此．（2）由題意得，兩邊平方得，整理得，又因?yàn)榻堑慕瞧椒志€交邊于點(diǎn)，可得，即得代入上式得，整理得，再由余弦定理得：，解得邊.10．（2021·山東泰安市·高一月考）三角形ABC中，，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，（1）求