四川省攀枝花市高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科）試卷

2021年四川省攀枝花市高考數(shù)學(xué)第一次統(tǒng)一考試試卷（文科）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{（x，y）|x﹣y＝3}，則M∩N＝（）A．（2，﹣1） B．{（2，﹣1）} C．{2，﹣1} D．x＝2，y＝﹣12．若z為純虛數(shù)，且|z|＝1，則＝（）A．i B．i C． D．i3．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣f'（1）x2+2，則f（2）＝（）A．﹣2 B． C．6 D．144．已知cos（）＝﹣2cosα，則tan（）＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．35．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a5＝3，則log3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9＝（）A．5 B．7 C．9 D．116．“角谷定理”的內(nèi)容為對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．如圖為研究“角谷定理”的一個(gè)程序框圖．若輸入n的值為5，則輸出i的值為（）A．4 B．5 C．6 D．77．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．2 C．4 D．48．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則?的值為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．229．下列說(shuō)法中正確的是（）A．命題“p且q”為真命題，則p、q恰有一個(gè)為真命題 B．命題“p：?x∈R，x2+1≥0”，則“￢p：?x∈R，x2+1＜0” C．命題“函數(shù)f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三個(gè)不同的零點(diǎn)”的逆否命題是真命題 D．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要條件10．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期為3π，則（）A．函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為 B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．函數(shù)（x）在（0，）上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)11．已知函數(shù)f（x）＝，若a＝3，b＝log32，c＝log30.5，則有（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b） C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）12．在關(guān)于x的不等式e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0（其中e…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量＝（1，﹣1），＝（m，2），若⊥（+），則實(shí)數(shù)m＝．14．若alog25＝3，則5a＝．15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），則Sn＝．16．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）＝f（﹣x），當(dāng)x∈（0，]時(shí)，f（x）＝﹣x2+x，則當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式f（x）+≤0的解為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為的等腰三角形，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BF∥平面PDE；（Ⅱ）求三棱錐E﹣BDF的體積．19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b＝2，BC邊上的高為3，求c．20．已知y軸右側(cè)的曲線C上任一點(diǎn)到F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線n是線段AB的垂直平分線且與x軸交于點(diǎn)T，試問(wèn)的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx+2lnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)a，b，c（0＜a＜b＜c）使得f（a）＝f（b）＝f（c），求證：c﹣a＜2．選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題記分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C2：（x﹣）2+y2＝3．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求C1，C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若射線θ＝（ρ≥0）分別與曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求△C2AB的面積．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+|﹣|x﹣|．（Ⅰ）當(dāng)a＝4時(shí)，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）求證：對(duì)任意的a∈[0，4]，f（x）≤2．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{（x，y）|x﹣y＝3}，則M∩N＝（）A．（2，﹣1） B．{（2，﹣1）} C．{2，﹣1} D．x＝2，y＝﹣1解：集合是以點(diǎn)（x，y）為元素的集合，只有B選項(xiàng)滿(mǎn)足題意．解法2：解得，，∴M∩N＝{（2，﹣1）}．故選：B．2．若z為純虛數(shù)，且|z|＝1，則＝（）A．i B．i C． D．i解：∵z為純虛數(shù)，且|z|＝1，∴z＝i或z＝﹣i，∴＝＝﹣i或＝＝+i，故選：A．3．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣f'（1）x2+2，則f（2）＝（）A．﹣2 B． C．6 D．14解：∵f′（x）＝3x2﹣2f′（1）x，∴f′（1）＝3﹣2f′（1），解得f′（1）＝1，∴f（x）＝x3﹣x2+2，∴f（2）＝8﹣4+2＝6．故選：C．4．已知cos（）＝﹣2cosα，則tan（）＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3解：∵，∴﹣sinα＝﹣2cosα，∴tanα＝2，∴．故選：B．5．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a5＝3，則log3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9＝（）A．5 B．7 C．9 D．11解：在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝3，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+log3a3+……+log3a9＝log3（a1×a2×???×a9）＝＝9log3a5＝9log33＝9．故選：C．6．“角谷定理”的內(nèi)容為對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．如圖為研究“角谷定理”的一個(gè)程序框圖．若輸入n的值為5，則輸出i的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7解：模擬程序的運(yùn)行，可得i＝0，n＝5不滿(mǎn)足條件n＝1，不滿(mǎn)足條件n是偶數(shù)，n＝16，i＝1不滿(mǎn)足條件n＝1，滿(mǎn)足條件n是偶數(shù)，n＝8，i＝2不滿(mǎn)足條件n＝1，滿(mǎn)足條件n是偶數(shù)，n＝4，i＝3不滿(mǎn)足條件n＝1，滿(mǎn)足條件n是偶數(shù)，n＝2，i＝4不滿(mǎn)足條件n＝1，滿(mǎn)足條件n是偶數(shù)，n＝1，i＝5此時(shí)，滿(mǎn)足條件n＝1，退出循環(huán)，輸出i的值為5．故選：B．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．2 C．4 D．4解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是平放的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的體積為：V＝?CD＝1×2×2＝4．故選：C．8．已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則?的值為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．22解：如圖，∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵DE＝2EF，∴EF＝AC，∴＝+＝，∴?＝（）?＝??＝0+×4×4×＝2．故選：B．9．下列說(shuō)法中正確的是（）A．命題“p且q”為真命題，則p、q恰有一個(gè)為真命題 B．命題“p：?x∈R，x2+1≥0”，則“￢p：?x∈R，x2+1＜0” C．命題“函數(shù)f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三個(gè)不同的零點(diǎn)”的逆否命題是真命題 D．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要條件解：命題“p且q”為真命題，則p、q均為真命題，故A錯(cuò)誤；命題“p：?x∈R，x2+1≥0”，則“￢p：?x∈R，x2+1＜0”，故B錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）＝x﹣sinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1﹣cosx≥0，可得f（x）在R上遞增，又f（0）＝0，所以f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則命題“函數(shù)f（x）＝x﹣sinx（x∈R）有三個(gè)不同的零點(diǎn)”為假命題，其逆否命題也是假命題，故C錯(cuò)誤；設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由a1＞0，可得S3﹣S2＝a3＝a1q2＞0，反之，若S3﹣S2＝a3＝a1q2＞0，可得a1＞0，則“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要條件，故D正確．故選：D．10．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期為3π，則（）A．函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為 B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．函數(shù)（x）在（0，）上單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)解：函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的最小正周期為＝3π，∴ω＝，∴f（x）＝Asin（x+）．令x＝，求得f（x）＝Asin≠0，故A錯(cuò)誤；令x＝，求得f（x）＝Asin不是最值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)x∈（0，），x+∈（，），函數(shù)f（x）沒(méi)有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；函數(shù)f（x）圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得y＝Asin（x++）＝Acosx的圖象，故所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D正確，故選：D．11．已知函數(shù)f（x）＝，若a＝3，b＝log32，c＝log30.5，則有（）A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b） C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（c）＞f（a）＞f（b）解：由函數(shù)f（x）＝，①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣e﹣x+2，則f′（x）＝ex+e﹣x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以f（x）＞f（0）＝2；②當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2+1為減函數(shù)，所以f（x）≥f（0）＝1，且x＝﹣1時(shí)，f（x）＝2，x＞﹣1，f（x）＞2，又因?yàn)?＞30＝1，所以a＞1，所以f（a）＞f（1）＝e﹣+2，因?yàn)閘og32＝23＝log98＜log99＝1，所以0＜b＜1，所以f（0）＜f（b）＜f（1），即2＜f（b）＜e﹣+2；因?yàn)閘og30.5＞log3＝﹣1，所以﹣1＜c＜0，所以f（0）＜f（c）＜f（﹣1），即1＜f（c）＜2，所以f（a）＞f（b）＞f（c）．故選：A．12．在關(guān)于x的不等式e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0（其中e…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．解：由e2x2﹣（aex+4e2）x+aex+4e2＞0，化簡(jiǎn)得e2（x﹣2）2＞a（x﹣1）ex，設(shè)f（x）＝e2（x﹣2）2，g（x）＝a（x﹣1）ex，則原不等式即為f（x）＞g（x）．若a≤0，則當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0，g（x）＜0，∴原不等式的解集中有無(wú)數(shù)個(gè)大于2的整數(shù)，∴a＞0．∵f（2）＝0，g（2）＝ae2＞0，∴f（2）＜g（2）．當(dāng)f（3）≤g（3），即時(shí)，設(shè)h（x）＝f（x）﹣g（x）（x≥4），則．設(shè)，則，∴φ（x）在[4，+∞）上為減函數(shù)，∴φ（x）≤φ（4）＝2e2（2﹣e）＜0，∴當(dāng)x≥4時(shí)，h'（x）＜0，∴h（x）在[4，+∞）上為減函數(shù)，即，∴當(dāng)x≥4時(shí)，不等式f（x）＜g（x）恒成立，∴原不等式的解集中沒(méi)有大于2的整數(shù)．∴要使原不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則，即，解得．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，）．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量＝（1，﹣1），＝（m，2），若⊥（+），則實(shí)數(shù)m＝0．解：，，且，∴，解得m＝0．故答案為：0．14．若alog25＝3，則5a＝8．解：∵alog25＝3，∴a＝＝3log52，∴5a＝5＝8．故答案為：8．15．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），則Sn＝2n﹣1．解：∵Sn+1﹣2Sn＝1（n∈N*），∴Sn+1+1＝2（Sn+1），又a1＝1，a1+1＝2，即S1+1＝2，∴數(shù)列{Sn+1}是首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列，∴Sn+1＝2n，∴Sn＝2n﹣1，故答案為：2n﹣1．16．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）＝f（﹣x），當(dāng)x∈（0，]時(shí)，f（x）＝﹣x2+x，則當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式f（x）+≤0的解為{x|}．解：根據(jù)題意，定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）＝f（﹣x），則有f（x+1）＝﹣f（x），即f（x﹣1）＝﹣f（x），同時(shí)變形可得：f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），分2種情況討論：（1）在區(qū)間（1，]上，有0＜x﹣1≤，則f（x﹣1）＝﹣（x﹣1）2+（x﹣1），則f（x）＝﹣f（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝x2﹣3x+2，此時(shí)f（x）+≤0，即f（x）≤﹣，即x2﹣3x+2≤﹣，解可得：≤x≤，（2）在區(qū)間（，2）上，﹣＜x﹣2＜0，則有0＜2﹣x＜，則有f（2﹣x）＝﹣（2﹣x）2+（2﹣x）＝﹣（x2﹣3x+2），則f（x）＝f（x﹣2）＝﹣f（2﹣x）＝x2﹣3x+2，此時(shí)f（x）+≤0，即f（x）≤﹣，即x2﹣3x+2≤﹣，解可得：＜x≤，綜合可得：若f（x）+≤0，必有|，不等式的解集為{x|}故答案為：{x|}．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得，則，將a1＝1代入并化簡(jiǎn)得d2﹣2d＝0，解得d＝2或d＝0（舍去）．∴an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．∴．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為的等腰三角形，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BF∥平面PDE；（Ⅱ）求三棱錐E﹣BDF的體積．【解答】證明：（Ⅰ）∵F為PC的中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)為G，連EG，F(xiàn)G，∵ABCD為正方形，E為AB的中點(diǎn)，∴BE∥CD且，又∵FG∥CD，且，∴四邊形BEGF為平行四邊形，故BF∥EG，∵EG?平面PDE，BF?平面PDE，∴BF∥平面PDE；解：（Ⅱ）∵ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，∴P﹣ABCD為正四棱錐，則P在平面ABCD的射影為AC的中點(diǎn)O，∵F為PC的中點(diǎn)，，∴，∵，∴OP＝1，∴，則∴．19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b＝2，BC邊上的高為3，求c．解：（Ⅰ）△ABC中，，由正弦定理得，∴，即；∵B為△ABC內(nèi)角，sinB≠0，∴又∵A為△ABC內(nèi)角，∴．（Ⅱ）因?yàn)?，將，hBC＝3，代入，得，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，于是，即c2﹣9c+18＝0，解得c＝3或c＝6．20．已知y軸右側(cè)的曲線C上任一點(diǎn)到F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線n是線段AB的垂直平分線且與x軸交于點(diǎn)T，試問(wèn)的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（Ⅰ）法一：（直接法）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得C的方程為y2＝4x（x＞0）…………法二：（定義法）問(wèn)題即：曲線C上任一點(diǎn)到F（1，0）的距離等于它到x＝﹣1的距離，故曲線C的方程為y2＝4x（x＞0）…………（Ⅱ）依題意l的方程設(shè)為：y＝k（x﹣1）與C：y2＝4x聯(lián)立…………消x?ky2﹣4y﹣4k＝0，得，…………∴直線，令y＝0，得，∴，……………假設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…………∴為定值．…………21．已知函數(shù)f（x）＝x2+mx+2lnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)a，b，c（0＜a＜b＜c）使得f（a）＝f（b）＝f（c），求證：c﹣a＜2．解：（Ⅰ），∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，∴f'（1）＝0，得m＝﹣3，則，∴x∈（0，1）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，x∈（1，2）時(shí)f'（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：設(shè)f（a）＝f（b）＝f（c）＝n，則，欲證明：c﹣a＜2，即c＜a+2，因?yàn)閏＞2，a+2＞2，