教學設計直線與平面垂直的判定

直線與平面垂直的判定本節(jié)課是必修2第二章2.3直線與平面垂直的判定第1課時【教學目標】知識與技能：掌握直線與平面垂直的定義和判定定理，并能進行簡單應用；過程與方法：經歷判定定理的探究過程，培養(yǎng)學生的空間觀念和動手操作的能力；情感態(tài)度與價值觀：親身經歷數(shù)學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣.【教學重、難點】重點：直線和平面垂直的概念和判定定理.難點：探究直線和平面垂直的判定定理.【教學方式】探究式教學法.【教學準備】三角板，三角形紙片，3根長約20厘米的細鐵絲，制作多媒體課件動態(tài)演示.【教學導圖】從日常生活的實例引入直線和平面垂直的定義的課題從日常生活的實例引入直線和平面垂直的定義的課題構建直線和平面垂直的概念探究直線與平面垂直的判定方法構建直線和平面垂直的概念探究直線與平面垂直的判定方法直線和平面垂直判定定理的應用課堂小結、布置作業(yè)【教學過程】一.感知直線和平面垂直的位置關系.師生活動：教師—我們經?？吹揭恍┲本€與平面垂直的現(xiàn)象，比如，旗桿與地面的位置關系，桌子腿與地面和位置關系.進一步引導學生舉出更多類似的生活中的例子.學生一嘗試舉例：教室內直立的墻角線和地面的位置關系，馬路邊電線桿和地面的位置關系等.使學生在頭腦中產生直線與地面垂直的初步印象，并由此引出課題——直線與平面垂直.【設計意圖：從實際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關系，從而建立初步印象，為下一步的數(shù)學抽象做準備.】二.直線與平面垂直的意義是什么？師生活動：教師—現(xiàn)實生活中有如此多的直線與平面垂直的情況，因此，有必要對其深入研究.提出以下問題：陽光下，旗桿與它在地面上的影子所成的角度是多少？（2）隨著時間的變化，影子的位置會移動，而旗桿與影子所成的角度是否會發(fā)生改變呢？（3）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線的位置關系又是什么？學生一思考回答上述問題，答案分別是：90°（垂直）；不改變；垂直.教師—讓學生動手將書打開立放在桌面上，觀察書脊和書每一頁的底邊所在直線的位置關系.師生一共同歸納、概括出線面垂直的定義：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線與平面互相垂直,記作⊥.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做垂足.教師—應強調指出，一條直線垂直于一個平面，是指這條直線垂直于這個平面內的任何一條直線的；畫直線和平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如教材P64圖2.3-3.思考：一條直線和一個平面內的無數(shù)條直線垂直，則該直線一定和平面垂直嗎?讓學生思考并找出反例.【設計意圖：通過對生活實例的觀察，激起學生進一步探究直線與平面垂直的意義和研究直線與平面垂直的必要性.】三.探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理.師生活動：教師—通常定義可以作為判定根據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直，需要考察平面內的每一條直線與平面垂直？請同學們做一個實驗.學生—用準備好的三角形紙片做實驗：如教材圖紙2.3-4，將三角形紙片ABC過其一頂點A翻折，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置桌面上（BD，DC與桌面接觸）觀察折痕AD與桌面的位置關系.看看哪位同學先發(fā)現(xiàn)垂直的條件.師生—通過實驗觀察發(fā)現(xiàn)，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在的平面a垂直（如教材圖2.3-5）.教師—進一步引導學生分析折痕AD是BC邊上的高時的情況：三角形紙片的折痕AD是BC邊上的高時，翻折之后垂直關系不變，即 AD⊥CD,AD⊥BD.這就是說，當AD垂直于平面a內的兩條直線CD，BD時，它也就垂直于了這個平面，而這兩條直線是相交的.【設計意圖：讓學生了解從定義出發(fā)判定直線和平面垂直的困難之處，激發(fā)學生進一步思考，尋找具有可操作性的判定方法，從中體驗有限與無限之間的辯證關系.】四.歸納說明直線和平面垂直的判定定理.師生活動：教師—由實驗的結果，我們可以歸納出判定直線和平面垂直的重要方法——直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.符號表示為：，，，，．說明：教師應強調指出定理中“兩條”和“相交直線”這兩個條件的重要性，可舉下面兩個反例，加深學生的理解：（1）將教學用的木制大三角板的一條直角邊AC放在講臺桌面上，這時另一條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直．（2）在講臺桌面上放一根平行于大三角板直角邊AC的要條EF，那么三角板的直角邊BC也垂直于EF，但它不一定和講臺桌面垂直．也可讓學生舉出其他反例．師生—學生也許會問，兩條平行直線也確定一個平面，為什么不能用一條直線與平面內的兩條直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，是無關緊要的，因此定理將原本判定線面垂直的問題轉化為判定直線和直線的垂直來解決；這里的直線和直線是指平面外的一條直線和平面內的兩條相交直線．五．典型例題．例1．有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有一條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上)C、D,如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？師生活動：教師引導、鼓勵學生分析題意，最后教師補充，多媒體展示解題過程．A解：如圖，旗桿AB＝8，兩繩子長AC＝AD＝10，BC＝BD＝6，B，C，D三點不共線A∵B，C，D三點確定平面，∴AB＋BC＝AC，AB＋BD＝AD，CBD∴AB⊥BC，AB⊥BDCBD又BC,BD,BC∩BD＝B∴AB⊥，因此旗桿與地面垂直.【設計意圖：使學生運用直線與平面垂直的判定定理解決生活中的實際問題，培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力．】例2．已知：，,求證：．教師—分析：要證明，根據(jù)判定定理，只要證明在平面內有兩條相交直線與垂直即可．而現(xiàn)在平面內沒有一條直線，故需要作出兩條相交直線．然后根據(jù)已知條件進行推理論證．證明：在平面內作兩條相交直線．因為直線，根據(jù)直線與平面垂直的定義知．又因為，所以，．又因為，，，是兩條相交直線，所以． 【設計意圖：此題是課本上的一個例題，使用時改用文字語言敘述，目的是讓學生在文字語言、符號語言、圖形語言的轉化上得到訓練；此題重視對學生思維策略的引導和啟發(fā)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；同時規(guī)范證明題的書寫．】六．課堂練習1.已知PA⊥平面ABC，AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的任一點，求證：PC⊥CB．P2.ACK如圖,在三棱錐P-ABC中,

PA＝PC,AB＝BC,K是AC的中點,PACK求證：AC⊥平面PKB．BB【設計意圖讓學生通過練習鞏固所學知識點，并在做題中找出自己的不足，及時補充.】七.課堂小結知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理.方法方面：轉化思想.八.布置作業(yè)（1）課本第67頁練習第1題；（2）完成課本第66頁探究．九．板書設計直線與平面垂直的判定一、定義例1練習1練習2﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍