平均值的有效數(shù)字課件

實(shí)驗(yàn)測量不確定度

與數(shù)據(jù)處理陳婷基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)室，廈門大學(xué)

實(shí)驗(yàn)測量不確定度

Outline一、測量與誤差

1.物理測量

2.測量的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差

3.系統(tǒng)誤差的估算4.隨機(jī)誤差的估算二、不確定度

1.A類評定

2.B類評定

3.總不確定度

4.相對不確定度

5.間接測量量的不確定度估算

6.不確定度均分原則--根據(jù)測量精度要求選擇儀器

三、有效數(shù)字

1.測量結(jié)果的有效數(shù)字

2.有效數(shù)字的運(yùn)算法則四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

1.列表法

2.逐差法

3.作圖法Outline一、測量與誤差物理測量運(yùn)用各種物理儀器和物理方法把待測未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)單位同類量作比較，即待測量是該計(jì)量單位的多少倍。大多數(shù)的測量結(jié)果不但有數(shù)值而且有單位。直接測量與間接測量。物理測量運(yùn)用各種物理儀器和物理方法把待測未知量與已知標(biāo)準(zhǔn)單位測量過程儀器方法人：觀測者環(huán)境等精度測量測量過程儀器等精度測量測量誤差誤差：觀測值與真實(shí)值之間的差異。實(shí)驗(yàn)儀器：靈敏度和分辨能力有局限性、本身缺陷、未按規(guī)定條件使用儀器（如零點(diǎn)校準(zhǔn)）實(shí)驗(yàn)理論、方法：理論公式本身的近似性（單擺測g）、實(shí)驗(yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求（熱）、實(shí)驗(yàn)方法本身不完善（伏安-內(nèi)阻）觀測者：個(gè)人感官和運(yùn)動器官的反應(yīng)或習(xí)慣、精神狀態(tài)周圍環(huán)境：不穩(wěn)定其他不確定因素：零件的摩擦、間隙，熱起伏，觀察者的生理變化系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差測量誤差誤差：觀測值與真實(shí)值之間的差異。系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差測量結(jié)果與誤差a.系統(tǒng)誤差為主b.隨機(jī)誤差為主c.系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都較小d.系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都較大測量結(jié)果與誤差a.系統(tǒng)誤差為主誤差消除系統(tǒng)誤差：理論、方法上的誤差要盡量消除或補(bǔ)償，采用精密度較高的儀器，按規(guī)定使用儀器，實(shí)驗(yàn)時(shí)保持認(rèn)真專注的態(tài)度。。。隨機(jī)誤差：多次等精度測量求平均值單次測量：（1）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度要求不高，允許可以粗略地估計(jì)誤差的大小；（2）在安排實(shí)驗(yàn)時(shí)，已作過分析，認(rèn)為測量誤差<<儀器誤差；（儀器靈敏度低，多次測量結(jié)果相同。）（3）受條件的限制，無法對待測量進(jìn)行重復(fù)測量。（如動態(tài)測量）誤差消除系統(tǒng)誤差：理論、方法上的誤差要盡量消除或補(bǔ)償，采用精系統(tǒng)誤差的估算儀器誤差儀器的公差（額定誤差）Δ儀：廠家所制造的同規(guī)格的儀器有可能產(chǎn)生的最大誤差。最小分度：系統(tǒng)誤差的估算儀器誤差常用儀器的主要技術(shù)條件和儀器的最大公差常用儀器的主要技術(shù)條件和儀器的最大公差常用儀器的主要技術(shù)條件和儀器的最大公差常用儀器的主要技術(shù)條件和儀器的最大公差平均值的有效數(shù)字課件隨機(jī)誤差的估算算術(shù)平均值：數(shù)學(xué)期望：真值=測量值+隨機(jī)誤差+系統(tǒng)誤差

=數(shù)學(xué)期望+系統(tǒng)誤差是連續(xù)的概率概率密度函數(shù)隨機(jī)誤差的估算算術(shù)平均值：是連續(xù)的概率概率密度函數(shù)隨機(jī)誤差隨機(jī)變量的分散程度———>物理量？標(biāo)準(zhǔn)偏差（standarddeviation）標(biāo)準(zhǔn)誤差（standarderror）隨機(jī)誤差隨機(jī)變量的分散程度———>物理量？標(biāo)準(zhǔn)偏差定義設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量,其測得值為l1、l2、……ln。令測得值l與該量真值X之差為真差σx,則有σ1=li

?

X

σ2=l2

?

X

……σn=ln

?

X

我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差σ（standarddeviation)為由于真值X都是不可知的,因此真差σx也就無法求得,故上式只有理論意義而無實(shí)用價(jià)值。標(biāo)準(zhǔn)偏差定義設(shè)對真值為X的某量進(jìn)行一組等精度測量,其測得值標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計(jì)—貝塞爾公式通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與殘差V的關(guān)系為代入標(biāo)準(zhǔn)偏差定義式，則有單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差：（貝塞爾公式）標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計(jì)—貝塞爾公式通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與殘差測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差(standarderror)在一定測量條件下（真值未知），對同一被測幾何量進(jìn)行多組測量(每組皆測量N次)，則對應(yīng)每組N次測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，各組的算術(shù)平均值不相同。不過，它們的分散程度要比單次測量值的分散程度小得多。描述它們的分散程度可以用標(biāo)準(zhǔn)誤差作為評定指標(biāo)。根據(jù)誤差理論，測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差與測量列單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σx存在如下關(guān)系測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差(standarderror)在一隨機(jī)變量數(shù)列隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）隨機(jī)變量平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（standarderror）

（貝塞爾公式）隨機(jī)變量數(shù)列隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviat隨機(jī)變量的分布--正態(tài)分布概率含量99.7%概率含量68.3%單峰對稱有界抵償隨機(jī)變量的分布--正態(tài)分布概率含量99.7%概率含量68系統(tǒng)誤差的估算：儀器誤差隨機(jī)誤差的估算：平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差如果同時(shí)考慮以上兩種誤差，最后得到的測量結(jié)果總誤差是如何表示的呢？為了更加科學(xué)地表示測量結(jié)果，國際計(jì)量局（BIPM）和國際標(biāo)準(zhǔn)化（ISO）等國際組織制定了《實(shí)驗(yàn)不確定度的規(guī)定建議書INC-1（1980）》及《測量不確定度表示指南（1993）》，規(guī)定采用不確定度來評定測量結(jié)果的質(zhì)量。不確定度系統(tǒng)誤差的估算：儀器誤差不確定度不確定度測量誤差=測量值-真值

測量結(jié)果真值在量值之中的概率為p。顯然，u越小，用測量值表示真值的可靠性就越高。一般不知道！如何描述？不確定度測量誤差=測量值-真值一般不知道！如不確定度的評定隨機(jī)誤差：可用概率統(tǒng)計(jì)法計(jì)算的A類評定系統(tǒng)誤差：用其它非統(tǒng)計(jì)方法估算的B類評定不確定度的評定隨機(jī)誤差：可用概率統(tǒng)計(jì)法計(jì)算的A類評定A類評定1.用貝塞爾公式求測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差：2.剔除壞點(diǎn)：剔除不符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的壞點(diǎn)，如以外的數(shù)據(jù)點(diǎn)。3.求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差：4.作t分布修正。A類評定1.用貝塞爾公式求測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差：A類評定當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量值分布經(jīng)常滿足正態(tài)分布；但實(shí)驗(yàn)測量中，次數(shù)有限所以測量值不滿足正態(tài)分布，而是遵循t分布。因此為達(dá)到同樣的置信概率，應(yīng)把測量偏差范圍擴(kuò)大，乘上一個(gè)t因子，即：A類評定當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，測量值分布經(jīng)常滿足正態(tài)分布；但三種概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)3.503.714.034.605.849.930.992.372.462.572.783.184.300.951.081.091.111.141.201.320.68765432vtp0.990.950.682.582.862.983.253.361.962.092.152.262.3111.031.041.061.07

191498vtp三種概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)3.503.B類評定p=68.3%B類評定p=68.3%總不確定度的合成注意：A、B類不確定度的合成時(shí)，兩者概率需一致。測量結(jié)果寫成：p=68.3%總不確定度的合成注意：A、B類不確定度的合成時(shí)，兩者概率需一相對不確定度更能反映測量的準(zhǔn)確度。相對不確定度不同概率下的不確定度不同概率下的不確定度間接測量結(jié)果不確定度的估算將不確定度看成測量值的微小變化。dN寫成UN，dx寫成Ux間接測量結(jié)果不確定度的估算將不確定度看成測量值的微小變化。間接測量結(jié)果不確定度的估算算術(shù)合成絕對不確定度傳遞公式：相對不確定度傳遞公式：可能的最大偏差間接測量結(jié)果不確定度的估算算術(shù)合成可能的間接測量量不確定度的估算幾何合成絕對不確定度傳遞公式：相對不確定度傳遞公式：傳遞時(shí)可能出現(xiàn)部分抵消間接測量量不確定度的估算幾何合成傳遞時(shí)可能出現(xiàn)部分抵消不確定度均分原則在間接測量中，各個(gè)直接物理測量值的不確定度都會對總的合成不確定度產(chǎn)生影響。如果已知各測量量的函數(shù)關(guān)系，可先寫出不確定度傳遞公式，再按不確定度均分原理，確定各個(gè)物理測量值的不確定度大小，合理選擇不同精度的實(shí)驗(yàn)儀器和采用適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)方法。不確定度均分原則在間接測量中，各個(gè)直接物理測量值的不確定度都不確定度均分原則不確定度均分原則有效數(shù)字實(shí)驗(yàn)過程中記錄應(yīng)記幾位數(shù)字？實(shí)驗(yàn)后，處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)數(shù)據(jù)運(yùn)算后要保留幾位數(shù)字？？？3.05cm0.0305m有效數(shù)字實(shí)驗(yàn)過程中記錄應(yīng)記幾位數(shù)字？？？3.05cm0.03有效數(shù)字?jǐn)?shù)字后的“0”為有效數(shù)字2.10cm有效數(shù)字?jǐn)?shù)字后的“0”為有效數(shù)字2.10cm測量結(jié)果的有效數(shù)字測量不確定度首位逢1，2保留兩位，其他保留一位有效數(shù)字。對不保留數(shù)字一律“只進(jìn)不舍”。測量值末位與不確定度末位相對齊來確定。通?！靶∮?則舍”，“大于5則入”，“等于5則湊偶”即前一位為奇數(shù)則進(jìn)（奇進(jìn)），以成偶數(shù)；若前一位為偶數(shù)則舍（偶舍）。如：測量結(jié)果平均值為2.1455cm，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算為0.0124cm，則測量結(jié)果為2.146±0.013cm測量結(jié)果的有效數(shù)字測量不確定度首位逢1，2保留兩位，其他保留科學(xué)記數(shù)法測量結(jié)果平均值為321000m,其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算為1000m,則結(jié)果如何表示？為計(jì)算的方便，對較大或較小的數(shù)值，常用×10±n的形式來書寫（n為正整數(shù)），通常在小數(shù)點(diǎn)前面只寫一位數(shù)字。如：321000±1000m采用科學(xué)記數(shù)為0.0001560±0.0000001m＝有效數(shù)字位數(shù)越多－相對誤差越小，準(zhǔn)確度越大。？（3.210±0.010）×105m（1.560±0.001）×10-4m科學(xué)記數(shù)法測量結(jié)果平均值為321000m,其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）加減法則：加減運(yùn)算所得結(jié)果的最后一位，保留到所有參加運(yùn)算的數(shù)中末位數(shù)數(shù)量級最大的那一位為止。例：結(jié)果：

20271.32-0.8+6.3+271=347.82結(jié)果：348217-14.8=202.2有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）加減法則：加減運(yùn)算所得結(jié)果的最后有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）乘除法則：積和商的位數(shù)與參與運(yùn)算諸項(xiàng)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那一項(xiàng)相同。特殊情況：乘除運(yùn)算時(shí)，參與運(yùn)算中位數(shù)最少的數(shù)字，若首位是“8”或“9”時(shí)，計(jì)算結(jié)果可以多取一位。31.522.1=66.192結(jié)果：66799×6.5=5193.5結(jié)果：結(jié)果:有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）乘除法則：積和商的位數(shù)與參與運(yùn)算有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）綜合運(yùn)算：根據(jù)運(yùn)算法則，先“乘、除”后“加、減”的法則。有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）綜合運(yùn)算：根據(jù)運(yùn)算法則，先“乘、有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）平均值的有效數(shù)字：計(jì)算重復(fù)測量次數(shù)超過四次的測量值的平均值，當(dāng)表示測量結(jié)果時(shí)，取與測量值一樣的位數(shù)；如果作為其他計(jì)算的中間過程量時(shí)，可多取一位有效數(shù)字。例如，測量某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得3.50cm，3.51cm，3.52cm，3.54cm，3.49cm，它們的平均值的最后表示為：3.51cm；若作為其他計(jì)算的中間過程量時(shí)，則多取一位，即為3.512cm。有效數(shù)字的運(yùn)算（求測量結(jié)果）平均值的有效數(shù)字：計(jì)算重復(fù)測量次有效數(shù)字的運(yùn)算無理數(shù)運(yùn)算法則：取無理數(shù)的位數(shù)比參與運(yùn)算中有效數(shù)字位數(shù)最少的那一位多一位(其中，常數(shù)不參與有效數(shù)字的運(yùn)算)。有效數(shù)字的運(yùn)算無理數(shù)運(yùn)算法則：取無理數(shù)的位數(shù)比參與運(yùn)算中有效常數(shù)計(jì)算中涉及到常數(shù)π或e以及非測量值,如自然數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí),不考慮其有效數(shù)字的位數(shù),視為準(zhǔn)確數(shù)值。基本物理常數(shù)：在人類探索自然界物質(zhì)運(yùn)動基本規(guī)律的歷史過程中發(fā)現(xiàn)和確定的物理基本常量。它們不隨時(shí)間，地點(diǎn)的改變而變化?；疚锢砘疚锢沓?shù)共有30多個(gè)，加上其組合量則有40～50個(gè)。很多常數(shù)的測量準(zhǔn)確度已達(dá)10-6量級，更高的可達(dá)10-8～10-10量級。常數(shù)計(jì)算中涉及到常數(shù)π或e以及非測量值,如自然數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí),不平均值的有效數(shù)字課件物理學(xué)基本常數(shù)物理學(xué)基本常數(shù)物理學(xué)基本常數(shù)物理學(xué)基本常數(shù)有效數(shù)字的運(yùn)算（求不確定度）從直接測量量的不確定度求間接測量量的不確定度時(shí)，其有效數(shù)字的運(yùn)算除了常數(shù)和無理數(shù)的有效數(shù)字與求測量結(jié)果時(shí)的運(yùn)算相同，其他過程中則完全不同。求不確定度時(shí)，在計(jì)算過程中算出來幾位就幾位，只有到最后一步≈的時(shí)候再按（逢1逢2兩位，其余保留一位，只進(jìn)不舍的原則）進(jìn)行處理。如：A=2.30±0.03，B=5.00±0.15，則N=AB的不確定度UN=2.30*0.15+5.00*0.03=0.345+0.15=0.495≈0.5有效數(shù)字的運(yùn)算（求不確定度）從