第8章 梁的位移分析與剛度設計

第八章梁的位移分析與剛度設計主講教師：毛衛(wèi)國單位：材料與光電物理學院2023/9/291

在第7章，我們主要學習了梁的純彎曲、橫向彎曲和斜彎曲中正應力與外加力偶的關系，分析了正應力的分布情況，如何判別最大正應力的位置，進而如何判斷梁的強度問題。另外，我們知道，當梁受到橫向載荷或外加力偶時，其中不僅產生正應力，而且在梁的不同位置處其變形情況也不同。2023/9/292失效(failure)或破壞工程構件在外力作用下喪失正常功能的現(xiàn)象。(1)強度失效(failurebyloststrength)

指構件在外力作用下發(fā)生不可恢復的塑性變形或發(fā)生斷裂。(2)剛度失效(failurebylostrigidity)

指構件在外力作用下產生過量的彈性變形。(3)穩(wěn)定失效(failurebyloststability)

指構件在某種外力作用下，其平衡形式發(fā)生突然轉變。失效類型：2023/9/293研究的意義位移分析中所涉及的梁的變形和位移，都是彈性的。盡管變形和位移都是彈性的，工程設計中，對于結構或構件的彈性位移都有一定的限制。彈性位移過大，也會使結構或構件喪失正常功能，即發(fā)生剛度失效。尤其是在高精密的儀器、器械中對于材料的彈性變形控制尤為重要。我們要研究材料的變形和位移之間的關系。位移分析也是解決超靜定問題與振動問題的基礎。2023/9/294上一章中已經提到，如果忽略剪力FQ的影響，在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線，梁的橫截面變形后依然保持平面，且仍與梁變形后的軸線垂直。由于發(fā)生彎曲變形，梁橫截面的位置發(fā)生改變，這種改變稱為位移(Displacement)。位移是各部分變形累加的結果。位移與變形有著密切聯(lián)系，但又有嚴格區(qū)別。有變形不一定處處有位移；有位移也不一定有變形。這是因為，桿件橫截面的位移不僅與變形有關，而且還與桿件所受的約束有關。2023/9/295在數(shù)學上，確定桿件橫截面位移的過程主要是積分運算，積分限或積分常數(shù)則與約束條件和連續(xù)條件有關。若材料的應力-應變關系滿足胡克定律，且在彈性范圍內加載，則位移與力(均為廣義的)之間均存在線性關系。因此，不同的力在同一處引起的同一種位移可以相互疊加。本章將在分析變形與位移關系的基礎上，建立確定梁位移的小撓度微分方程及其積分的概念，重點介紹工程上應用的疊加法以及梁的剛度設計準則。2023/9/2968.1基本概念8.1.1梁彎曲后的撓度曲線若在彈性范圍內加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一條連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線(elasticcurve)或撓度曲線(deflectioncurve)，簡稱彈性線或撓曲線。2023/9/297

根據上一章所得到的結果，彈性范圍內的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關系其中，ρ和M都是橫截面位置x的函數(shù)，EI為橫截面的彎曲剛度。2023/9/2988.1.2梁的撓度與轉角梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(Displacement)。梁的位移包括三部分：橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度(deflection)，用ω表示變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度(slope)，用θ表示。橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移(horizontaldisplacement)，用u表示。在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度ω相比為高階小量，故通常不予考慮水平位移u

。所以我們主要關注撓度ω和轉角θ之間的關系2023/9/299+所以我們得到了撓度ω和轉角θ之間的微分關系撓度方程(deflectionequation)Zy2023/9/29108.1.3梁的位移與約束密切相關約束不同導致梁的位移不相同。2023/9/29118.2小撓度微分方程及其積分

應用撓度曲線的曲率與彎矩和彎曲剛度之間的關系式，以及數(shù)學中關于曲線的曲率公式有梁的撓曲線近似微分方程，又稱為Euler-Bernoulli方程。2023/9/2912符號問題：撓度ω和轉角θ的正負號由所選坐標系的正方向來確定。沿y軸正向的撓度ω為正+，反之為負；將x軸繞坐標原點旋轉90o與y軸重合，轉角θ和它的轉向相同為正，反之為負。彎矩M(x)的正負號確定依舊與第5章的符號規(guī)則一樣。2023/9/2913補充知識曲率的定義：2023/9/29142023/9/29152023/9/2916撓度符號按照數(shù)學中的符號規(guī)定，與坐標系的選取有關。彎矩的符號與前面第五章的規(guī)定一致，與坐標選取無關。即M(x)為+，則梁的曲線向下凸。

M(x)為-，則梁的曲線向上凸。MM2023/9/2917ωxωxωxωx2023/9/2918

根據彎矩的正負號規(guī)則和上面所選取的坐標系，彎矩和撓度二階導數(shù)總是不一致的，所以在公式右邊應該取負號。通常選取的坐標：ωx2023/9/2919對于等截面梁，應用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，分別對x作不定積分，得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉角方程為:C、D為積分常數(shù)。該方法稱為積分法(Integrationmethod)。2023/9/29208.2.2積分法中常數(shù)的確定利用約束條件和連續(xù)條件約束條件對撓度和轉角的限制。在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件是撓度等于零，即ω＝0，θ≠0在固定端處，約束條件是撓度等于零，即ω＝0

轉角等于零，即θ＝02023/9/2921連續(xù)條件梁在彈性范圍內加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線。在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側的撓度、轉角對應相等，

ω1＝ω2θ1＝θ22023/9/29222023/9/2923得到了帶待定參數(shù)的撓度方程和轉角方程。2023/9/29242023/9/2925其方法類似于第5章所求的剪力方程和彎矩方程！2023/9/29268.3工程中的疊加法基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨立作用原理，采用疊加法(superpositionmethod),由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。在很多的工程計算手冊中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉角表達式一一列出，簡稱為撓度表(參見本章表8-1)。2023/9/2927表8-1梁的撓度與轉角公式2023/9/2928作業(yè)：3、4、8、92023/9/2929疊加法基本思想

各載荷同時作用下梁任一截面的撓度和轉角，等于各個載荷單獨作用時同一截面的撓度和轉角的代數(shù)和。疊加原理的限制：疊加原理要求梁的某個截面的撓度和轉角與該截面的彎矩成線性關系，因此要求：彎矩M與曲率成線性關系，這就要求材料是線彈性的。曲率與撓度成線性關系，這就要求梁為小變形。原理2023/9/29302023/9/29312023/9/29322023/9/29338.3.2疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情況思路：2023/9/29342023/9/29352023/9/29368.4簡單的超靜定梁

與求解拉伸、壓縮桿件的靜不定問題相似，求解靜不定梁時，除了平衡方程外，還需要根據多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調方程，并建立力與位移或變形之間的物理關系，即物理方程或稱本構方程。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程。2023/9/2937(1)首先要判斷靜不定的次數(shù)，也就是確定有幾個多余約束；(2)然后選擇合適的多余約束，將其去除，使靜不定梁變成靜定梁；(3)在解除約束處代之以多余約束力；(4)最后將解除約束后的梁與原來的靜不定梁相比較，多余約束處應當滿足什么樣的變形條件才能使解除約束后的系統(tǒng)的受力和變形與原來的系統(tǒng)彎曲等效，從而寫出變形協(xié)調條件。思路：如何得出變形協(xié)調條件？2023/9/2938多余的約束=多余的約束力(未知的外力)+變形協(xié)調條件2023/9/2939四個未知數(shù)，三個獨立方程。2023/9/29402023/9/