數(shù)學物理方程-2

數(shù)學物理方法理學院馮國峰第2章分離變量法分離變量法的基本思想：把數(shù)學物理方程定解問題中未知的多元函數(shù)分解成若干個一元函數(shù)的乘積，從而把求解偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解若干個常微分方程定解問題。第2章分離變量法第1節(jié)有界弦的自由振動第2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題第4節(jié)非齊次方程的求解問題第5節(jié)非齊次邊界條件的處理第6節(jié)固有值與固有函數(shù)第2章分離變量法[例]求解下列問題第2-1節(jié)有界弦的自由振動問題：研究一根長為l，兩端（）固定的弦作微小振動的現(xiàn)象。給定初始位移和初始速度后，在無外力作用的情況下，求弦上任意一點處的位移，即求解下列定解問題式中，均為已知函數(shù)。第2-1節(jié)有界弦的自由振動

這個定解問題的特點是：泛定方程是線性齊次的，邊界條件也是齊次的。求解這樣的問題，可以運用疊加原理。如果能夠找到泛定方程足夠個數(shù)的特解，則可以利用它們的線性組合去求定解問題的解。第2-1節(jié)有界弦的自由振動從物理學可知，樂器發(fā)出的聲音可以分解成各種不同頻率的單音，每個單音在振動時形成的波形是正弦曲線，其振幅依賴于時間t，也就是說每個單音總可以表示成的形式，這種形式的特點是：二元函數(shù)是只含變量x的一元函數(shù)與只含變量t的一元函數(shù)的乘積，即它具有變量分離的形式。弦的振動也是波，它也應該具有上述的特點。第2-1節(jié)有界弦的自由振動第2-1節(jié)有界弦的自由振動第2-1節(jié)有界弦的自由振動

若對于的某些值，常微分方程定解問題的非平凡解存在，則稱這種的取值為該問題的固有值（或特征值）；同時稱相應的非平凡解為該問題的固有函數(shù)（或特征函數(shù)）。這樣的問題通常叫做施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）問題（或固有值問題）。第2-1節(jié)有界弦的自由振動（1）當時，方程沒有非平凡解。（2）當時，方程也沒有非平凡解。（3）當時，方程有如下形式的通解：第2-1節(jié)有界弦的自由振動

稱為固有值問題的一系列固有值，相應的非零解為對應的固有函數(shù)。第2-1節(jié)有界弦的自由振動將固有值代入方程中，有可得其通解為第2-1節(jié)有界弦的自由振動這樣，就得到泛定方程的滿足齊次邊界條件的下列變量分離的特解式中，是任意常數(shù)。第2-1節(jié)有界弦的自由振動由于初始條件式中的與是任意給定的，一般情況下，任何一個特解都不會滿足初始條件式。但由于泛定方程是線性齊次的，根據(jù)疊加原理，級數(shù)仍是泛定方程的解，并且同時滿足邊界條件。第2-1節(jié)有界弦的自由振動為了選取，使得上式也滿足初始條件，在上式及其關(guān)于t的導數(shù)式中，令，由初始條件得第2-1節(jié)有界弦的自由振動傅里葉級數(shù)（補充）：（1）設是周期為的周期函數(shù)，則其中第2-1節(jié)有界弦的自由振動傅里葉級數(shù)（補充）：（2）設是周期為的周期函數(shù)，則其中第2-1節(jié)有界弦的自由振動（3）當為奇函數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。正弦級數(shù)為第2-1節(jié)有界弦的自由振動（4）當為偶函數(shù)時，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。余弦級數(shù)為第2-1節(jié)有界弦的自由振動和分別是函數(shù)、在區(qū)間上的傅里葉正弦級數(shù)展開式的系數(shù)，即第2-1節(jié)有界弦的自由振動取級數(shù)的一般項，并作如下變形：式中，最大振幅相位頻率第2-1節(jié)有界弦的自由振動表示這樣一個振動波，在所考察的弦上各點以同樣的頻率作簡諧振動，各點的初相相同，其振幅與點的位置有關(guān)，此振動波在任一時刻的波形都是一條正弦曲線。（初相與最大振幅由初始條件確定，頻率與初值無關(guān)）。第2-1節(jié)有界弦的自由振動這種振動波還有一個特點，即在范圍內(nèi)有個點在整個過程中始終保持不動，即在的那些點，這樣的點在物理上稱為的節(jié)點。這說明的振動是在上的分段振動，人們把這種包含節(jié)點的振動波稱為駐波。另外，駐波還在另外的一些點處振幅達到最大值，這樣的點叫做腹點。第2-1節(jié)有界弦的自由振動

是一系列駐波，它們的頻率、相位和振幅都隨n而異。因此，可以說原定解問題的級數(shù)解是由一系列頻率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的駐波疊加而成的，每一個駐波的波形由固有函數(shù)和初值確定，頻率則由固有值確定，與初值無關(guān)。因此，分離變量法也稱為駐波法。第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題[問題]設有一均勻細桿，長為l，兩個端點的坐標為和，端點處的溫度保持為零度，已知桿上初始溫度分布為，求桿上的溫度變化規(guī)律，即求解下列問題。第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題使用分離變量法求解：第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題該邊值問題的固有值為：固有函數(shù)為：第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題則定解問題的解為由初始條件得第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題

當邊界條件的類型發(fā)生改變后，一個或兩個為第二類齊次的或第三類齊次的，這種定解問題的求解方法不變，可是求出的固有值與固有函數(shù)會發(fā)生改變。

第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題[問題]下面考慮桿的兩端處絕熱，初始溫度分布為，并且無熱源的有限長桿的熱傳導問題，它歸結(jié)為求解式中為給定的已知函數(shù)。第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題使用分離變量法求解：第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題（1）當時，方程沒有非平凡解。（2）當時，方程有解（常數(shù)）。（3）當時，方程有如下形式的通解：第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題該邊值問題的固有值為：固有函數(shù)為：第2-2節(jié)有限長桿上的熱傳導問題則定解問題的解為由初始條件得第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題（一）矩形區(qū)域上的拉普拉斯邊值問題一個長為a，寬為b的矩形薄板，上下兩面絕熱，四周邊界溫度已知，具體為：板的兩邊（）始終保持零度，另外兩邊（）的溫度分別為和，求薄板內(nèi)穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題矩形區(qū)域上的拉普拉斯方程邊值問題：第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題設第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題固有值為固有函數(shù)為

第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題原定解問題的解：由邊界條件得：第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題應用傅里葉系數(shù)公式得：第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題

當矩形區(qū)域的兩組對邊的邊界條件都是齊次時，方程只有零解，這從物理模型上分析也是顯然的。若兩組邊界條件都是非齊次的，則無法直接應用分離變量法。此時，可以根據(jù)疊加原理，將其分解為兩個各含有一組對邊是齊次邊界條件的邊值問題，再利用分離變量的方法分別求解。第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題[問題]一個半徑為的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊界上的溫度已知，求達到穩(wěn)恒狀態(tài)時圓盤的溫度分布規(guī)律。由于穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度滿足拉普拉斯方程，并且區(qū)域是圓形的，為了應用分離變量法，拉普拉斯方程采用極坐標形式將是方便的，用來表示圓板內(nèi)點的溫度，則區(qū)域的邊界是圓周，所以邊界條件可以表示為式中為圓周邊界上的已知溫度，且。第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題令，則第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題這樣所述問題可以表示為下列定解問題：周期性邊界條件：有界性條件：第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題設泛定方程的解為第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題（1）當時，方程的通解為式中A與B是任意常數(shù)。這樣的函數(shù)不滿足周期性條件。（2）當時，的解為原定解問題的解為第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題（3）當時，方程的通解為固有值為相應的固有函數(shù)為和，在這里，一個固有值對應多個線性無關(guān)的固有函數(shù)。歐拉（Euler）方程它的通解為第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題補充：歐拉方程的解法：令，有，則代入歐拉方程中，得到有通解第3節(jié)二維拉普拉斯方程的邊值問題原定解問題的一些列特解式中第2-4節(jié)非齊次方程的求解問題（一）有界弦的強迫振動問題齊次邊界條件與零初始條件的強迫振動問題，即一根弦在兩端固定、初始無變化的情況下，受外力作用所產(chǎn)生的振動現(xiàn)象。定解問題歸納為：第2-4節(jié)非齊次方程的求解問題根據(jù)物理規(guī)律，外力只影響振動的振幅，而不改變振動的頻率，因此我們可以采用類似于線性非齊次常微