《高等數(shù)學(xué)》第八章-重積分

24九月20231高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）24九月20232第八章重積分一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分（DoubleIntegrals）24九月20233主要內(nèi)容第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)二重積分的計算方法第三節(jié)三重積分第四節(jié)重積分的應(yīng)用24九月20234第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

第八章（Conceptionandpropertyofdoubleintegral）一、二重積分的概念二、二重積分的性質(zhì)三、小結(jié)與思考練習(xí)24九月20235一、二重積分的概念解法:

類似定積分解決問題的思想:1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”24九月202361)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體24九月202374)“取極限”令24九月20238有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.2.平面薄片的質(zhì)量24九月202392)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量24九月202310兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:24九月202311將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù)

,定義24九月202312曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作24九月202313二重積分存在定理:若函數(shù)定理2定理1在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),則在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)

在有界閉區(qū)域D

上除去有24九月202314二、二重積分的性質(zhì)24九月20231524九月202316利用性質(zhì)524九月202317內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)課外練習(xí)習(xí)題8－12；4（2）（4）；524九月202318思考與練習(xí)被積函數(shù)相同,且非負(fù),解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:24九月2023192.

設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:

因0<y<1,故故在D上有24九月202320

設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍有類似結(jié)果.在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則在第一象限部分,則有補充：積分對稱性24九月202321第二節(jié)二重積分的計算方法

第八章(CalculationofDoubleIntegral)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分三、小結(jié)與思考練習(xí)24九月202322一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分曲頂柱體的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的設(shè)曲頂柱體的頂為X型區(qū)域24九月202323同樣,若曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算Y型區(qū)域24九月202324為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y

–型區(qū)域,24九月202325均非負(fù)在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于當(dāng)被積函數(shù)補充說明（課本沒有）：24九月20232624九月202327其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:

為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則例3

計算24九月202328例5

求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為24九月202329二、利用極坐標(biāo)計算二重積分對應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓r

=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為24九月202330即則設(shè)24九月202331特別地,對若f≡1則可求得D的面積24九月202332思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)24九月20233324九月202334其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計算.例7

計算24九月202335利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.注:24九月202336被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知例8求球體24九月202337內(nèi)容小結(jié)直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則24九月202338則極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為24九月202339課外練習(xí)習(xí)題8－21（偶數(shù)題）；2（奇數(shù)題）；3；4；6；7（1）（3）；8（1）（3)；9（2）（4）;10（2）；11（2）（4）思考與練習(xí)1.設(shè)且求24九月2023401.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換24九月202341其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,2.

計算24九月202342提示:

積分域如圖3.

交換積分順序24九月202343解：原式4.

給定的次序.改變積分24九月202344其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.5.

計算24九月202345第三節(jié)三重積分

第八章(TripleIntegrals)一、三重積分的概念二、三重積分的計算三、小結(jié)與思考練習(xí)24九月202346一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:

設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為24九月202347存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作定義

設(shè)24九月202348二、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1.

投影法(“先一后二”)方法2.

截面法(“先二后一”)方法3.

三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:24九月202349該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作方法1.投影法(“先一后二”

)24九月202350為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作方法2.截面法(“先二后一”)24九月202351投影法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:方法3.三次積分法24九月202352當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計算.24九月202353方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.小結(jié):三重積分的計算方法24九月202354其中

為三個坐標(biāo)所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面例1

計算三重積分24九月202355解:

例2

計算三重積分24九月202356就稱為點M

的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面2.利用柱面坐標(biāo)計算三重積分24九月202357因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單

;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為24九月202358例3

利用柱面坐標(biāo)計算三重積分，是由曲面與平面所圍成的閉區(qū)域。解:閉區(qū)域可表示為于是其中24九月202359就稱為點M

的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面3.利用球坐標(biāo)計算三重積分24九月202360因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為24九月202361解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面例4

計算三重積分（課本例4的特例）24九月202362內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成;課外練習(xí)習(xí)題8－31（1）（3）；2；3；4；7（2）；8（2）；924九月202363思考練習(xí)1.

將用三次積分表示,其中

由所提示:六個平面圍成,24九月202364其中

為由柱面所圍成半圓解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱體.2.

計算三重積分24九月202365解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=3.

計算三重積分24九月202366計算提示:

利用對稱性原式=奇函數(shù)4.

設(shè)24九月2023675.

計算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.24九月202368所圍,故可思考:若被積函數(shù)為f(y)時,如何計算簡便?表為解:24九月202369其中解:利用對稱性6.

計算24九月202370第四節(jié)重積分的應(yīng)用

第八章(ApplicationofMultipleIntegrals)一、曲面的面積二、質(zhì)心三、轉(zhuǎn)動慣量四、引力五、小結(jié)與思考練習(xí)24九月202371一、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA

無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則(AreaofSurface)24九月202372故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即24九月202373若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且24九月202374解:24九月202375二、質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心（Centroid）24九月202376將

分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第k

塊上任取一點24九月202377則得形心坐標(biāo)：同理可得24九月202378若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x

軸的

靜矩—對y

軸的

靜矩24九月202379的方程為內(nèi)儲有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:

利用對稱性可知質(zhì)心在

z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.(補充題）若爐不計爐體的其坐標(biāo)為例2

一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線24九月20238024九月202381三、轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域

,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.(MomentofInertia)24九月202382對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量類似可得:24九月202383面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.如果物體是平面薄片,24九月202384