專題07利用空間向量計算空間中距離的8種常見考法歸類（原卷版）

專題07利用空間向量計算空間中距離的8種常見考法歸類1、空間中距離的定義及分類（1）定義①點到點的距離，是指兩點之間線段的長度.②點到直線的距離，是指點與直線之間垂線段的長度.③兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點與另一直線之間垂線段的長度.④點到平面的距離，是指點與平面之間垂線段的長度.⑤相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點與平面之間垂線段的長度.⑥兩個平行平面之間的距離，是指其中一個平面上任意一點與另一平面之間垂線段的長度.⑦異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長度.注：①和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線;②公垂線與兩條直線相交的點所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段;③兩條異面直線公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.④公垂線段是異面直線上任意兩點的最小距離（2）分類情況①點到點的距離;②點到直線的距離，包括點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離;③點到平面的距離，包括點到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個平行平面之間的距離;④異面直線之間的距離.2、利用空間向量計算空間中距離的四種類型及方法空間中距離的四種類型求法（1）點到點的距離方法：由已知兩點分別作為起點和終點得出向量，計算該向量的模，即為點到點的距離具體步驟：①確定點A為起點，點B為終點，得出向量；②計算；③距離（2）點到直線的距離方法1：過點P向直線作垂線，垂足為點Q，計算即為點P到直線的距離具體步驟：①在直線上作點Q，使得；②作出；③計算；④距離方法2：作直線上的一個方向向量，計算在方向向量上的投影，在通過勾股定理計算出的長度，即為點到直線的距離具體步驟：①在直線上取定兩點A，B，得出向量，；②計算在上的投影；③利用勾股定理計算；④距離點到平面的距離具體步驟：求平面外一點到該平面的距離，需先求得平面的法向量.由于平面的法向量與平面垂直，所以法向量垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，若在平面內(nèi)，那么,,即,,據(jù)此求得法向量.在平面內(nèi)任取一點,則到平面的距離為,即在法向量上投影的絕對值.異面直線之間的距離如圖，設是異面直線，是的公垂線段的方向向量，又分別是上的任意兩點，則在上投影的絕對值即為之間的距離.具體步驟：①在直線上取點A，C，在直線上取點B，D；②通過和計算公垂線段的方向向量；③計算在上的投影；④注：在立體幾何中，求點到平面的距離、異面直線的距離、直線到平面的距離（此時直線與平面不相交）、兩個平行平面的距離有一個統(tǒng)一的公式，其中兩點A，B分別在兩個圖形上，指平面的一個法向量（求兩條異面直線的距離時，與這兩條異面直線的方向向量均垂直）.考點一點到點的距離考點二點到直線的距離考點三點到平面的距離考點四兩個平行的直線與平面的距離考點五兩個平行平面間的距離考點六異面直線之間的距離考點七空間距離的最值問題考點八已知空間距離求其他量考點一點到點的距離1．（2023秋·高二單元測試）在空間直角坐標系中，點到點的距離是．2．（2023秋·高二單元測試）已知，是空間直角坐標系中的兩點，點關于軸對稱的點為，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023春·高二課時練習）已知點,，求：(1)線段MN的長度；(2)到M，N兩點的距離相等的點的坐標滿足的條件．4．（2023·全國·高二專題練習）設，則AB的中點M到點C的距離（

）A． B． C． D．考點二點到直線的距離5．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知直線過定點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為．6．（2023秋·高二課時練習）已知直三棱柱中，，，則點B到直線的距離為．7．（2023秋·浙江溫州·高二樂清市知臨中學?？奸_學考試）如圖，正方體的棱長為1，正方形的中心為O，棱，的中點分別為E，F(xiàn)，則下列選項中不正確的是（

）A．B．C．點F到直線的距離為D．異面直線與所成角的余弦值為8．【多選】（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則A．B．若為線段上的一個動點，則的最大值為2C．點到直線的距離是D．異面直線與所成角的正切值為9．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考開學考試）如圖所示，平行六面體中，，．(1)求直線與夾角的余弦值；(2)若空間一點P滿足，求點P到直線AB的距離．10．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.11．（2023·天津北辰·?？寄M預測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.(1)求證：平面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)求點到PD的距離.考點三點到平面的距離12．（2023秋·高二課時練習）平面的法向量，點B在上且，則到的距離為．13．（2023·全國·高二專題練習）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．14．【多選】（2023秋·河南·高二長葛市第二高級中學校聯(lián)考開學考試）如圖1，某同學在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)的部分圖象，A，B分別是圖象的一個最高點和最低點，M是圖象與y軸的交點，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則（

）．A．B．點D到直線的距離為C．點D到平面的距離為D．平面與平面夾角的余弦值為15．（2023秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？奸_學考試）若，則三棱錐的體積為．16．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中?？奸_學考試）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面平面，.(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點，且點到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值.17．（2023秋·全國·高二隨堂練習）在三棱錐中，底面，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．18．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學?？奸_學考試）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．(1)求點B到平面ECD的距離；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（2023秋·湖北襄陽·高二襄陽五中?？奸_學考試）已知四棱錐，底面是邊長為2的菱形，平面，且，，，分別是，的中點.(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求二面角的正切值；(3)求點到平面的距離.20．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.考點四兩個平行的直線與平面的距離21．（2023秋·高二課時練習）已知正方形的邊長為1，平面，且分別為的中點，求直線到平面的距離．22．（2023秋·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．23．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．24．（2023秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面積為，E為PD的中點．(1)證明：平面PAB；(2)求點A到直線CE的距離；(3)求直線CE與平面PAB間的距離．25．（2023秋·貴州貴陽·高二清華中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點．(1)證明：平面；(2)求直線與平面間的距離．考點五兩個平行平面間的距離26．（2023·全國·高二假期作業(yè)）兩平行平面分別經(jīng)過坐標原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．27．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知正方體的棱長為4，設M、N、E、F分別是，的中點，求平面AMN與平面EFBD的距離．28．（2023春·安徽阜陽·高二安徽省太和中學?？茧A段練習）在棱長為2的正方體中，下列說法不正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．C．三棱錐外接球的表面積為D．平面與平面的距離為29．【多選】（2023·全國·高二專題練習）已知正方體的棱長為1，點分別是的中點，滿足，則下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離是B．點到平面的距離為C．平面與平面間的距離為D．點到直線的距離為30．【多選】（2023秋·高二單元測試）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．異面直線、所成的角為C．幾何體的體積為D．平面與平面間的距離為31．（2023·全國·高二專題練習）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點，分別是的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．32．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．考點六異面直線之間的距離33．【多選】（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是（

）A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為34．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在長方體中，，，求：(1)點到直線BD的距離；(2)點到平面的距離；(3)異面直線之間的距離.35．（2023·全國·高二專題練習）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．36．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，，平面平面.(1)求異面直線與間的距離；(2)若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值.考點七空間距離的最值問題37．（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（）A．1 B． C． D．38．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．39．【多選】（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學?？计谥校┮阎睦庵鵄BCDA1B1C1D1的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點M，N分別為側(cè)棱CC1，DA上的動點，AM⊥平面α.則下列正確的有（）A．異面直線AM與B1C可能垂直B．∠AMD1恒為銳角C．AB與平面α所成角的正弦值范圍為D．點N到直線BD1距離的最小值為40．（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，是棱上兩點（在的上方），且.(1)若，求證：平面；(2)當點到平面的距離取得最大值時，求的長.41．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預測）在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動點，記兩點之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時，不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，的最小值為.考點八已知空間距離求其他量42．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中?？奸_學考試）如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點在棱上.(1)證明：平面；(2)若，試確定的值，使得到平面的距離為.43．（2