微積分-經(jīng)濟數(shù)學-吳傳生第四章-省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

一、函數(shù)單調性二、函數(shù)極值四、函數(shù)圖形描繪

第三節(jié)導數(shù)應用三、曲線凹凸性與拐點五、小結思索題第1頁一、函數(shù)單調性(monotonicity)定理1．單調性判別法第2頁證應用拉氏定理,得第3頁例1解注意:函數(shù)單調性是一個區(qū)間上性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上符號來判定，而不能用一點處導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上單調性．第4頁2．單調區(qū)間(monotonicalinterval)求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調，但在一些部分區(qū)間上單調．定義:若函數(shù)在其定義域某個區(qū)間內是單調，則該區(qū)間稱為函數(shù)單調區(qū)間.導數(shù)等于零點和不可導點，可能是單調區(qū)間分界點．方法:第5頁例2解單調區(qū)間為第6頁例3解單調區(qū)間為第7頁注意:區(qū)間內個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間單調性.比如,例4（等號僅在個別點成立！?。。。。┙獾?頁例4證3．利用單調性證實不等式第9頁二、函數(shù)極值(extremum)1．函數(shù)極值定義第10頁定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點稱為極值點.第11頁2．函數(shù)極值求法定理1(必要條件)定義注意:比如,第12頁定理2(第一充分條件)第13頁(不是極值點情形)(是極值點情形)第14頁例1解列表討論極大值極小值第15頁圖形以下第16頁定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第17頁例2解圖形以下第18頁注意:第19頁例3解注意:函數(shù)不可導點,也可能是函數(shù)極值點.第20頁求極值步驟:第21頁三、曲線凹凸性與拐點問題:怎樣研究曲線彎曲方向?1．曲線凹凸性(concaveorconvex)第22頁圖形上任意弧段位于所張弦上方圖形上任意弧段位于所張弦下方第23頁定義第24頁1．凹凸性判定定理1123132第25頁例1解注意到,第26頁2.曲線拐點(apointofinflection)及其求法①拐點定義注意:拐點處切線必在拐點處穿過曲線.②拐點求法證第27頁方法1:第28頁例2解凹凸凹拐點拐點第29頁第30頁方法2:例3解第31頁注意:第32頁例4解第33頁四、函數(shù)圖形描繪假如函數(shù)f(x)

定義域上某個小區(qū)間中（1）單調性已知；（2）凹凸性已知；（3）區(qū)間端點位置已知或改變趨勢已知；那么能夠很輕易地畫出函數(shù)在這個區(qū)間內圖形．第34頁1．漸近線(asymptotes)定義:(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)第35頁比如有鉛直漸近線兩條:第36頁(2)水平漸近線比如有水平漸近線兩條:(horizontalasymptotes)第37頁(3)斜漸近線(inclinedasymptotes)斜漸近線求法:第38頁注意:例1解第39頁第40頁第41頁2．函數(shù)圖形描繪步驟利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第42頁第三步第四步確定函數(shù)圖形水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其它改變趨勢;第五步第43頁3．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.第44頁列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點第45頁作圖第46頁第47頁例3解偶函數(shù),圖形關于y軸對稱.第48頁拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點第49頁第50頁例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:第51頁拐點極大值極小值第52頁第53頁五、小結思索題

1.單調性判別是拉格朗日中值定理主要應用，定理中區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論依然成立.

應用：利用函數(shù)單調性能夠確定一些方程實根個數(shù)和證實不等式.第54頁駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2.極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.3.曲線彎曲方向——凹凸性；凹凸性判定.改變彎曲方向點——拐點;拐點求法①②.第55頁

4.函數(shù)圖形描繪綜合利用函數(shù)性態(tài)研究,是導數(shù)應用綜合考查.最大值最小值極大值極小值拐點凹凸單增單減第56頁思索題第57頁思索題解答不能斷定.例但第58頁當時，當時，注意能夠任意大，故在點任何鄰域內，都不單調遞增．第59頁思索題下命題正確嗎？第60頁思索題解答不正確．例第61頁在–1和1之間振蕩故命題不成立．第62頁思索題在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內部直徑為d,而且在地面處開了一個高為H小門.現(xiàn)在要對水塔進行維修施工，施工方案要求把一根長度為l(l>d)水管運到水塔內部.請問水塔門多高時，才有可能成功地把水管搬進水塔內？第63頁水管運進水塔時,一端在地面上滑動,另一端在水塔壁上垂直滑動.設水管運動過程中,在入門處高度為h,水管與地面夾角為依據(jù)題意可知：xyhdlO現(xiàn)在計算h極大值.解建立如右圖示坐標系.第64頁第65頁第66頁思索題某雜技團刻意求新,在某海濱城市演出時,利用當?shù)乜亢l件,設計了這么一個節(jié)目：在離開海邊9米沙灘上,建一10米高臺,高臺下5米處置一極富彈性斜面(用彈簧編織而成),斜面與水平面成角.然后讓演員從高臺團身跳下,與斜面碰撞(假定為彈性碰撞)后將其彈到海里.不知這個方案是否可行，請判定.第67頁分析：如右圖示,演員演出分三個階段完成：自由落體,碰撞,平拋.判斷該方案是否可行,就是看經(jīng)過這么運動之后能否平安地落入海中.這只需計算平拋階段水平距離是否大于9米即可.記高臺、高臺距斜面高度分別為H和h,顯然,s是h函數(shù),問題轉化為求s(h)極大值.00h0Hs演員碰到斜面時速度可計算得,第68頁因為假定是彈性碰撞，因而他水平飛出速度,演員從(H-h)處自由下落需要時間為故演員水平飛出距離為即把斜面放在全高二分之一處,就可得到最大水平距離.即第69頁飛出距離可達10米,而高臺離海邊僅9米,故方案是可行.第70頁思索題第71頁思索題解答例第72頁思索題第73頁思索題解答第74頁練習題