微積分-經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-吳傳生第四章-省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、函數(shù)單調(diào)性二、函數(shù)極值四、函數(shù)圖形描繪

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用三、曲線凹凸性與拐點(diǎn)五、小結(jié)思索題第1頁(yè)一、函數(shù)單調(diào)性(monotonicity)定理1．單調(diào)性判別法第2頁(yè)證應(yīng)用拉氏定理,得第3頁(yè)例1解注意:函數(shù)單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性．第4頁(yè)2．單調(diào)區(qū)間(monotonicalinterval)求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)，但在一些部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)，則該區(qū)間稱為函數(shù)單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)．方法:第5頁(yè)例2解單調(diào)區(qū)間為第6頁(yè)例3解單調(diào)區(qū)間為第7頁(yè)注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間單調(diào)性.比如,例4（等號(hào)僅在個(gè)別點(diǎn)成立?。。。。。┙獾?頁(yè)例4證3．利用單調(diào)性證實(shí)不等式第9頁(yè)二、函數(shù)極值(extremum)1．函數(shù)極值定義第10頁(yè)定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第11頁(yè)2．函數(shù)極值求法定理1(必要條件)定義注意:比如,第12頁(yè)定理2(第一充分條件)第13頁(yè)(不是極值點(diǎn)情形)(是極值點(diǎn)情形)第14頁(yè)例1解列表討論極大值極小值第15頁(yè)圖形以下第16頁(yè)定理3(第二充分條件)證同理可證(2).第17頁(yè)例2解圖形以下第18頁(yè)注意:第19頁(yè)例3解注意:函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)極值點(diǎn).第20頁(yè)求極值步驟:第21頁(yè)三、曲線凹凸性與拐點(diǎn)問題:怎樣研究曲線彎曲方向?1．曲線凹凸性(concaveorconvex)第22頁(yè)圖形上任意弧段位于所張弦上方圖形上任意弧段位于所張弦下方第23頁(yè)定義第24頁(yè)1．凹凸性判定定理1123132第25頁(yè)例1解注意到,第26頁(yè)2.曲線拐點(diǎn)(apointofinflection)及其求法①拐點(diǎn)定義注意:拐點(diǎn)處切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.②拐點(diǎn)求法證第27頁(yè)方法1:第28頁(yè)例2解凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)第29頁(yè)第30頁(yè)方法2:例3解第31頁(yè)注意:第32頁(yè)例4解第33頁(yè)四、函數(shù)圖形描繪假如函數(shù)f(x)

定義域上某個(gè)小區(qū)間中（1）單調(diào)性已知；（2）凹凸性已知；（3）區(qū)間端點(diǎn)位置已知或改變趨勢(shì)已知；那么能夠很輕易地畫出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)圖形．第34頁(yè)1．漸近線(asymptotes)定義:(1)鉛直漸近線(verticalasymptotes)第35頁(yè)比如有鉛直漸近線兩條:第36頁(yè)(2)水平漸近線比如有水平漸近線兩條:(horizontalasymptotes)第37頁(yè)(3)斜漸近線(inclinedasymptotes)斜漸近線求法:第38頁(yè)注意:例1解第39頁(yè)第40頁(yè)第41頁(yè)2．函數(shù)圖形描繪步驟利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第42頁(yè)第三步第四步確定函數(shù)圖形水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其它改變趨勢(shì);第五步第43頁(yè)3．函數(shù)作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性.第44頁(yè)列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)第45頁(yè)作圖第46頁(yè)第47頁(yè)例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.第48頁(yè)拐點(diǎn)極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):拐點(diǎn)第49頁(yè)第50頁(yè)例4解無(wú)奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):第51頁(yè)拐點(diǎn)極大值極小值第52頁(yè)第53頁(yè)五、小結(jié)思索題

1.單調(diào)性判別是拉格朗日中值定理主要應(yīng)用，定理中區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論依然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)單調(diào)性能夠確定一些方程實(shí)根個(gè)數(shù)和證實(shí)不等式.第54頁(yè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)2.極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.3.曲線彎曲方向——凹凸性；凹凸性判定.改變彎曲方向點(diǎn)——拐點(diǎn);拐點(diǎn)求法①②.第55頁(yè)

4.函數(shù)圖形描繪綜合利用函數(shù)性態(tài)研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合考查.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹凸單增單減第56頁(yè)思索題第57頁(yè)思索題解答不能斷定.例但第58頁(yè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意能夠任意大，故在點(diǎn)任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．第59頁(yè)思索題下命題正確嗎？第60頁(yè)思索題解答不正確．例第61頁(yè)在–1和1之間振蕩故命題不成立．第62頁(yè)思索題在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部直徑為d,而且在地面處開了一個(gè)高為H小門.現(xiàn)在要對(duì)水塔進(jìn)行維修施工，施工方案要求把一根長(zhǎng)度為l(l>d)水管運(yùn)到水塔內(nèi)部.請(qǐng)問水塔門多高時(shí)，才有可能成功地把水管搬進(jìn)水塔內(nèi)？第63頁(yè)水管運(yùn)進(jìn)水塔時(shí),一端在地面上滑動(dòng),另一端在水塔壁上垂直滑動(dòng).設(shè)水管運(yùn)動(dòng)過程中,在入門處高度為h,水管與地面夾角為依據(jù)題意可知：xyhdlO現(xiàn)在計(jì)算h極大值.解建立如右圖示坐標(biāo)系.第64頁(yè)第65頁(yè)第66頁(yè)思索題某雜技團(tuán)刻意求新,在某海濱城市演出時(shí),利用當(dāng)?shù)乜亢l件,設(shè)計(jì)了這么一個(gè)節(jié)目：在離開海邊9米沙灘上,建一10米高臺(tái),高臺(tái)下5米處置一極富彈性斜面(用彈簧編織而成),斜面與水平面成角.然后讓演員從高臺(tái)團(tuán)身跳下,與斜面碰撞(假定為彈性碰撞)后將其彈到海里.不知這個(gè)方案是否可行，請(qǐng)判定.第67頁(yè)分析：如右圖示,演員演出分三個(gè)階段完成：自由落體,碰撞,平拋.判斷該方案是否可行,就是看經(jīng)過這么運(yùn)動(dòng)之后能否平安地落入海中.這只需計(jì)算平拋階段水平距離是否大于9米即可.記高臺(tái)、高臺(tái)距斜面高度分別為H和h,顯然,s是h函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為求s(h)極大值.00h0Hs演員碰到斜面時(shí)速度可計(jì)算得,第68頁(yè)因?yàn)榧俣ㄊ菑椥耘鲎?，因而他水平飛出速度,演員從(H-h)處自由下落需要時(shí)間為故演員水平飛出距離為即把斜面放在全高二分之一處,就可得到最大水平距離.即第69頁(yè)飛出距離可達(dá)10米,而高臺(tái)離海邊僅9米,故方案是可行.第70頁(yè)思索題第71頁(yè)思索題解答例第72頁(yè)思索題第73頁(yè)思索題解答第74頁(yè)練習(xí)題