考點25 平面向量的概念、線性運算及坐標表示7種常見考法歸類（原卷版）

考點25平面向量的概念、線性運算及坐標表示7種常見考法歸類考點一平面向量的有關(guān)概念考點二平面向量的線性運算考點三由平面向量的運算判斷四邊形的形狀考點四共線向量定理的應(yīng)用（一）向量共線問題（二）三點共線問題（三）向量共線性質(zhì)的應(yīng)用考點五平面向量基本定理及應(yīng)用（一）對基向量概念的理解（二）用基底表示向量（三）利用平面向量基本定理求參數(shù)考點六平面向量的坐標運算考點七共線向量的坐標表示及應(yīng)用（一）由坐標判斷向量是否共線（二）利用向量共線求參數(shù)（三）利用向量共線解決三點共線問題（四）利用向量共線求向量或點的坐標（五）共線向量坐標表示的應(yīng)用1.向量的有關(guān)概念名稱定義說明向量在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a，b，c，…表示有向線段包含三個要素：起點、方向、長度向量的模向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|向量的模是數(shù)量零向量長度為0的向量叫做零向量，記作0其方向是任意的單位向量長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量a是非零向量，則±eq\f(a,|a|)是單位向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量兩向量可以相等也可以不相等，但不能比較大小相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a0的相反向量仍是02.有關(guān)平面向量概念的注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點．(5)零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．(6)a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；(7)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(8)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(9)對于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法；(10)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上；(11)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等，所以線段共線與向量共線是有區(qū)別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，而向量的共線與向量的平行是一致的.3.向量的線性運算運算定義法則(或幾何意義)運算律(性質(zhì))加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a，并規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立減法求與的相反向量的和的運叫做與的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算λa是一個向量，其長度：|λa|＝|λ||a|；其方向：λ>0時，與a方向相同；λ<0時，與a方向相反；λ＝0時，λa＝0設(shè)λ，μ∈R，則λ(μa)＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb【注意】（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．（4）加法運算的推廣：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).（5）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．（6）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.兩向量不共線時，可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知“<”成立；兩向量共線時，可得出“＝”成立(分同向、反向兩種不同情形).（7），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．（8）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．4.平面向量的線性運算解題策略（1）進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解決.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果．5.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值．6.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．注：a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)，注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用；若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.對于兩個向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實數(shù)λ使得b＝λa)中條件“a≠0”的理解：①當a＝0時，a與任一向量b都是共線的；②當a＝0且b≠0時，b＝λa是不成立的，但a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我們要求a≠0.換句話說，如果不加條件“a≠0”，“a與b共線”是“存在唯一實數(shù)λ使得b＝λa”的必要不充分條件.7.三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握注：A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．注：、、三點共線，這是直線的向量式方程．8.平面向量共線定理的三個應(yīng)用9.求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．10.線段定比分點的向量表達式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．11.線性運算重要結(jié)論(1)中線向量定理:若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).(2)若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則點A，B，C共線的充要條件是λ＋μ＝1.(4)如圖，△ABC中，BD＝m，CD＝n，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))，特別地，D為BC的中點時(m＝n)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).12.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.13.平面向量基本定理的推論(1)設(shè)a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共線，若a＝b，則λ1＝λ3且λ2＝λ4.(2)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(3)平面向量基本定理的推論①已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，則平面內(nèi)任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數(shù)t，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).特別地，當t＝eq\f(1,2)時，點P是線段AB的中點.②對于平面內(nèi)任意一點O，P，A，B三點共線?存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.14.平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．(3)特別注意基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．15.平面向量的正交分解及坐標表示(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)線性運算的坐標表示文字敘述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2).兩點構(gòu)成的向量坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy).(3)平面向量共線的坐標表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.16.重要坐標公式已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則線段AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).17.平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關(guān)系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．18.平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．考點一平面向量的有關(guān)概念1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：①單位向量一定相等；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為______．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列五個命題：①向量與共線，則必在同一條直線上；②如果向量與平行，則與方向相同或相反；③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；④若，則、的長度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.其中正確的命題有______個.3．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┫铝姓f法正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實數(shù)使得D．若，是兩個單位向量，且．則4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下列結(jié)論：①；②；③；④⑤若，則對任一非零向量有；⑥若，則與中至少有一個為；⑦若與是兩個單位向量，則.則以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（）A． B．C． D．考點二平面向量的線性運算7．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．9．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正六邊形中，，若，則（

）A． B．3 C． D．10．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知的邊的中點為，點在所在平面內(nèi)，且，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．1111．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖是函數(shù)的部分圖象，且，則（

）A．1 B． C． D．考點三由平面向量的運算判斷四邊形的形狀12．（2023·廣東揭陽·?？级＃┰O(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形13．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知是平面四邊形，設(shè)：，：是梯形，則是的條件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．（2023·湖南益陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形15．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)四邊形的形狀，判斷正確的有（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形考點四共線向量定理的應(yīng)用（一）向量共線問題16．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件17．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件18．（2023·河南·統(tǒng)考二模）已知不共線，向量，，且，則_______．19．（2023春·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知是兩個不共線的非零向量，若與共線，則_____________．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則與共線的條件為（）A． B．C． D．或21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若，其中λ∈R，則點P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部（二）三點共線問題22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量,已知,且三點共線,則的值為（

）A．2 B．3 C． D．823．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D24．（2023秋·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知點是平面內(nèi)任意一點，則“存在，使得”是“三點共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項和，，平面內(nèi)三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______（三）向量共線性質(zhì)的應(yīng)用26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、P是直線上三個相異的點，平面內(nèi)的點，若正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為_______.27．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．928．（2023·全國·高三專題練習(xí)）P是所在平面內(nèi)一點，若，則（

）A． B． C． D．29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，為所在平面內(nèi)的兩點，且滿足，，則__________．30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為內(nèi)一點，且滿足關(guān)系式，則__．31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O是內(nèi)一點，，若與的面積之比為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．32．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則__________，的最小值為___________.考點五平面向量基本定理及應(yīng)用（一）對基向量概念的理解33．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（

）A． B．C． D．34．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．35．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．，B．，C．，D．，（二）用基底表示向量36．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，，則（

）A． B．C． D．37．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（

）A． B．C． D．38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-39．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）平行四邊形中，點在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．40．（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B． C． D．41．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在中，點為邊的中點，為線段的中點，連接并延長交于點，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．（三）利用平面向量基本定理求參數(shù)42．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．43．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，若點D是斜邊AB的中點，點P是中線CD上一點，且，則（

）

A．1 B． C． D．44．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在中，M，N分別是AB，AC的中點，若，則（

）A． B． C．1 D．245．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，點，分別滿足，，若，則________．46．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，為的中點，，，若，則（

）A． B．0 C． D．47．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數(shù)），則（

）A． B． C． D．48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，點在線段上，且，若，則的值為_______.49．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（

）A． B． C． D．50．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（

）A． B． C． D．考點六平面向量的坐標運算51．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知點，，則向量的坐標為（

）A． B． C． D．52．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習(xí)）已知點，，則與方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，則與向量垂直的單位向量的坐標為（

）A． B．C．或 D．或54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．55．（2023·湖北·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為__________,56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩點、，點滿足，則的坐標為___________.58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2考點七共線向量的坐標表示及應(yīng)用（一）由坐標判斷向量是否共線60．【多選】（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為45°61．【多選】（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，非