平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程課件

§2.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。設(shè)隨機(jī)過(guò)程ξ(t),若對(duì)于任意n和任意選定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ為任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)則稱(chēng)ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程?！?.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移1隨機(jī)幅度的正弦信號(hào)隨機(jī)頻率的正弦信號(hào)幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的隨機(jī)相位的正弦信號(hào)隨機(jī)幅度的正弦信號(hào)隨機(jī)頻率的正弦信號(hào)幅度、相位和頻率都是隨機(jī)2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義說(shuō)明：當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。推論：一維分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)，二維分布只與時(shí)間間隔τ有關(guān)。從而有R(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=R(t1,t1+τ)=R(τ)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義說(shuō)明：當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)32.2.1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)格的說(shuō)：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的n維概率密度不隨時(shí)間平移而變化，或者說(shuō)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。換句話(huà)說(shuō)：2.2.1嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)格的說(shuō)：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的n維概率密度不隨4在任何時(shí)刻計(jì)算嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的在任何時(shí)刻計(jì)算嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的5嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)性質(zhì)一：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的性質(zhì)性質(zhì)一：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的一維概率密度與時(shí)6嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)7證明：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和方差與時(shí)間無(wú)關(guān)證明：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和方差與時(shí)間無(wú)關(guān)8性質(zhì)二：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的二維概率密度只與兩個(gè)時(shí)刻t1和t2的間隔有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。證明：性質(zhì)二：嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的二維概率密度只與兩個(gè)9嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)都只是時(shí)間間隔的函數(shù)。嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)都只是時(shí)間間隔102.2.2寬平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義對(duì)于一切n都需成立，這在實(shí)際應(yīng)用上很復(fù)雜。由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)還可以引入另一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義：若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是τ的函數(shù)，則稱(chēng)它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2.2.2寬平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義對(duì)于一切n都需成立，11廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的，即對(duì)于高斯過(guò)程來(lái)說(shuō)，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是等價(jià)的。一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要它的均方值有限，則它必定是廣義平穩(wěn)的。但是，反之則不一定成立。廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的，即對(duì)于高斯過(guò)程來(lái)說(shuō)，嚴(yán)平12平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程ppt課件13

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿(mǎn)足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱(chēng)為“各態(tài)歷經(jīng)性”。若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時(shí)間平均）來(lái)替代，則稱(chēng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有“各態(tài)歷經(jīng)性”。各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在滿(mǎn)足一定條件下有一個(gè)有趣而又非常有用的特性14“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)。因此，我們無(wú)需獲得大量用來(lái)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所15隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)樣本函數(shù)都同樣地經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的各種可能狀態(tài)，因此從隨機(jī)過(guò)程的任何一個(gè)樣本函數(shù)就能得到隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)信息，任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的特性。隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)