《專項練習》2023學(xué)年八年級上冊（人教版） 運算能力之乘法公式綜合難點專練（解析版）

更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：專題01運算能力之乘法公式綜合難點專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，可得m+n=22，再根據(jù)長方形面積公式可得mn=120，再根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用完全平方公式．2．如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個正方形A和2個正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【分析】由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，進而得到ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【詳解】解：設(shè)正方形A、B的邊長分別為a、b，由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積為（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故選：C．【點睛】此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解圖形的構(gòu)成，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．如圖，有10個形狀大小一樣的小長方形①，將其中的3個小長方形①放入正方形②中，剩余的7個小長方形①放入長方形③中，其中正方形②中的陰影部分面積為22，長方形③中的陰影部分面積為96，那么一個小長方形①的面積為（）A．5 B．6 C．9 D．10【答案】A【分析】設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)正方形陰影面積=正方形面積-3個小長方形面積=22根根據(jù)大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個小長方形面積=96列方程求出即可．【詳解】解：設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)②正方形邊長為，陰影面積為，根據(jù)③大長方形的長為，寬為，陰影面積為，∴聯(lián)立得，整理得，解得，一個小長方形①的面積為5．故選擇A．【點睛】本題考查圖形陰影面積應(yīng)用問題，多項式乘法與圖形面積，完全平方公式，仔細分析圖形，從中找出等量關(guān)系，正方形陰影面積=正方形面積-3個小長方形面積=22，大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個小長方形面積=96，列方程組是解題關(guān)鍵．4．利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的特征進行判斷，然后根據(jù)公式特點進行計算．【詳解】解：A、不符合完全平方公式的特征且計算錯誤，完全平方公式的中間一項為，所以不符合題意；B、不符合完全平方公式特征且計算錯誤，最后一項應(yīng)為，所以不符合題意；C、，所以符合題意；D、不符合完全平方公式特征且計算錯誤，最后一項應(yīng)為，所以不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的特征，識記且熟練運用完全平方公式：是解答問題的關(guān)鍵．二、填空題5．如圖，長方形的邊，E是邊上的一點，且，F(xiàn)，G分別是線段，上的動點，且，現(xiàn)以，為邊作長方形，以為邊作正方形，點H，I均在長方形內(nèi)部．記圖中的陰影部分面積分別為，長方形和正方形的重疊部分是四邊形，當四邊形的鄰邊比為3∶4，的值為________．【答案】7或【分析】利用長方形及正方形的性質(zhì)可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根據(jù)當長方形KILH的鄰邊的比為3：4可求解DG的長，再利用DG的長分別求解AF，CG，AJ的長，進而可求解，注意分類討論．【詳解】解：在長方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．∵四邊形DGIJ為正方形，四邊形BFHE為長方形，BF=DG，∴四邊形KILH為長方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．∵BE=BA=10，∴LG=EC=3，∴KH=IL=DG-LG=DG-3．當長方形KILH的鄰邊的比為3：4時，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4，解得DG=9或，當DG=9時，AF=CG=1，AJ=4，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG=1×4+1×3=7；當DG=時，AF=CG=，AJ=，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG==故答案為7或．【點睛】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的計算方法．6．計算：（1）若x滿足則的值為____；（2）如上圖，，長方形的面積是50，四邊形和以及都是正方形四邊形是長方形，則圖中正方形的面積為_______．【答案】120204【分析】（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，從而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根據(jù)題意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面積．【詳解】解：（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，則（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面積為：204，故答案為：（1）120；（2）204．【點睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式，進行轉(zhuǎn)化應(yīng)用．7．找規(guī)律填數(shù)：＝_____（直接填寫結(jié)果）．【答案】10n【分析】將變形為，故．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根以及完全平方公式的逆運用，熟練掌握算術(shù)平方根以及完全平方公式的逆運用是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題8．已知關(guān)于的二次三項式滿足.（1）求整式；（2）若，當時，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接利用整式的加減運算法則計算得出答案即可；（2）直接利用整式的加減運算法則結(jié)合的值代入得出答案即可．【詳解】解：（1）∵∴；（2）∵，∴.當時，．【點睛】此題主要考查了整式的加減，正確掌握相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵．9．計算：（1）；（2）；（3）；（4）請用簡便方法計算：【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-16．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同類項即可；（2）先根據(jù)單項式乘以多項式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可；（3）先根據(jù)積的乘方化簡，再從左往右計算即可；（4）先變形，再根據(jù)平方差公式進行計算，最后求出答案即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了整式的混合運算，能靈活運用知識點進行計算和化簡是解此題的關(guān)鍵．10．計算：（1）（2）;（3）;（4）．【答案】（1）-5x3y5z3；（2）；（3）18；（4）．【分析】（1）根據(jù)單項式乘以單項式的運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)單項式乘以多項式的運算法則進行計算即可；（3）分別根據(jù)多項式乘以多項式和單項式乘以單項式運算法則去括號，然后外掛；（4）運用平方差公式進行計算即可得到答案．【詳解】解：．．18．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵．11．對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）對于等式，可以由圖1進行解釋：這個大長方形的長為_____，寬為_____，用長乘以寬可求得其面積，同時，大長方形的面積也等于3個長方形和3個正方形的面積之和．（2）如圖2，試用兩種不同的方法求它的面積，你能得到什么數(shù)學(xué)等式？方法1（從整體角度）：_________；方法2（從局部角度：6個長方形和3個正方形）：_____________；數(shù)學(xué)等式：______________________．（3）利用（2）中得到的數(shù)學(xué)等式，解決下列問題：已知，，求的值．【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15【分析】（1）根據(jù)圖形直接得出長為（a+2b），寬為（a+b）；（2）整體上是一個邊長為（a+b+c）的正方形，各個部分的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；（3）將（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，變形為（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整體代入求值即可．【詳解】解：（1）由圖形直觀得出，長為：（a+2b），寬為（a+b），故答案為：（a+2b），（a+b）；（2）方法1（從整體角度）：（a+b+c）2，方法2（從局部角度：6個長方形和3個正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有數(shù)學(xué)等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，∴ab+bc+ac=15．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，因式分解以及多項式乘以多項式的計算法則，掌握公式特征和適當變形是正確應(yīng)用的前提．12．某公園對一個邊長為a（a＞1）的正方形花壇進行改造，由于占地需要，正方形花壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形．為了使花壇中的綠植面積不變，公園決定將花壇向東側(cè)擴展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等．（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側(cè)增加1米就行了．這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等．你認為小明說的對嗎？請你說明理由．（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計算出改造后，向東擴展了多少米？（3）如果正方形的花壇邊長是a米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示出改造后長方形的長．【答案】（1）小明的說法不對，理由見解析；（2）向東擴展米；（3）【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的圖形面積，與原圖形面積相比較即可得到答案；（2）設(shè)向東擴展x米，根據(jù)題意得方程，解方程即可；（3）利用長方形的面積公式計算即可【詳解】解：（1）小明的說法不對，理由如下：由題意得：，∴小明的說法不對；（2）設(shè)向東擴展x米，由題意得，解得x=，答：向東擴展米；（3）改造后長方形的長為【點睛】此題考查了平方差計算公式與圖形面積，一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵13．對于實數(shù)a，b，c定義一種新運算，規(guī)定例如：（1）求；（2）如圖，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．連接AF和AD，求圖中陰影部分的面積；（3）若，求的值．

【答案】（1）15；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)新定義運算法則計算即可；（2）根據(jù)新定義運算法則列出方程，得到，運用完全平方公式可得，再把這兩個條件代入陰影面積的代數(shù)式可得；（3）根據(jù)新定義運算法則列出方程，配方得，根據(jù)非負數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】（1）=故答案為：15（2）又（3），【點睛】考核知識點：新定義運算、乘法公式．熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵．14．現(xiàn)定義運算，對于任意有理數(shù)a，b，都有如：，．（1）若，求x的取值范圍；（2）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，計算：．【答案】（1）x的取值范圍是；（2）.【分析】（1）根據(jù)新定義的運算方法進行計算即可，（2）在理解新定義運算的意義和轉(zhuǎn)換方法，然后類推計算即可．【詳解】解：（1）∵x<x+2，x>x-3，∴，．∵，∴．∴．∴．x的取值范圍是．（2）∵a-b<0，2b>0，b-a>0，2a-2b<0，∴a-b<2b，b-a>2a-2b．.【點睛】此題主要考查了整式的四則運算以及新定義運算的意義，理解新定義的運算方法是正確解答的前提．15．如圖1，用4個相同邊長是、的長方形和中間一個小正方形組成的大正方形．（1）若大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，則值為__________；則的值為__________；（2）若小長方形兩邊長為和，則大正方形的邊長為___________；若滿足，則的值為__________；（3）如圖2，正方形的邊長是，它由四個直角邊長分別是，的直角三角形和中間一個小正方形組成的，猜想，，三邊的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3），理由見解析【分析】（1）大正方形的邊長為x+y，小正方的邊長為x-y，由面積可求出正方形的邊長；（2）小長方形兩邊之和為正方形的邊長，再由完全平方公式求解即可；（3）根據(jù)大、小正方形和4個直角三角形的面積之間的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，∴，，又∵，∴，，故答案為：2，6；（2）大正方形的邊長為，∵，∴，故答案為：5，17；（3），，三邊的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：由拼圖可得，小正方形的邊長為，由大正方形的面積等于小正方形的面積與4個直角三角形的面積和可得，，即．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，理清各個圖形面積之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，用代數(shù)式表示各個部分的面積是得出結(jié)論的前提.16．某同學(xué)用如圖所示不同顏色的正方形與長方形紙片拼成了一個如圖所示的正方形．

（1）①請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．②以上結(jié)果可以驗證的乘法公式是．（2）根據(jù)上面的結(jié)論計算：①已知m＋n＝5，，求mn的值．②已知（2019?m）（2020?m）＝1010，求的值．【答案】（1）①，；②＝；（2）①7；②2021【分析】(1)①方法一：陰影部分面積為兩個小正方形面積之和，分別求出兩個小正方形面積然后相加即可；方法二：陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個空白長方形面積，分別求出面積然后進行計算即可；②根據(jù)完全平方公式可以很容易得出答案；(2)①根據(jù)完全平方公式進行相應(yīng)的計算即可得到答案；②根據(jù)完全平方公式進行相應(yīng)的計算即可得到答案.【詳解】解：（1）①方法一：由題意可知陰影部分面積為兩個小正方形面積之和∴方法二：由陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個空白長方形面積∴②∵∴即驗證的乘法公式為（2）①∵m＋n＝5∴∵∴∴mn＝7②∵（2019?m）（2020?m）＝1010，∴【點睛】本題主要考查了完全平方公式的運用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)公式.17．數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)在學(xué)習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當且僅當時等號成立）．猜想證明：∵∴①當且僅當，即時，，∴；②當，即時，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當日僅當時等號成立）．猜想運用：（1）對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最小？最小值是多少？變式探究：（2）對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為【分析】猜想運用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運用：∵，∴，∴，∴當時，，此時，只取，即時，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當時，，此時，∴，（舍去），即時，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當時，此時，，即每間隔離房長為米，寬為米時，的最大值為．【點睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運用完全平方公式并參照材料中步驟進行計算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．18．有些同學(xué)會想當然地認為．（1）舉出反例說明該式不一定成立；（2）計算；（3）直接寫出當、滿足什么條件，該式成立．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）選一組使等式不成立的x、y值即可；（2）利用多項式乘以多項式的運算法則進行推導(dǎo)計算即可；（3）將x=y代入等式中即可解答．【詳解】解：（1）令，，（反例不唯一）∵，，，∴該等式不一定成立；（2）==，即（3）將代入中，得：，，0=0，∴當、滿足x=y時，該式成立．【點睛】本題考查整式的混合運算、完全平方公式，熟練掌握整式的混合運算是解答的關(guān)鍵．19．計算：（1）8x2y2÷2y2；（2）（﹣2a2）3+4a5?a；（3）（x+2y）2﹣2y（2x+y）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）4x2；（2）-4a6；（3）x2+2y2；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）根據(jù)單項式除以單項式可以解答本題；（2）根據(jù)積的乘方、單項式乘單項式和合并同類項可以解答本題；（3）根據(jù)完全平方公式、單項式乘多項式可以解答本題；（4）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題；（5）根據(jù)分式的除法和減法可以解答本題；（6）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．【詳解】解：（1）8x2y2÷2y2=4x2；（2）(-2a2)3+4a5?a=(-8a6)+4a6=-4a6；（3）(x+2y)2-2y(2x+y)=x2+4xy+4y2-4xy-2y2=x2+2y2；（4）；（5）；（6）．【點睛】本題考查分式的混合運算、整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．20．長方形ABCD和正方形CEFH，按如圖所示的方式疊放在一起，且長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等（其中點D在EC上，點B在CH的延長線上，AD和FH相交于點G），正方形CEFH的邊長為m，長方形ABCD的寬為x，長為y（x＜m＜y）．（1）寫出x，y，m之間的等量關(guān)系；（2）若長方形ABHG的周長記作C1，長方形DEFG的周長記作C2．①求C1＋C2的值（用含y、m的代數(shù)式表示）；②若關(guān)于y的不等式C1＋C2＜10-2m的正整數(shù)解只有2個，求m的取值范圍；（3）若長方形ABHG的面積記作S1，長方形DEFG的面積記作S2，試比較2S2與S1的大小，并說明理由．【答案】（1）2x+y=3m；（2）①2m+2y；②1≤m<；（3）2S2>S1【分析】（1）根據(jù)長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等列式求解即可；（2）①把長方形ABHG與長方形DEFG的周長相加整理即可；②根據(jù)C1＋C2＜10＋2m列式求解；（3）分別表示出S1，S2，然后用作差法比較；【詳解】解：（1）長方形ABHG的周長=2x+2(y-m)=2x+2y-2m，長方形DEFG的周長=2m+2(m-x)=4m-2x，∵長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等，∴2x+2y-2m=4m-2x，∴2x+y=3m；（2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；②由C1＋C2＜10-2m，得2m+2y＜10-2m，∴y<5-2m，∵C1＋C2＜10-2m的正整數(shù)解只有2個，∴2<5-2m≤3，∴1≤m<；（3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx，∴2S2-S1=2m2-2mx-xy+xm，∵2x+y=3m∴y=3m-2x∴2S2-S1=2m2-2mx-x(3m-2x)+xm=2m2-4mx+2x2=2(m-x)2，∵x＜m＜y，∴2(m-x)2>0，∴2S2>S1．【點睛】本題考查了整式混合運算的應(yīng)用，解一元一次不等式，根據(jù)題意正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵．21．若一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，則稱m為“方和數(shù)”．（1）100“方和數(shù)”，110“方和數(shù)”；（填寫“是”或“不是”）（2）以下兩個判斷，正確選項的序號是．①兩個“方和數(shù)”的和是“方和數(shù)”；②兩個“方和數(shù)”的積是“方和數(shù)”．【答案】（1）是，不是；（2）②【分析】（1）根據(jù)“方和數(shù)”的概念計算求解；（2）①舉反例進行分析說明；②根據(jù)方和數(shù)的概念，結(jié)合完全平方公式進行計算求解．【詳解】解：（1）100=36+64=62+82，∴100是“方和數(shù)”，110不能寫成兩個正整數(shù)的平方和的形式，∴110不是“方和數(shù)”，故答案為：是，不是；（2）①兩個“方和數(shù)”的和不一定是“方和數(shù)”，比如：2=12+12，13=22+32，∴2和13都是“方和數(shù)”，但2+13=15，而15不能寫成兩個正整數(shù)的平方和的性質(zhì)，∴15不是“方和數(shù)”，故①錯誤；②設(shè)兩個方和數(shù)分別為m，n，設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d均為正整數(shù)），∴mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad+bc）2，∴mn是“方和數(shù)”，故②正確，故答案為：②．【點睛】本題屬于新定義題目，考查有理數(shù)的乘方運算，理解題意，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解題關(guān)鍵．22．通過課堂的學(xué)習知道，我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：例如，，像這樣先添加一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱之為配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等等，如：因為，可知當時，的最小值是．請閱讀以上材料，并用配方法解決下列問題：（1）因式分解：；（2）已知a是任何實數(shù)，若，，通過計算判斷M、N的大小關(guān)系；（3）如圖，用一段長為20米的籬笆圍成一個長方形菜園，菜園的一面靠墻，墻長為8米．設(shè)與墻壁垂直的一邊長為x米，①試用x的代數(shù)式表示菜園的面積；②求出當x取何值時菜園面積最大，最大面積是多少平方米？【答案】（1）；（2）M＞N；（3）①；②當x=6時，菜園面積最大，最大面積為48平方米【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)平方差公式進行因式分解；（2）計算M-N并配方，根據(jù)結(jié)果判斷即可；（3）①根據(jù)長方形的面積公式計算即可；②將①中結(jié)果進行配方，根據(jù)結(jié)果利用非負數(shù)的性質(zhì)．【詳解】解：（1）===；（2）M-N======＞0，∴M＞N；（3）①由題意可得：菜園的面積==；②由題意可得：0＜20-2x≤8，解得：6≤x＜10，===，∴當x=6時，菜園面積最大，最大面積為48平方米．【點睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，非負數(shù)的性質(zhì)，將多項式配方，再利用非負數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．23．數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（教材片段）：計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．

（1）如圖2，用不同的代數(shù)式表示大正方形的而積，由此得到的等式為__________；（用a、b表示）（2）利用上面結(jié)論解決問題：若，則__________；（3）如圖3，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面結(jié)論解決問題：已知，則__________；（5）如圖4，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積（里面是邊長為c的小正方形），由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（6）若，請通過計算說明a、b、c滿足上面結(jié)論．【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）見解析【分析】（1）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（2）由（1）得到，再將已知等式代入計算即可；（3）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)（3）中結(jié)論，將已知等式代入計算即可；（5）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（6）分別計算出，，，根據(jù)整式的混合運算法則可得結(jié)論．【詳解】解：（1）大正方形整體表示面積為：，大正方形部分和表示面積為：，∴由此可得等式為：；（2）由（1）可得：，∴x+y=6，xy=2，∴，∴；（3）大正方形面積整體表示為：，大正方形面積部分和表示為：，故由此可得公式為：；（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，∴由（3）可得：，∴；（5）由題可得：大正方形面積整體表示為：，大正方形面積部分和表示為：，∴，∴；（6）∵，，，∴，，，∴，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用不同的方式表示出同一個圖形的面積，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．24．同學(xué)們，在數(shù)學(xué)課本第9章《整式乘法與因式分解》里學(xué)習了整式乘法的完全平方公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？（蘇科版教材P75頁）計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．（類比探究（1））：如圖2，正方形是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是_______（用a，b表示）（應(yīng)用探索結(jié)果解決問題）：已知：兩數(shù)x，y滿足，，求的值．（類比探究（2））：如圖3，正方形的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的式子是_________．（用a，b，c表示，結(jié)果盡可能化簡）（應(yīng)用探索結(jié)果解決問題）：正方形的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角