《專項(xiàng)練習(xí)》2023學(xué)年八年級上冊（人教版） 運(yùn)算能力之乘法公式綜合難點(diǎn)專練（解析版）

更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：專題01運(yùn)算能力之乘法公式綜合難點(diǎn)專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，可得m+n=22，再根據(jù)長方形面積公式可得mn=120，再根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】解：∵花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長為3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式．2．如圖有兩張正方形紙片A和B，圖1將B放置在A內(nèi)部，測得陰影部分面積為2，圖2將正方形AB并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為20，若將3個(gè)正方形A和2個(gè)正方形B并列放置后構(gòu)造新正方形如圖3，（圖2，圖3中正方形AB紙片均無重疊部分）則圖3陰影部分面積（）A．22 B．24 C．42 D．44【答案】C【分析】由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，進(jìn)而得到ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【詳解】解：設(shè)正方形A、B的邊長分別為a、b，由圖1可知，陰影部分面積a2﹣b2＝2，圖2可知，陰影部分面積（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由圖3可知，陰影部分面積為（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解圖形的構(gòu)成，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．如圖，有10個(gè)形狀大小一樣的小長方形①，將其中的3個(gè)小長方形①放入正方形②中，剩余的7個(gè)小長方形①放入長方形③中，其中正方形②中的陰影部分面積為22，長方形③中的陰影部分面積為96，那么一個(gè)小長方形①的面積為（）A．5 B．6 C．9 D．10【答案】A【分析】設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)正方形陰影面積=正方形面積-3個(gè)小長方形面積=22根根據(jù)大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個(gè)小長方形面積=96列方程求出即可．【詳解】解：設(shè)①小長方形的長為，寬為b，根據(jù)②正方形邊長為，陰影面積為，根據(jù)③大長方形的長為，寬為，陰影面積為，∴聯(lián)立得，整理得，解得，一個(gè)小長方形①的面積為5．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形陰影面積應(yīng)用問題，多項(xiàng)式乘法與圖形面積，完全平方公式，仔細(xì)分析圖形，從中找出等量關(guān)系，正方形陰影面積=正方形面積-3個(gè)小長方形面積=22，大長方形陰影面積為長為，寬為的長方形面積-7個(gè)小長方形面積=96，列方程組是解題關(guān)鍵．4．利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的特征進(jìn)行判斷，然后根據(jù)公式特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：A、不符合完全平方公式的特征且計(jì)算錯(cuò)誤，完全平方公式的中間一項(xiàng)為，所以不符合題意；B、不符合完全平方公式特征且計(jì)算錯(cuò)誤，最后一項(xiàng)應(yīng)為，所以不符合題意；C、，所以符合題意；D、不符合完全平方公式特征且計(jì)算錯(cuò)誤，最后一項(xiàng)應(yīng)為，所以不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的特征，識記且熟練運(yùn)用完全平方公式：是解答問題的關(guān)鍵．二、填空題5．如圖，長方形的邊，E是邊上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)，G分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)以，為邊作長方形，以為邊作正方形，點(diǎn)H，I均在長方形內(nèi)部．記圖中的陰影部分面積分別為，長方形和正方形的重疊部分是四邊形，當(dāng)四邊形的鄰邊比為3∶4，的值為________．【答案】7或【分析】利用長方形及正方形的性質(zhì)可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根據(jù)當(dāng)長方形KILH的鄰邊的比為3：4可求解DG的長，再利用DG的長分別求解AF，CG，AJ的長，進(jìn)而可求解，注意分類討論．【詳解】解：在長方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13．∵四邊形DGIJ為正方形，四邊形BFHE為長方形，BF=DG，∴四邊形KILH為長方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10．∵BE=BA=10，∴LG=EC=3，∴KH=IL=DG-LG=DG-3．當(dāng)長方形KILH的鄰邊的比為3：4時(shí)，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4，解得DG=9或，當(dāng)DG=9時(shí)，AF=CG=1，AJ=4，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG=1×4+1×3=7；當(dāng)DG=時(shí)，AF=CG=，AJ=，∴S1+S2=AF?AJ+CE?CG==故答案為7或．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．6．計(jì)算：（1）若x滿足則的值為____；（2）如上圖，，長方形的面積是50，四邊形和以及都是正方形四邊形是長方形，則圖中正方形的面積為_______．【答案】120204【分析】（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，從而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根據(jù)題意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面積．【詳解】解：（1）設(shè)（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，設(shè)x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，則（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面積為：204，故答案為：（1）120；（2）204．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化應(yīng)用．7．找規(guī)律填數(shù)：＝_____（直接填寫結(jié)果）．【答案】10n【分析】將變形為，故．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根以及完全平方公式的逆運(yùn)用，熟練掌握算術(shù)平方根以及完全平方公式的逆運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題8．已知關(guān)于的二次三項(xiàng)式滿足.（1）求整式；（2）若，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接利用整式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案即可；（2）直接利用整式的加減運(yùn)算法則結(jié)合的值代入得出答案即可．【詳解】解：（1）∵∴；（2）∵，∴.當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．9．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）請用簡便方法計(jì)算：【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-16．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同類項(xiàng)即可；（2）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；（3）先根據(jù)積的乘方化簡，再從左往右計(jì)算即可；（4）先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，能靈活運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和化簡是解此題的關(guān)鍵．10．計(jì)算：（1）（2）;（3）;（4）．【答案】（1）-5x3y5z3；（2）；（3）18；（4）．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分別根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則去括號，然后外掛；（4）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：．．18．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．11．對于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）對于等式，可以由圖1進(jìn)行解釋：這個(gè)大長方形的長為_____，寬為_____，用長乘以寬可求得其面積，同時(shí)，大長方形的面積也等于3個(gè)長方形和3個(gè)正方形的面積之和．（2）如圖2，試用兩種不同的方法求它的面積，你能得到什么數(shù)學(xué)等式？方法1（從整體角度）：_________；方法2（從局部角度：6個(gè)長方形和3個(gè)正方形）：_____________；數(shù)學(xué)等式：______________________．（3）利用（2）中得到的數(shù)學(xué)等式，解決下列問題：已知，，求的值．【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15【分析】（1）根據(jù)圖形直接得出長為（a+2b），寬為（a+b）；（2）整體上是一個(gè)邊長為（a+b+c）的正方形，各個(gè)部分的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；（3）將（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，變形為（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整體代入求值即可．【詳解】解：（1）由圖形直觀得出，長為：（a+2b），寬為（a+b），故答案為：（a+2b），（a+b）；（2）方法1（從整體角度）：（a+b+c）2，方法2（從局部角度：6個(gè)長方形和3個(gè)正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，因此有數(shù)學(xué)等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2），∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19，∴2ab+2bc+2ac=49-19=30，∴ab+bc+ac=15．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，因式分解以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則，掌握公式特征和適當(dāng)變形是正確應(yīng)用的前提．12．某公園對一個(gè)邊長為a（a＞1）的正方形花壇進(jìn)行改造，由于占地需要，正方形花壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形．為了使花壇中的綠植面積不變，公園決定將花壇向東側(cè)擴(kuò)展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等．（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側(cè)增加1米就行了．這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等．你認(rèn)為小明說的對嗎？請你說明理由．（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計(jì)算出改造后，向東擴(kuò)展了多少米？（3）如果正方形的花壇邊長是a米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示出改造后長方形的長．【答案】（1）小明的說法不對，理由見解析；（2）向東擴(kuò)展米；（3）【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的圖形面積，與原圖形面積相比較即可得到答案；（2）設(shè)向東擴(kuò)展x米，根據(jù)題意得方程，解方程即可；（3）利用長方形的面積公式計(jì)算即可【詳解】解：（1）小明的說法不對，理由如下：由題意得：，∴小明的說法不對；（2）設(shè)向東擴(kuò)展x米，由題意得，解得x=，答：向東擴(kuò)展米；（3）改造后長方形的長為【點(diǎn)睛】此題考查了平方差計(jì)算公式與圖形面積，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵13．對于實(shí)數(shù)a，b，c定義一種新運(yùn)算，規(guī)定例如：（1）求；（2）如圖，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．連接AF和AD，求圖中陰影部分的面積；（3）若，求的值．

【答案】（1）15；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程，得到，運(yùn)用完全平方公式可得，再把這兩個(gè)條件代入陰影面積的代數(shù)式可得；（3）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程，配方得，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】（1）=故答案為：15（2）又（3），【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：新定義運(yùn)算、乘法公式．熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵．14．現(xiàn)定義運(yùn)算，對于任意有理數(shù)a，b，都有如：，．（1）若，求x的取值范圍；（2）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，計(jì)算：．【答案】（1）x的取值范圍是；（2）.【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算方法進(jìn)行計(jì)算即可，（2）在理解新定義運(yùn)算的意義和轉(zhuǎn)換方法，然后類推計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵x<x+2，x>x-3，∴，．∵，∴．∴．∴．x的取值范圍是．（2）∵a-b<0，2b>0，b-a>0，2a-2b<0，∴a-b<2b，b-a>2a-2b．.【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的四則運(yùn)算以及新定義運(yùn)算的意義，理解新定義的運(yùn)算方法是正確解答的前提．15．如圖1，用4個(gè)相同邊長是、的長方形和中間一個(gè)小正方形組成的大正方形．（1）若大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，則值為__________；則的值為__________；（2）若小長方形兩邊長為和，則大正方形的邊長為___________；若滿足，則的值為__________；（3）如圖2，正方形的邊長是，它由四個(gè)直角邊長分別是，的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，猜想，，三邊的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3），理由見解析【分析】（1）大正方形的邊長為x+y，小正方的邊長為x-y，由面積可求出正方形的邊長；（2）小長方形兩邊之和為正方形的邊長，再由完全平方公式求解即可；（3）根據(jù)大、小正方形和4個(gè)直角三角形的面積之間的關(guān)系得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，∴，，又∵，∴，，故答案為：2，6；（2）大正方形的邊長為，∵，∴，故答案為：5，17；（3），，三邊的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：由拼圖可得，小正方形的邊長為，由大正方形的面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形的面積和可得，，即．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，理清各個(gè)圖形面積之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，用代數(shù)式表示各個(gè)部分的面積是得出結(jié)論的前提.16．某同學(xué)用如圖所示不同顏色的正方形與長方形紙片拼成了一個(gè)如圖所示的正方形．

（1）①請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積．方法1：；方法2：．②以上結(jié)果可以驗(yàn)證的乘法公式是．（2）根據(jù)上面的結(jié)論計(jì)算：①已知m＋n＝5，，求mn的值．②已知（2019?m）（2020?m）＝1010，求的值．【答案】（1）①，；②＝；（2）①7；②2021【分析】(1)①方法一：陰影部分面積為兩個(gè)小正方形面積之和，分別求出兩個(gè)小正方形面積然后相加即可；方法二：陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個(gè)空白長方形面積，分別求出面積然后進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)完全平方公式可以很容易得出答案；(2)①根據(jù)完全平方公式進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算即可得到答案；②根據(jù)完全平方公式進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：（1）①方法一：由題意可知陰影部分面積為兩個(gè)小正方形面積之和∴方法二：由陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個(gè)空白長方形面積∴②∵∴即驗(yàn)證的乘法公式為（2）①∵m＋n＝5∴∵∴∴mn＝7②∵（2019?m）（2020?m）＝1010，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)公式.17．?dāng)?shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時(shí)等號成立）．猜想運(yùn)用：（1）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？變式探究：（2）對于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最小？最小值是多少？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長為米，寬為米時(shí)，的最大值為【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計(jì)算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運(yùn)用：∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，只取，即時(shí)，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，（舍去），即時(shí)，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即每間隔離房長為米，寬為米時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．18．有些同學(xué)會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為．（1）舉出反例說明該式不一定成立；（2）計(jì)算；（3）直接寫出當(dāng)、滿足什么條件，該式成立．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）選一組使等式不成立的x、y值即可；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可；（3）將x=y代入等式中即可解答．【詳解】解：（1）令，，（反例不唯一）∵，，，∴該等式不一定成立；（2）==，即（3）將代入中，得：，，0=0，∴當(dāng)、滿足x=y時(shí)，該式成立．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式，熟練掌握整式的混合運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．19．計(jì)算：（1）8x2y2÷2y2；（2）（﹣2a2）3+4a5?a；（3）（x+2y）2﹣2y（2x+y）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）4x2；（2）-4a6；（3）x2+2y2；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可以解答本題；（2）根據(jù)積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式和合并同類項(xiàng)可以解答本題；（3）根據(jù)完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可以解答本題；（4）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題；（5）根據(jù)分式的除法和減法可以解答本題；（6）根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題．【詳解】解：（1）8x2y2÷2y2=4x2；（2）(-2a2)3+4a5?a=(-8a6)+4a6=-4a6；（3）(x+2y)2-2y(2x+y)=x2+4xy+4y2-4xy-2y2=x2+2y2；（4）；（5）；（6）．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算、整式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．20．長方形ABCD和正方形CEFH，按如圖所示的方式疊放在一起，且長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等（其中點(diǎn)D在EC上，點(diǎn)B在CH的延長線上，AD和FH相交于點(diǎn)G），正方形CEFH的邊長為m，長方形ABCD的寬為x，長為y（x＜m＜y）．（1）寫出x，y，m之間的等量關(guān)系；（2）若長方形ABHG的周長記作C1，長方形DEFG的周長記作C2．①求C1＋C2的值（用含y、m的代數(shù)式表示）；②若關(guān)于y的不等式C1＋C2＜10-2m的正整數(shù)解只有2個(gè)，求m的取值范圍；（3）若長方形ABHG的面積記作S1，長方形DEFG的面積記作S2，試比較2S2與S1的大小，并說明理由．【答案】（1）2x+y=3m；（2）①2m+2y；②1≤m<；（3）2S2>S1【分析】（1）根據(jù)長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等列式求解即可；（2）①把長方形ABHG與長方形DEFG的周長相加整理即可；②根據(jù)C1＋C2＜10＋2m列式求解；（3）分別表示出S1，S2，然后用作差法比較；【詳解】解：（1）長方形ABHG的周長=2x+2(y-m)=2x+2y-2m，長方形DEFG的周長=2m+2(m-x)=4m-2x，∵長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等，∴2x+2y-2m=4m-2x，∴2x+y=3m；（2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；②由C1＋C2＜10-2m，得2m+2y＜10-2m，∴y<5-2m，∵C1＋C2＜10-2m的正整數(shù)解只有2個(gè)，∴2<5-2m≤3，∴1≤m<；（3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx，∴2S2-S1=2m2-2mx-xy+xm，∵2x+y=3m∴y=3m-2x∴2S2-S1=2m2-2mx-x(3m-2x)+xm=2m2-4mx+2x2=2(m-x)2，∵x＜m＜y，∴2(m-x)2>0，∴2S2>S1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，解一元一次不等式，根據(jù)題意正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵．21．若一個(gè)正整數(shù)m能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，則稱m為“方和數(shù)”．（1）100“方和數(shù)”，110“方和數(shù)”；（填寫“是”或“不是”）（2）以下兩個(gè)判斷，正確選項(xiàng)的序號是．①兩個(gè)“方和數(shù)”的和是“方和數(shù)”；②兩個(gè)“方和數(shù)”的積是“方和數(shù)”．【答案】（1）是，不是；（2）②【分析】（1）根據(jù)“方和數(shù)”的概念計(jì)算求解；（2）①舉反例進(jìn)行分析說明；②根據(jù)方和數(shù)的概念，結(jié)合完全平方公式進(jìn)行計(jì)算求解．【詳解】解：（1）100=36+64=62+82，∴100是“方和數(shù)”，110不能寫成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的形式，∴110不是“方和數(shù)”，故答案為：是，不是；（2）①兩個(gè)“方和數(shù)”的和不一定是“方和數(shù)”，比如：2=12+12，13=22+32，∴2和13都是“方和數(shù)”，但2+13=15，而15不能寫成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的性質(zhì)，∴15不是“方和數(shù)”，故①錯(cuò)誤；②設(shè)兩個(gè)方和數(shù)分別為m，n，設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d均為正整數(shù)），∴mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad+bc）2，∴mn是“方和數(shù)”，故②正確，故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題目，考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解題意，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．22．通過課堂的學(xué)習(xí)知道，我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：例如，，像這樣先添加一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱之為配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等等，如：因?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，的最小值是．請閱讀以上材料，并用配方法解決下列問題：（1）因式分解：；（2）已知a是任何實(shí)數(shù)，若，，通過計(jì)算判斷M、N的大小關(guān)系；（3）如圖，用一段長為20米的籬笆圍成一個(gè)長方形菜園，菜園的一面靠墻，墻長為8米．設(shè)與墻壁垂直的一邊長為x米，①試用x的代數(shù)式表示菜園的面積；②求出當(dāng)x取何值時(shí)菜園面積最大，最大面積是多少平方米？【答案】（1）；（2）M＞N；（3）①；②當(dāng)x=6時(shí)，菜園面積最大，最大面積為48平方米【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）計(jì)算M-N并配方，根據(jù)結(jié)果判斷即可；（3）①根據(jù)長方形的面積公式計(jì)算即可；②將①中結(jié)果進(jìn)行配方，根據(jù)結(jié)果利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．【詳解】解：（1）===；（2）M-N======＞0，∴M＞N；（3）①由題意可得：菜園的面積==；②由題意可得：0＜20-2x≤8，解得：6≤x＜10，===，∴當(dāng)x=6時(shí)，菜園面積最大，最大面積為48平方米．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．23．?dāng)?shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理，例如：對于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（教材片段）：計(jì)算如圖1的面積，把圖1看做一個(gè)大正方形，它的面積是，如果把圖1看做是由2個(gè)長方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．

（1）如圖2，用不同的代數(shù)式表示大正方形的而積，由此得到的等式為__________；（用a、b表示）（2）利用上面結(jié)論解決問題：若，則__________；（3）如圖3，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（4）利用上面結(jié)論解決問題：已知，則__________；（5）如圖4，用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積（里面是邊長為c的小正方形），由此得到的等式為__________；（用a、b、c表示）（6）若，請通過計(jì)算說明a、b、c滿足上面結(jié)論．【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）見解析【分析】（1）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（2）由（1）得到，再將已知等式代入計(jì)算即可；（3）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)（3）中結(jié)論，將已知等式代入計(jì)算即可；（5）分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結(jié)論；（6）分別計(jì)算出，，，根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則可得結(jié)論．【詳解】解：（1）大正方形整體表示面積為：，大正方形部分和表示面積為：，∴由此可得等式為：；（2）由（1）可得：，∴x+y=6，xy=2，∴，∴；（3）大正方形面積整體表示為：，大正方形面積部分和表示為：，故由此可得公式為：；（4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14，∴由（3）可得：，∴；（5）由題可得：大正方形面積整體表示為：，大正方形面積部分和表示為：，∴，∴；（6）∵，，，∴，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用不同的方式表示出同一個(gè)圖形的面積，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．24．同學(xué)們，在數(shù)學(xué)課本第9章《整式乘法與因式分解》里學(xué)習(xí)了整式乘法的完全平方公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？（蘇科版教材P75頁）計(jì)算如圖1的面積，把圖1看做一個(gè)大正方形，它的面積是，如果把圖1看做是由2個(gè)長方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．（類比探究（1））：如圖2，正方形是由四個(gè)邊長分別是a，b的長方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是_______（用a，b表示）（應(yīng)用探索結(jié)果解決問題）：已知：兩數(shù)x，y滿足，，求的值．（類比探究（2））：如圖3，正方形的邊長是c，它由四個(gè)直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的式子是_________．（用a，b，c表示，結(jié)果盡可能化簡）（應(yīng)用探索結(jié)果解決問題）：正方形的邊長是c，它由四個(gè)直角邊長分別是a，b的直角