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山西省忻州市保德縣中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.過點作圓的兩條切線,切點分別為、,為坐標原點,則的外接圓方程是(

)(A)

(B)(C)

(D)參考答案:2.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),函數(shù)y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,若對任意的x,y∈R,等式f(y﹣3)+f()=0恒成立,則的取值范圍是()A.[2﹣,2+] B.[1,2+] C.[2﹣,3] D.[1,3]參考答案:C【考點】3F:函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).【分析】由平移規(guī)律,可得y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則f(x)為奇函數(shù),即有f(﹣x)=﹣f(x),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等式可化為y﹣3=﹣,平方即可得到y(tǒng)為以(2,3)為圓心,1為半徑的下半圓,再由直線的斜率公式,=可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率,通過圖象觀察,過O的直線OA,OB的斜率即為最值,求出它們即可.【解答】解:函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=f(x﹣1)的圖象向左平移1個單位得到,由于y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,則y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則f(x)為奇函數(shù),即有f(﹣x)=﹣f(x),則等式f(y﹣3)+f()=0恒成立即為f(y﹣3)=﹣f()=f(﹣),又f(x)是定義在R上的增函數(shù),則有y﹣3=﹣,兩邊平方可得,(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,即有y=3﹣為以(2,3)為圓心,1為半徑的下半圓,則=可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率,如圖,kOA==3,取得最大,過O作切線OB,設(shè)OB:y=kx,則由d=r得,=1,解得,k=2,由于切點在下半圓,則取k=2﹣,即為最小值.則的取值范圍是[2﹣,3].故選C.3.平面向量與的夾角為60°,=(2,0),||=1,則|+2|等于A. B. C.4

D.參考答案:D略4.已知點P(-3,1)在直線,過點P且方向向量為a=(2,-5)的入射光線,經(jīng)y=-2反射后過橢圓的左焦點,則橢圓的離心率為

A.

B.

C.

D.參考答案:答案:D5.已知正三角形的邊長為,點是邊上的動點,點是邊上的動點,且,則的最大值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:D6.若,二項式的展開式中項的系數(shù)為20,則定積分的最小值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:C【分析】由二項式定理展開項可得,再利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】二項式的展開式的通項為當時,二次項系數(shù)為而定積分當且僅當時取等號故選B【點睛】本題考查了二項式定理,定積分和基本不等式綜合,熟悉每一個知識點是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.函數(shù)y=的圖象可能是(

) A. B. C. D.參考答案:B考點:函數(shù)的圖象.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用.分析:當x>0時,,當x<0時,,作出函數(shù)圖象為B.解答: 解:函數(shù)y=的定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞)關(guān)于原點對稱.當x>0時,,當x<0時,,此時函數(shù)圖象與當x>0時函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.故選B點評:本題考查了函數(shù)奇偶性的概念、判斷及性質(zhì),考查了分段函數(shù)的圖象及圖象變換的能力.8.設(shè)向量等于(

)A.

B. C.

D.

參考答案:D9.已知全集U=R,集合M={x│x2-4≤0},則CuM=(

)A.{x│-2<x<2}

B.{x│-2≤x≤2}

C.{x│x<-2或x>2}

D.{x│x≤-2或x≥2}

參考答案:C10.已知函數(shù)的圖象如圖,則的圖象為

A.①

B.②

C.③

D.①②③圖都不對參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(3)=0,且x<0時,xf′(x)<f(x),則不等式f(x)≥0的解集是.參考答案:{x|﹣3<x<0或x>3}略12.正項等比數(shù)列中,,,則數(shù)列的前項和等于.參考答案:

13.設(shè)正三棱錐A-BCD的底面邊長和側(cè)棱長均為4,點E,F(xiàn),G,H分別為棱AB,BC,CD,BD的中點,則三棱錐E-FGH的體積為

.參考答案:因為正三棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為4,所以正三棱錐體積為又三棱錐的底面積為正三棱錐底面積四分之一,三棱錐的高為正三棱錐的高二分之一,因此三棱錐的體積為

14.如圖,從氣球上測得正前方的河流的兩岸的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高度是46m,則河流的

寬度約等于

m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù):)參考答案:15.給出下列六個命題:①函數(shù)f(x)=lnx﹣2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點;②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值;③若m≥﹣1,則函數(shù)y=的值域為R;④“a=1”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.⑤函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l﹣x)的圖象關(guān)于y軸對稱;⑥滿足條件AC=,AB=1的三角形△ABC有兩個.其中正確命題的個數(shù)是

.參考答案:①③④⑤【考點】命題的真假判斷與應用.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用.【分析】根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得①正確.通過舉反例可得②不正確.根據(jù)對數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實數(shù),可得此對數(shù)函數(shù)的值域為R,故③正確.根據(jù)a=1時,函數(shù)在定義域上是奇函數(shù),再根據(jù)函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)時,a=±1,可得④正確.由函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l﹣x)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得⑤正確.由AC=,AB=1,利用正弦定理及由大邊對大角可得△ABC是一個唯一的直角三角形,故⑥不正確.【解答】解:對于函數(shù)f(x)=lnx﹣2+x,在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增,f(1)=﹣1,f(e)=e﹣1>0,根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得,在區(qū)間(1,e)上存在零點,故①正確.②不正確,如當f(x)=x3時,顯然滿足f′(0)=0,但y=f(x)=x3在x=0處沒有極值.③當m≥﹣1,函數(shù)y=的真數(shù)為x2﹣2x﹣m,判別式△=4+4m≥0,故真數(shù)可取遍所有的正實數(shù),故函數(shù)y=的值域為R,故③正確.④由a=1可得,定義域為R,關(guān)于原點對稱,==﹣f(x),故函數(shù)在定義域上是奇函數(shù),故充分性成立.若函數(shù)在定義域上是奇函數(shù),則有f(0)=0,或f(0)不存在,∴a=1,或a=﹣1,故不能推出a=1.故必要性不成立,故④正確.⑤在函數(shù)y=f(1+x)的圖象上任意取一點(a,f(1+a)),則點(a,f(1+a))關(guān)于y軸的對稱點為(﹣a,f(1﹣a)),故函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l﹣x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故⑤正確.⑥△ABC中,由AC=,AB=1,利用正弦定理求得sinC=,再由大邊對大角可得C=30°,∴B=90°,△ABC是一個唯一的直角三角形,故⑥不正確.故答案為①③④⑤.【點評】本題主要考查命題的真假的判斷,通過舉反例來說明某個命題不正確,是一種簡單有效的方法,屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)是各項均為非零實數(shù)的等差數(shù)列的前項和,且滿足條件,則的最大值為

.參考答案:17.5位同學圍成一圈依次循環(huán)報數(shù),規(guī)定:第一位同學報的數(shù)是1,第二位同學報的數(shù)也是1,之后每位同學所報的數(shù)都是前兩位同學報的數(shù)之和;若報的數(shù)為3的倍數(shù),則報該數(shù)的同學需拍手一次.已知甲同學第一個報數(shù),

(1)當5位同學依次循環(huán)共報20個數(shù)時,甲同學拍手的次數(shù)為___________.(2)當甲同學開始第10次拍手時,這5位同學己經(jīng)循環(huán)報數(shù)到第___________個數(shù).參考答案:(1)1

(2)195略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點(2,0),且橢圓C的離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)若動點P在直線x=﹣1上,過P作直線交橢圓C于M,N兩點,且P為線段MN中點,再過P:作直線l⊥MN.求直線l是否恒過定點,如果是則求出該定點的坐標,不是請說明理由.參考答案:考點:直線與圓錐曲線的綜合問題.專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題.分析:(Ⅰ)由已知條件推導出a2=4,,由此能求出橢圓C的方程.(Ⅱ)設(shè)P(﹣1,y0),,當直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y﹣y0=k(x+1),由,得,由韋達定理結(jié)合已知條件推導出直線l恒過定點;當直線MN的斜率不存在時,直線l也過點.所以直線l恒過定點.解答:解:(Ⅰ)因為點(2,0)在橢圓C上,所以,所以a2=4,(1分)因為橢圓C的離心率為,所以,即,(2分)解得b2=3,所以橢圓C的方程為.(4分)(Ⅱ)設(shè)P(﹣1,y0),,①當直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y﹣y0=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),由,得,所以,因為P為MN中點,所以,即.所以,(8分)因為直線l⊥MN,所以,所以直線l的方程為,即,顯然直線l恒過定點.(10分)②當直線MN的斜率不存在時,直線MN的方程為x=﹣1,此時直線l為x軸,也過點.綜上所述直線l恒過定點.(12分)點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程是否恒過定點的判斷與求法,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.19.(本題滿分12分)在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如圖(1).把沿翻折,使得平面.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點為線段中點,求點到平面的距離;(Ⅲ)在線段上是否存在點N,使得與平面所成角為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

參考答案:(Ⅰ)由已知條件可得.………………2分∵平面,.∴.……3分又∵,∴.……4分(Ⅱ)以點為原點,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立空間直角坐標系,如圖.由已知可得.∴.……………6分設(shè)平面的法向量為,則∴令,得平面的一個法向量為,∴點M到平面的距離.…………………8分(Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點N,使得與平面所成角為.………9分設(shè),則,∴,又∵平面的法向量且直線與平面所成角為,∴,……………11分可得,∴(舍去).綜上,在線段上存在點N,使與平面所成角為,此時.12分20.設(shè)橢圓C1與拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心及C2的頂點均為原點,從每條曲線上各取兩點,將其坐標記錄于下表:x3﹣24y﹣20﹣4(1)求曲線C1、C2的標準方程;(2)設(shè)直線l過拋物線C2的焦點F,l與橢圓交于不同的兩點M,N,當=0時,求直線l的方程.參考答案:考點:拋物線的標準方程;橢圓的標準方程.專題:綜合題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:(1)由題意(﹣2,0),一定在橢圓C1上,設(shè)C1方程為(a>b>0),可得a=2.于是橢圓C1上任何點的橫坐標|x|≤2.可判斷點(,)也在C1上,代入橢圓方程即可解得b2,因此得到橢圓的方程.從而(3,﹣2),(4,﹣4)一定在拋物線C2上,設(shè)C2的方程為y2=2px(p>0),把其中一個點的坐標代入即可得出.(2)假設(shè)直線l過C2的焦點F(1,0).分類討論:當l的斜率不存在時,得出M,N的坐標,然后驗證是否滿足=0,即可,當l的斜率存在時設(shè)為k,則l的方程為y=k(x﹣1)代入C1方程并整理可得根與系數(shù)的關(guān)系,利用=0,可得k的值即可.解答: 解:(1)由題意(﹣2,0),一定在橢圓C1上,設(shè)C1方程為(a>b>0),則a=2,∴橢圓C1上任何點的橫坐標|x|≤2.∴(,)也在C1上,代入橢圓方程,解得b2=1,∴C1的方程為+y2=1.從而(3,﹣2),(4,﹣4)一定在拋物線C2上,設(shè)C2的方程為y2=2px(p>0),可得(﹣4)2=2p×4.∴p=2,即C2的方程為y2=4x.(2)假設(shè)直線l過C2的焦點F(1,0).當l的斜率不存在時,則M(1,),N(1,﹣).此時=1﹣=≠0,與已知矛盾.

當l的斜率存在時設(shè)為k,則l的方程為y=k(x﹣1)代入C1方程并整理得,(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.∵直線l過橢圓內(nèi)部(1,0)點,故必有兩交點.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.y1y2=k(x1﹣1)k(x2﹣1)=k2(x1x2﹣x1﹣x2+1)=,∵=0,∴x1x2+y1y2=0,∴k2﹣4=0,k=±2,∴存在符合條件的直線l且方程為y=±2(x﹣1).點評:本題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢

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