2023屆上海市師范大學附屬中學數(shù)學高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的列聯(lián)表：看書運動合計男82028女161228合計243256根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，所以我們至少有（）的把握判定休閑方式與性別有關系.（參考數(shù)據(jù)：，）A．99% B．95% C．1% D．5%2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．復數(shù),則對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知雙曲線x2a2-yA．x212-y285．已知命題,那么命題為A． B．C． D．6．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．7．設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是A． B． C． D．8．若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）9．已知均為實數(shù)，若（為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-110．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．11．對具有相關關系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其回歸直線方程，且，，則()A． B． C． D．12．設集合，|，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項展開式，兩邊對求導，得，令，可得，類比上述方法，則______．14．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．15．江湖傳說，蜀中唐門配置的天下第一奇毒“含笑半步癲”是由種藏紅花，種南海毒蛇和種西域毒草順次添加煉制而成，其中藏紅花添加順序不能相鄰，同時南海毒蛇的添加順序也不能相鄰，現(xiàn)要研究所有不同添加順序對藥效的影響，則總共要進行__________此實驗．16．已知甲盒中僅有一個球且為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放在甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)為，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為實數(shù)，函數(shù)，函數(shù)．（1）當時，令，求函數(shù)的極值；（2）當時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立，若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明理由．18．（12分）某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？浚粼撾娞菰诘讓虞d有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，求：（1）隨機變量ξ的分布列；（2）隨機變量ξ的均值．19．（12分）在二項式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項.（1）求此常數(shù)項是第幾項；（2）求的范圍.20．（12分）在直角坐標系中，已知圓的圓心坐標為，半徑為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．（1）求圓和直線l的極坐標方程；（2）點的極坐標為，直線l與圓相交于A，B，求的值．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當，且時，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用與臨界值比較，即可得到結論.【詳解】結合題意和獨立性檢驗的結論，由，，故這種判斷出錯的可能性至多為，即，故我們至少有95%的把握判定休閑方式與性別有關系.故選：B【點睛】本題考查了獨立性檢驗的基本思想與應用，屬于基礎題.2、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【詳解】因為所以.故選：B【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3、A【解析】

先求得的共軛復數(shù)，由此判斷出其對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限，故選A.【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù)的概念，考查復數(shù)對應點所在象限，屬于基礎題.4、D【解析】試題分析：因為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，所以ca考點：雙曲線的性質(zhì)．5、C【解析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結論,故選C.6、B【解析】分析：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據(jù)題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數(shù)與方程思想的應用，屬于基礎題.7、D【解析】

法一：考查四個選項，發(fā)現(xiàn)有兩個特殊值區(qū)分開了四個選項，0出現(xiàn)在了A，B兩個選項的范圍中，出現(xiàn)在了B，C兩個選項的范圍中，故通過驗證參數(shù)為0與時是否符合題意判斷出正確選項。法二：根據(jù)題意可將問題轉化為在上有解，分離參數(shù)得到，，利用導數(shù)研究的值域，即可得到參數(shù)的范圍?！驹斀狻糠ㄒ唬河深}意可得，，而由可知，當時，＝為增函數(shù)，∴時，．∴不存在使成立，故A，B錯；當時，＝，當時，只有時才有意義，而，故C錯．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問題轉化為在上有解．由，得，分離變量，得，因為，，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應選D．【點睛】本題是一個函數(shù)綜合題，方法一的切入點是觀察四個選項中與不同，結合排除法以及函數(shù)性質(zhì)判斷出正確選項，方法二是把問題轉化為函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)進行研究，屬于中檔題。8、B【解析】

由題意可得,,故.設,則.

關于

對稱,故

在上是增函數(shù),當時有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.9、C【解析】

將已知等式整理為，根據(jù)復數(shù)相等可求得結果.【詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)相等的定義，涉及簡單的復數(shù)運算，屬于基礎題.10、D【解析】分析：對求導，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域為，得到.故選D點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題.11、A【解析】

根據(jù)，，求出樣本點的中心，代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由題：，，所以樣本點的中心為，該點必滿足，即，所以.故選：A【點睛】此題考查根據(jù)已知數(shù)據(jù)求回歸直線方程，關鍵在于準確求出樣本點的中心，根據(jù)樣本點的中心在回歸直線上求解參數(shù).12、C【解析】

解出集合M中的不等式即可【詳解】因為，所以故選：C【點睛】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運算，屬于基本題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依據(jù)類比推理觀察式子的特點，可得，然后進行求導并對取特殊值，可得結果.【詳解】，兩邊對求導，左邊右邊令，．故答案為：【點睛】本題考查類比推理以及二項式定理與導數(shù)的結合，難點在于找到式子，屬中檔題.14、25【解析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當且僅當?shù)忍柍闪?5、.【解析】分析：先不考慮蛇共有種排法，再減去蛇相鄰的情況，即可得出結論．詳解：先不考慮蛇，先排蛇與毒草有種，再排藏紅花有種，共有種，其中蛇相鄰的排法共有種，，故答案為.點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).16、【解析】

當抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.當抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.【詳解】解：甲盒中含有紅球的個數(shù)的取值為1，2，則，.則；甲盒中含有紅球的個數(shù)的值為1，2，3，則，，.則.∴.故答案為：.【點睛】本小題主要考查隨機變量期望值的計算方法，考查古典概型概率計算公式，考查組合數(shù)的計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的極小值為，無極大值．（2）【解析】

試題分析：（1）當時，，定義域為，由得．列表分析得的極小值為，無極大值．（2）恒成立問題及存在問題，一般利用最值進行轉化：在上恒成立．由于不易求，因此再進行轉化：當時，可化為，令，問題轉化為：對任意恒成立；同理當時，可化為，令，問題轉化為：對任意的恒成立；以下根據(jù)導函數(shù)零點情況進行討論即可.試題解析：（1），，令，得．列表：x

0

+

↘

極小值

↗

所以的極小值為，無極大值．（2）當時，假設存在實數(shù)滿足條件，則在上恒成立．1）當時，可化為，令，問題轉化為：對任意恒成立；（*）則，，．令，則．①時，因為，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，故，所以（*）成立，滿足題意；②當時，，因為，所以，記，則當時，，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（*）不成立；所以當，恒成立時，；2）當時，可化為，令，問題轉化為：對任意的恒成立；（**）則，，．令，則．①時，，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，此時（**）成立；②當時，?。┤?，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（**）不成立；ⅱ）若，則，所以當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（**）不成立；所以當，恒成立時，；綜上所述，當，恒成立時，，從而實數(shù)的取值集合為．考點：利用導數(shù)求極值，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性18、(1)見解析；(2)【解析】

（1）一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由ξ～B，能求出Eξ．【詳解】（1）考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故，即有，.由此可得的分布列為012345（2），.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意二項分布的合理運用．19、（1）5；（2）≤≤.【解析】分析：（1）求出通項，由以及，即可求出答案；（2）由只有常數(shù)項為最大項且，可得，即可得到答案.詳解：(1)設Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-r·brxm(12-r)+nr為常數(shù)項,則有m(12-r)+nr=0,因為2m+n=0,所以m(12-r)-2mr=0,解得r=4,故可知常數(shù)項是第5項.(2)因為第5項又是系數(shù)最大的項,所以因為a>0,b>0,所以由①②可得點睛：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20、（1）圓的極坐標方程為，的極坐標方程為；（2）．【解析】

（1）代入圓C得圓C的極坐標方程；直線l的參數(shù)方程轉化成普通方程，進而求得直線l的極坐標方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，求得關于t的一元二次方程，令A，B對應參數(shù)分別為t1，t2，根據(jù)韋達定理、直線與圓的位置關系，即可求得|PA|+|PB|的值．【詳解】（1）圓的直角坐標方程為：，把代入圓得：化簡得圓的極坐標方程為：由（為參數(shù)），得，的極坐標方程為：.（2）由點的極坐標為得點的直角坐標為，∴直線的參數(shù)方程可寫成：（為參數(shù)）．代入圓得：化簡得：，∴，，∴．【點睛】本題考查圓的極坐標方程與普通方程的轉換，直線與圓的位置關系，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．一般t的絕對值表示方程中的定點到動點的距離，故，，均可用t來表示，從而轉化為韋達定理來解決.21、（1）（2）證明見解析【解析】

1，等價于方程在恰有一個變號零點．即在恰有一個變號零點．令，利用

函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導數(shù)即可證明．【詳解】Ⅰ，，，函數(shù)恰有一個極值點，方程在恰有一個變號零點．在恰有一個變號零點．令，則．可得時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減．函數(shù)草圖如下，可得，．實數(shù)a的取值范圍為：2要證明：證明．證明，即證明．令則，時，，函數(shù)遞增，時，，遞減．，即原不等式成立．要證明，即證明．，故只