第三章剛體力學(xué)基礎(chǔ)課件

第三章剛體力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)剛體運(yùn)動(dòng)的描述一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型用以確定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。自由剛體的自由度數(shù)

n=6非自由剛體的自由度數(shù)小于6

物體系運(yùn)動(dòng)自由度n，決定了其獨(dú)立的微分方程組的數(shù)目有n個(gè)，其中每個(gè)方程均為二階微分方程.若運(yùn)動(dòng)被限制或被約束,其自由度將減少。多一個(gè)約束條件,就減少一個(gè)自由度。ABC二、剛體的自由度三、

剛體運(yùn)動(dòng)的幾種形式1.平動(dòng)（平移）

（n=3）運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變。剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。研究方法：用質(zhì)心代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)?？梢暈橘|(zhì)點(diǎn)。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（n=1）

剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。O特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度?！?jiǎng)傮w上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律5.剛體的一般運(yùn)動(dòng)（n=6）

剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為隨剛體上某一基點(diǎn)A的平動(dòng)和繞該點(diǎn)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成.OOO將剛體的運(yùn)動(dòng)看作質(zhì)心的平動(dòng)與相對于通過質(zhì)心并垂直運(yùn)動(dòng)平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。3.平面平行運(yùn)動(dòng)（n=3）

剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),各點(diǎn)始終和某一平面保持一定的距離,或者說剛體中各點(diǎn)都平行于某一平面而運(yùn)動(dòng)4.剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（n=3）剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).四、

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：

1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述

角位移：

角速度：角加速度：

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中方向沿轉(zhuǎn)軸的方向。角速度方向并滿足右手螺旋定則。2.角量和線量的關(guān)系在剛體作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，=常數(shù)，有以下相應(yīng)的公式:在質(zhì)點(diǎn)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，a=常數(shù)，有以下相應(yīng)的公式:3、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的公式剛體獲得角加速度的原因？第二節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律角動(dòng)量守恒定律一、力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面方向如圖轉(zhuǎn)動(dòng)平面方向如圖1、力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)2、力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)穿過轉(zhuǎn)軸Z的力和平行轉(zhuǎn)軸Z的力對轉(zhuǎn)軸Z的力矩為0。再看一個(gè)模型力矩zdPO當(dāng)有n個(gè)外力作用有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上時(shí)，其總力矩的量值應(yīng)等于這n個(gè)外力對轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生分力矩的代數(shù)和。？為什么二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理:質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩之和等于系統(tǒng)總角動(dòng)量的變化率(P85)對于定軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,上式同樣成立,且M只沿z軸方向,故有:如圖所示，考慮以角速度繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)剛體，其上任一質(zhì)元相對于原點(diǎn)0的角動(dòng)量為Li在z軸上的分量為：因此，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的總角動(dòng)量

對轉(zhuǎn)動(dòng)軸

z

軸的分量的大小為：對定軸剛體，J為常量，∴J

：稱為剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸下，可不寫角標(biāo)Z，記作：MJ=剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律比較：

F=maMFJma~~~三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)體：1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小有關(guān)因素:與剛體的質(zhì)量及質(zhì)量相對于給定軸的分布有關(guān)。

注:在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律中，不論是對M還是對于J，首先都要明確的是轉(zhuǎn)軸的位置，只有軸確定，M和J才有意義。dmrm在（SI）中，J的單位：kgm2四：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布1、對于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：例6-3求一質(zhì)量為m

，長為

l

的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）軸通過棒的一端并與棒垂直軸。（2）軸通過棒的中心并與棒垂直；oxzdxdmx解：ABL/2L/2Cx注：同一剛體，相對不同的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。

2、對于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題要點(diǎn)例6-1、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對O的力矩。當(dāng)棒處在下擺角時(shí)，重力矩為：OmgC例6-4質(zhì)量為

m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻薄圓盤，求通過各自中心并與圓面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：對圓環(huán)：對圓盤：RMrdr解：分析受力：圖示質(zhì)點(diǎn)A質(zhì)點(diǎn)B例6-2、如圖，斜面傾角為α，質(zhì)量均為m的兩物體A、B，經(jīng)細(xì)繩聯(lián)接，繞過一定滑輪。定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)（視為圓盤）半徑為R、質(zhì)量為m。求物體運(yùn)動(dòng)中定滑輪兩側(cè)繩中的張力及B下落的加速度a（不計(jì)摩擦）滑輪（剛體）聯(lián)系量聯(lián)立求解可得T1

、T2、

aA、aB、為什么此時(shí)T1

≠T2

？3、

平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：mR例：垂直軸定理o例：幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量o回顧：質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)的角動(dòng)量五剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量與角動(dòng)量定理

1.剛體對定軸的角動(dòng)量2.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理－－角動(dòng)量守恒定律

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律沖量矩（角沖量）表示合外力矩在t0t時(shí)間內(nèi)的累積作用。作用在剛體上的沖量矩等于其角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量定理2.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例第三節(jié)剛體的能量

剛體的內(nèi)力不做功力矩的功一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與動(dòng)能定理1．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

二、剛體的重力勢能

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)械能守恒定律推廣：對含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即解

(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動(dòng)量守恒：

解得例題

勻質(zhì)桿：長為l、質(zhì)量M，可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿豎直下垂。質(zhì)量為m的子彈以水平速度o射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。mooA由此得：(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒：mooA由前轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能零勢面平動(dòng)動(dòng)能例6-8A與B兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接,A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=10.0kg.m2,開始時(shí)B輪靜止,A輪以n1=600r.min-1的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng),然后使A與B連接,因而B輪的到加速而A輪減速,直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r.min-1為止.求(1)B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;(2)在嚙合過程中損失的機(jī)械能.ωAB解:(1)取兩飛輪為系統(tǒng),因軸向力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩；據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒,有則B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)系統(tǒng)在嚙合過程中機(jī)械能的變化為.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對比(一)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)