2013版高考數(shù)學(xué)(人教A版·數(shù)學(xué)文)全程復(fù)習(xí)方略配套課件：6.5 合情推理與演繹推理

第五節(jié)合情推理與演繹推理三年21考高考指數(shù):★★★★1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.1.歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問題是考查重點；2.類比推理、演繹推理是重點，也是難點；3.以選擇題、填空題的形式考查合情推理；以選擇題或解答題的形式考查演繹推理，題目難度不大，多以中低檔題為主.1.推理(1)定義：推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程.(2)分類：推理一般分為__________與__________兩類.合情推理演繹推理【即時應(yīng)用】(1)思考：一個推理是由幾部分構(gòu)成的？提示：從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論.(2)數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于______.【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.答案：32(3)已知數(shù)列則是第______項.【解析】由題可知該數(shù)列的第n項由得2n-1=45，∴n=23.答案：232.合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的_________________________的推理，或者由個別事實概括出_________的推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的_____________，推出另一類對象也具有這些特征的推理特點由______到______、由______到______的推理由______到______的推理全部對象都具有這些特征一般結(jié)論某些已知特征部分整體個別一般特殊特殊歸納推理類比推理一般步驟(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)【即時應(yīng)用】(1)判斷下列命題是否正確(請在括號中填√或×)①(ab)n=anbn與(a+b)n類比，則有(a+b)n=an+bn;()②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比，則有sin(α+β)=sinαsinβ;()③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比，則有(a+b)2=a2+2a·b+b2.()(2)在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積的比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積的比為_______.【解析】(1)①錯.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;②錯.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;③對.(a+b)2=(a+b)?(a+b)=a2+2a?b+b2滿足向量數(shù)量積的運算.(2)兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則其高之比為1∶2，底面積之比為1∶4，故其體積的比為1∶8.答案：(1)①×②×③√(2)1∶83.演繹推理(1)定義：從______________出發(fā)，推出_____________下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.(2)特點：演繹推理是由____________的推理.一般性的原理某個特殊情況一般到特殊(3)模式：三段論．“三段論”是演繹推理的一般模式：“三段論”的結(jié)構(gòu)①大前提——已知的_________；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對_________做出的判斷．“三段論”的表示①大前提——______.②小前提——______.③結(jié)論——S是P．一般原理特殊情況M是PS是M【即時應(yīng)用】(1)命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，判斷下列說法的真假(填“真”或“假”)①使用了歸納推理()②使用了類比推理()③使用了演繹推理()④使用了“三段論”但推理形式錯誤()⑤使用了“三段論”但小前提錯誤()(2)判斷下列推理過程是否是演繹推理(請在括號中填“是”或“否”)①兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180°()②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班級人數(shù)超過50人()③由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四邊形的性質(zhì)()④在數(shù)列{an}中，a1=1,(n≥2,n∈N*)，由此歸納出{an}的通項公式()【解析】(1)①假：不滿足歸納推理的定義；②假：不滿足類比推理的定義；③真：滿足演繹推理的定義；④真：使用了“三段論”但大前提中的“有些有理數(shù)”與小前提中的“有理數(shù)”不是同一概念，故不符合三段論的推理形式.⑤假，使用了“三段論”但小前提是正確的.(2)①是，使用了“三段論”.②不是，使用了歸納推理不是演繹推理.③不是，使用了類比推理.④不是,使用了歸納推理.答案：(1)①假②假③真④真⑤假(2)①是②否③否④否

歸納推理【方法點睛】歸納推理的特點(1)歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理.(2)歸納推理所得結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也會越可靠.其結(jié)論的正確性往往通過演繹推理來證明.(3)它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.【例1】(1)已知：設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),則f3(x)的表達式為，猜想fn(x)(n∈N*)的表達式為_______.(2)(2012·蘇州模擬)觀察式子：你可以猜出的一個一般性結(jié)論是______.(3)設(shè)先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.【解題指南】(1)由已知條件及遞推關(guān)系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).(2)由三個等式可推第四，第五個等式，從而得第n個等式即一般結(jié)論.(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).【規(guī)范解答】(1)由得故猜想答案：(2)由前三個等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125=53，所以第n個等式的第一個數(shù)應(yīng)為第［1+2+…+(n-1)+1］個奇數(shù)，即為共有n個奇數(shù)，即第n個等式應(yīng)為［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+［n(n-1)+2n-1］=n3.即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3(3)同理可得：由此猜想f(x)+f(1-x)=證明：f(x)+f(1-x)=【互動探究】利用本例第(3)題中的結(jié)論計算f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)的值.【解析】由本例第(3)題中的結(jié)論f(x)+f(1-x)=得方法一：f(-2012)+f(2013)=f(-2011)+f(2012)=故f(-2012)+f(-2011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2013)方法二：令S=f(-2012)+f(-2011)+…+f(2013)則S=f(2013)+f(2012)+…+f(-2012)∴2S=4026［f(-2012)+f(2013)］=∴【反思·感悟】解決與歸納推理有關(guān)問題的關(guān)鍵點是找出其中的規(guī)律，如第(1)題中通過遞推關(guān)系得f2(x),f3(x),f4(x)可觀察其分子一樣，分母變化的是x的系數(shù)，故可推出一般結(jié)論;第(2)題中的關(guān)鍵問題是第n個等式的左邊第一個數(shù)是多少，通過觀察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］個奇數(shù)，從而確定其等式關(guān)系；第(3)題中規(guī)律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=-2+1-(-2),從而得x+(1-x)的聯(lián)想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，即也成立.【變式備選】已知函數(shù)(1)分別求的值；(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；(3)求值：【解析】(1)∵同理可得(2)由(1)猜想證明：(3)由(2)可得，原式=f(1)+［f(2)+］+［f(3)+］+…+［f(2011)+］=f(1)+2010

類比推理【方法點睛】1.類比推理的步驟類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象其他屬性亦類似的一種推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想).2.類比的方法類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示：平面空間點線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長表面積…………【例2】(2012·安溪模擬)已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，則數(shù)列也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.【解題指南】等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，等差數(shù)列中的算術(shù)平均數(shù)類比等比數(shù)列中的幾何平均數(shù)，故本題中的等比數(shù)列的幾何平均數(shù)應(yīng)與等差數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)類比.【規(guī)范解答】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則所以數(shù)列{bn}是以a1為首項，為公差的等差數(shù)列.【反思·感悟】1.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、等差與等比之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的.2.類比的關(guān)鍵是確定兩類對象之間，某些性質(zhì)的可比性與合理性.【變式訓(xùn)練】請用類比推理完成下表：平面空間三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個面的面積與該面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長的乘積的一半【解析】本題由已知前兩組類比可得到如下信息：三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長的乘積的一半

↓類比↓類比↓類比↓類比↓類比三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.(本題結(jié)論可用等體積法，將三棱錐分割成四個小三棱錐去證明，證明略)答案：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一【變式備選】平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如一組對邊平行且相等、兩組對邊分別平行等.類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件①：_______________________________________充要條件②：_______________________________________【解析】兩組對邊分別平行類比可得三組對面分別平行.一組對邊平行且相等類比可得兩組對面分別平行且全等.答案:三組對面分別平行兩組對面分別平行且全等(答案不惟一)

演繹推理【方法點睛】演繹推理的特點(1)演繹推理的結(jié)構(gòu)演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的.三段論推理中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況.這兩個判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結(jié)論.(2)演繹推理的理論依據(jù)其推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.【提醒】應(yīng)用三段論時，應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，有時可省略.【例3】證明：函數(shù)f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是減函數(shù).【解題指南】證明函數(shù)的增減性，其大前提是單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足單調(diào)性的定義，則其增減性可得.【規(guī)范解答】任取x1,x2∈［1,+∞)，且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2).∵x1≥1,x2>1,∴x1+x2>2,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)>0,∴函數(shù)f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是減函數(shù).【反思·感悟】演繹推理是證明數(shù)學(xué)問題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實并且推理形式正確的前提下，其結(jié)論就必然真實.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)，滿足：對任意a,b∈R,a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),(1)試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).(2)若x,y為正實數(shù)且比較f(x+y)與f(6)的大小.【解析】(1)設(shè)x1,x2∈R,取x1<x2,則由題意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，∵x1<x2,∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1).所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).(2)因為x,y為正實數(shù),且所以當且僅當即時取等號，因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x+y)>f(6).【易錯誤區(qū)】歸納推理的解答誤區(qū)【典例】(2011·江西高考)觀察下列各式：72=49,73=343,74=2401,…，則72011的末兩位數(shù)字為()(A)01(B)43(C)07(D)49【解題指南】需先求出75=16807,76=117649，觀察后兩位發(fā)現(xiàn)呈周期變化，周期為4，易得72011的末兩位數(shù)字.【規(guī)范解答】選B.由條件知：75=16807,76=117649,77=823543,…,觀察發(fā)現(xiàn)后兩位數(shù)字呈周期變化，周期為4，又∵2011=4×502+3,∴72011的末兩位數(shù)字是43.【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示在解答本題時有兩點造成誤解：(1)對于給定的式子，只觀察式子結(jié)果，而不去繼續(xù)探究下幾項式子，從而找不到規(guī)律而誤解.(2)在繼續(xù)探究的情況下，運算錯誤從而導(dǎo)致周期找不到或找錯周期而誤解.備考建議解決歸納推理的問題，尤其是所求題目無法直接解出，必須尋求其規(guī)律找到周期才能解決時，有以下幾點易造成誤解，在備考時應(yīng)高度關(guān)注：(1)無從下手，不知道此類題目一定會有規(guī)律.沒有周期性，本題是無法求解的.(2)求解時需要多計算幾個式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但運算要準確無誤方能正確求解.建議在備考中解決類似問題時，一定要注意探求條件中所包含的規(guī)律，從而達到解決的目的.1.(2012·三明模擬)觀察下列等式1＝12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第n個等式應(yīng)為_________.【解析】觀察上面的式子可知第n個等式起始值為n，共有2n-1