2023屆湖北省恩施市高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．設(shè)集合，，則滿足集合的集合的子集個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．8C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，由補(bǔ)集、交集的定義求出集合，即可判斷其子集個數(shù).【詳解】由，即，解得，所以，又，所以，所以，即，則集合的子集有個.故選：C2．任意一個復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則，已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1B【分析】將化為三角形式，根據(jù)棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，所以.故選：B3．一組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為1，2，3，4，5，8，記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為n，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．12 B． C．8 D．10A【分析】根據(jù)上四分位數(shù)的計(jì)算可得，再根據(jù)，分別求解兩項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)求和即可.【詳解】因?yàn)椋嗜?shù)據(jù)從小到大第5個數(shù)，所以.則，又中常數(shù)項(xiàng)為，的項(xiàng)為，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.4．?dāng)?shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們平時聽到的音樂一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫某復(fù)合音的函數(shù)為，則其部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，與選項(xiàng)中的圖象比較即可得出答案.【詳解】令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，由解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)和時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，由于，可得，當(dāng)時，結(jié)合圖象，只有C選項(xiàng)滿足．故選：C．5．龍馬負(fù)圖、神龜載書圖像如圖甲所示，數(shù)千年來被認(rèn)為是中華傳統(tǒng)文化的源頭；其中洛書有云，神龜出于洛水，甲殼上的圖像如圖乙所示，其結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足u，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)；若從陽數(shù)和陰數(shù)中分別隨機(jī)抽出2個和1個，則被抽到的3個數(shù)的數(shù)字之和超過16的概率為（）A． B． C． D．A由題可求出所有情況共40種，再求出滿足條件的情況即可求出概率.【詳解】依題意，陽數(shù)為1、3、5、7、9，陰數(shù)為2、4、6、8，故所有的情況有種，其中滿足條件的為，，，，，，，，，，，，，共13種，故所求概率.故選：A．6．如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時，三棱錐外接球表面積為4πA【分析】連接，為中點(diǎn)，連接，確定，，若，得到，重合，不成立，A錯誤，平面時，，B正確，計(jì)算得到CD正確，得到答案.【詳解】如圖所示：連接，為中點(diǎn)，連接，，連接，，，，，故，故，

對選項(xiàng)A：，若，又，則，重合，不成立，錯誤；對選項(xiàng)B：當(dāng)平面時，平面，則，又，，平面，故平面，平面，故，正確；對選項(xiàng)C：當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，最大值為，正確；對選項(xiàng)D：平面，平面，故，，故，故是三棱錐外接球球心，半徑為，故外接球表面積為，正確.故選：A.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．D【分析】利用常見放縮，構(gòu)造函數(shù)，判斷出，然后利用構(gòu)造從而判斷即可.【詳解】令，則，當(dāng)時,，所以在上單調(diào)遞增，，；，易知，.故選：D.8．已知，分別為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，且到漸近線的距離為1，過的直線與C的左、右兩支曲線分別交于兩點(diǎn)，且，則下列說法正確的為（

）A．的面積為2 B．雙曲線C的離心率為C． D．D【分析】利用已知條件求出b的值，對于A：利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出的面積，對于B：利用雙曲線的離心率公式運(yùn)算求解；對于C：先求，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解；對于D：根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出，代值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為，因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且，則其中一條漸近線方程為，即，且，則到漸近線的距離，可得.對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且，可得，解得，所以的面積為，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：雙曲線C的離心率為，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋傻?，所以，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)，則，因?yàn)?，即，解得，所以，故D正確；故選：D.方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．二、多選題9．已知F是拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．以AB為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切B．若拋物線上的點(diǎn)T（2，t）到點(diǎn)F的距離為4，則拋物線的方程為y2=4xC．為定值D．|MN|的最小值為ACD【分析】由拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出弦長，進(jìn)而可得以為直徑的圓的半徑，再求的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可判斷A，由拋物線的性質(zhì)可得到準(zhǔn)線的距離，由題意可得的值，求出拋物線的方程，可判斷B，求解的值可判斷C，求出的表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時，可求出的最小值，判斷D，【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，則的中點(diǎn)，由，得，所以，所以，對于A，，則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，所以以AB為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切，所以A正確，對于B，因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)T（2，t）到點(diǎn)F的距離為4，所以點(diǎn)T（2，t）到準(zhǔn)線的距離為，得，則拋物線的方程為，所以B錯誤，對于C，為定值，所以C正確，對于D，，所以當(dāng)時，取得最小值，所以D正確，故選：ACD10．己知函數(shù)部分圖像如下，它過，兩點(diǎn)，將的圖像向右平移個單位到的圖像，則下列關(guān)于的成立是（

）

A．圖像關(guān)于y軸對稱B．圖像關(guān)于中心對稱C．在上單調(diào)遞增D．在最小值為BD【分析】根據(jù)的圖像，求出的解析式，然后根據(jù)平移求出的解析式，即可判斷A,B,C,D四個選項(xiàng).【詳解】，且，結(jié)合的圖像可得：，；結(jié)合的圖像可得：，設(shè)的周期為T，則由圖可知：，故.，，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，A錯，B對；在上單調(diào)遞增，故C錯；，,,最小值為，故D對；故選：BD.11．已知函數(shù)，的定義域均為，其導(dǎo)函數(shù)分別為，．若，，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．ACD【分析】由，可設(shè)，，由，得，賦值，則有，即，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又得，也是周期為4的函數(shù)，通過賦值可判斷選項(xiàng)【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．于是可得，令，則，所以．所以，即函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即．因?yàn)?，所以函?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，即，所以，即，于是，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以的圖像關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以A選項(xiàng)正確．將的圖像作關(guān)于軸對稱的圖像可得到的圖像，再向右平移3個單位長度，可得到的圖像，再將所得圖像向下平移2個單位長度，即可得到的圖像，因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù)．又的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，所以B選項(xiàng)不正確．因?yàn)椋?，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確．因?yàn)?，所以，，，，，則有，可得，所以D選項(xiàng)正確．故選：ACD．方法點(diǎn)睛：一般地，若函數(shù)的圖像具有雙重對稱性，則一定可以得到函數(shù)具有周期性，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為半個周期；相鄰的兩個對稱中心之間的距離也是半個周期；相鄰的一條對稱軸和一個對稱中心之間的距離為四分之一個周期．12．已知直四棱柱，底面是邊長為4的菱形，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．以為球心作半徑為的球，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)四點(diǎn)共面B．直線與直線所成角的余弦值為C．當(dāng)球與直四棱柱的五個面有交線時，的范圍是D．在直四棱柱內(nèi)，球外放置一個小球，當(dāng)小球的體積最大時，球半徑的最大值為ABD【分析】根據(jù)直四棱柱幾何特征結(jié)合共面，異面直線所成角，內(nèi)切球等分別判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】

對于A選項(xiàng)，取的中點(diǎn)分別為，則構(gòu)成平面六邊形，故選項(xiàng)A正確；

對于B選項(xiàng)，取中點(diǎn),把直線與直線的角轉(zhuǎn)化為直線與直線的角，中，,由余弦定理與直線所成角的余弦值為，故選項(xiàng)B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)球與直四棱柱的下底面和4個側(cè)面有交線時，的取值范圍是，當(dāng)球與直四棱柱的上底面和4個側(cè)面有交線時,大于,小于，的取值范圍是．故選項(xiàng)C錯誤；

對于D選項(xiàng)，設(shè)四邊形內(nèi)切圓半徑為，,由題可知在直四棱柱內(nèi)放置的球最大半徑為，當(dāng)小球的體積最大時設(shè)球心,如圖建系，此時兩球心的距離為，所以球的半徑的最大值為．故選項(xiàng)D正確．故選：ABD方法點(diǎn)睛：與側(cè)交轉(zhuǎn)化為半徑最大最小的極限位置解題，對于幾何體的內(nèi)切球最值轉(zhuǎn)化為兩球心間距離減半徑.三、填空題13．在某次調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表．樣品類別樣本容量平均數(shù)方差A(yù)103.52B305.51根據(jù)這些數(shù)據(jù)可計(jì)算出總樣本的方差為______．2【分析】由數(shù)據(jù)分別求出男生女生的樣本容量，進(jìn)而求出總樣本的平均數(shù)，再利用樣本方差公式，即可得到答案.【詳解】設(shè)總樣本量為n，由題意得A樣本量為，B樣本量為，假設(shè)A的樣本數(shù)據(jù)為，B的樣本數(shù)據(jù)為，則總樣本平均數(shù)，總樣本方差，∵，同理，∴總樣本方差.故2.14．已知向量，的夾角為60°，向量在向量上的投影向量的長度為1，，則______．【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，得，再應(yīng)用向量數(shù)量積運(yùn)算律求目標(biāo)向量的模.【詳解】由題意，則，由，故.故15．已知雙曲線：，圓：與x軸交于兩點(diǎn)，是圓О與雙曲線在x軸上方的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)在y軸的同側(cè)，且交于點(diǎn)C.若，則雙曲線的離心率為_________./【分析】根據(jù)向量等式推出M點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對稱性可知N為的中點(diǎn)，結(jié)合可求出，利用雙曲線定義即可求得答案.【詳解】由題意可知，故不妨設(shè)，即為雙曲線的焦點(diǎn)，，因?yàn)榭傻?，即，故M點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對稱性可知N為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，故，同理，即為正三角形，故，由點(diǎn)M在雙曲線左支上，故，則，故四、雙空題16．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)在定義域內(nèi)是______（填“增”或“減”）函數(shù)；若，，則的最小值為______．增/【分析】由題意可知，令，求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性，由可求得，再根據(jù)可知，進(jìn)而得出，利用的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解：已知，則，令，，則，所以在為增函數(shù)，即函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；，，又，，可得，由于在為增函數(shù)，所以，解得，即的最小值為，故增；五、解答題17．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和記為，且，，，數(shù)列滿足，．(1)求，，；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)，，10507(2)【分析】（1）首先利用數(shù)列與的關(guān)系，求得，再賦值求，再利用時，，即可求得；（2）由（1）可知，，再利用分組轉(zhuǎn)化，以及錯位相減法求和.【詳解】（1）因?yàn)?，，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均不為零，所以．當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，，兩式相減可得，，∴；（2）由（1）可知，，設(shè)，當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和為28，當(dāng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)

，兩式相減得，，解得：，，所以，，所以.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點(diǎn)．(1)從下面三個條件中任選一個作為已知條件，求的大?。?；②；③．(2)若，求的取值范圍．(1)三個條件任選其一都有(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對等式進(jìn)行化簡，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求出其大小．（2）運(yùn)用角平分線的條件求出，然后利用面積公式求出的取值范圍．【詳解】（1）選①，因?yàn)?，所以．由正弦定理得．即，故，因?yàn)?，，所以，所以，所以．選②，由及正弦定理，得，即，，所以．因?yàn)?，所以，所以，即．又，所以，所以．選③，由及正弦定理，得，即．因?yàn)椋?，所以．又，所以．?）因?yàn)锽D平分，所以，在中，，即，在中，，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，故．因?yàn)?，，，所以，又，所以．又，所以，所以，所以，，即的取值范圍為?9．如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)證明即可推理作答.（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.【詳解】（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO、OB，在正和正中，，則，而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，從而平面ABC，平面ADC，所以.（2）由（1）知，平面ADC，為EM與平面ADC的所成角，即，在中，，即M為DC中點(diǎn)，由（1）知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，

顯然平面DAC的一個法向量為，設(shè)平面MAB的一個法向量為，則，令，得，，所以平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值為．20．2015年7月31日，國際奧委會宣布北京獲得2022年冬奧會舉辦權(quán)，消息傳來，舉國一片歡騰．某投資公司聞到了商機(jī)，決定開發(fā)冰雪運(yùn)動項(xiàng)目，經(jīng)過一年多的籌備，2017年該公司冰雪運(yùn)動項(xiàng)目正式運(yùn)營．下表是2017—2021年該公司第一季度冰雪運(yùn)動項(xiàng)目消費(fèi)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代號12345消費(fèi)人數(shù)（單位：百人）6282106128152(1)若年份代號與第一季度冰雪運(yùn)動項(xiàng)目消費(fèi)人數(shù)（百人）具有線性相關(guān)關(guān)系，求出它們間的回歸方程，并預(yù)估2022年第一季度冰雪運(yùn)動項(xiàng)目消費(fèi)的人數(shù)是多少？(2)某記者為調(diào)查北京冬奧會對冰雪運(yùn)動項(xiàng)目運(yùn)動的影響，隨機(jī)調(diào)查了200人，其中80人是在冬奧會開幕前調(diào)查的，約有的人已參加過冰雪運(yùn)動項(xiàng)目，冬奧會開幕后調(diào)查的人數(shù)中已參加過冰雪運(yùn)動項(xiàng)目與未參加的人數(shù)比為，問有多大的把握認(rèn)為參加冰雪運(yùn)動項(xiàng)目與北京冬奧會的開幕有關(guān)？參考公式：．參考數(shù)據(jù)：，，0.100.050.0250.012.7063.8415.0246.635(1)，17380人．(2)有97.5%的把握認(rèn)為參加冰雪運(yùn)動項(xiàng)目與北京冬奧會的開幕有關(guān)．【分析】（1）根據(jù)最小二乘法求回歸方程，并預(yù)計(jì)即可；（2）由條件列出二聯(lián)表，由卡方公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，所以回歸直線方程為，當(dāng)時，（百人）（人）．即預(yù)估2022年第一季度冰雪運(yùn)動項(xiàng)目消費(fèi)的人數(shù)是17380人．（2）由題意可知開幕前參加過冰雪項(xiàng)目的有20人，未參加過的有60人，開幕后調(diào)查的有120人，其中參加過冰雪項(xiàng)目的有50人，未參加過的有70人，故可列出列聯(lián)表：參加冰雪項(xiàng)目未參加冰雪項(xiàng)目合計(jì)冬奧會開幕前206080冬奧會開幕后5070120合計(jì)70130200，所以有97.5%的把握認(rèn)為參加冰雪運(yùn)動項(xiàng)目與北京冬奧會的開幕有關(guān)．21．已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積及內(nèi)切圓的半徑列出方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，，寫出直線的方程求出的坐標(biāo)，并