江蘇省南通如皋市2022-2023高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷+答案

202－2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．設(shè)集合Axx2x3≤0，Bxylogxa，若AB，則實數(shù)a的取值范圍22為()B．13，C．，1D．，1A．3，2．已知復(fù)數(shù)z滿足1iz3i，則z的虛部為()A．1B．1C．iD．i)3．設(shè)等比數(shù)列a的前n項和為S，已知a3，S3S，則a(nn1637A．6B．12C．18D．484．已知向量a，b滿足ab3，a2baa，則a()A．5B．1C．2D．32csin110.225．設(shè)a，b，，則(2)log32A．cbaB．bacπC．cabD．bca6．已知函數(shù)fx3sinx0的圖象向左平移0個單位長度后與其導(dǎo)函6數(shù)yf'x的圖象重合，則f的值為()3236A．0B．C．D．227．在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯(lián)、繪畫幾乎無不講究對稱之美．如圖所示的是清代詩人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩》，其以連環(huán)詩的形式展現(xiàn)，20個字繞著茶壺成一圓環(huán)，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．?dāng)?shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，高三數(shù)學(xué)第1頁共6頁

如2020年02月02日（20200202）被稱為世界完全對稱日（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）．?dāng)?shù)學(xué)上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回文數(shù)，如11，242，5225都是回文數(shù)，則用0，1，2，3，4，5這些數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的回文數(shù)中能被3整除的個數(shù)是()A．8B．10C．11D．13x2y28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的左，右焦點分別是F，1ab01ab22F，點P是橢圓C上一點，點Q是線段PF靠近點F的三等分點，若OP⊥OQ，則橢圓211C的離心率的取值范圍是()12，113，3D．，1A．，1B．C．22222二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列統(tǒng)計量中，用于測度樣本的集中趨勢的有()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．眾數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差10．一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，記事件A：第一次取出的是紅球；事件A：第一次取出的是白球；事件B：12取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則()A．事件A，A為互斥事件B．事件B，C為獨立事件123D．PCA42C．PB5211．在棱長為1的正方體ABCD－ABCD中，設(shè)BPBD，其中01，，則()11111A．PC⊥AD11B．PA與平面ABD所成角的最大值為π3111C．若CD，則平面PAC∥平面A11223D．若△PAC為銳角三角形，則1，高三數(shù)學(xué)第2頁共6頁

12．設(shè)定義在R上的函數(shù)fx與gx的導(dǎo)數(shù)分別為fx與g'x，已知fxg3x1，f'x1g'x，且f'x關(guān)于直線x1對稱，則下列結(jié)論一定成立的是()A．fxf2x0B．f'20C．g1xg1xD．g'xg'2x0三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．1n的展開式中各二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中的常數(shù)項為_____13．已知2x．xy2pxp0的焦點為F，過F且斜率為214．已知拋物線3直線與拋物線在第一象限交于43，則p_______．點A，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，若△AMF的面積為x2axax0，≤，恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_______215．已知函數(shù)fxlnxaxx0，．16．在平行四邊形ABCD中，AB1，AD5，AB⊥BD，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P－BD－C的大小為120°，則四面體PBCD的外接球的表面積為_____．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)在下面兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中并作答．①a2a4S1；②aan12nn1．n1nnn1nn已知S為數(shù)列a的前n項和，滿足a1，a0，_____．nn1n（1）求數(shù)列a的通項公式；n（2）設(shè)bScosnπ，求數(shù)列b的前2n1項和T．nnn2n1高三數(shù)學(xué)第3頁共6頁

18．(本小題滿分12分)為了進(jìn)一步加快推進(jìn)學(xué)生素質(zhì)教育，豐富學(xué)生的課余生活，挖掘?qū)W生的動手動腦潛力，學(xué)校在高一年級進(jìn)行了一次“變廢為寶”手工作品評比，對參賽作品進(jìn)行統(tǒng)計得到如下統(tǒng)計表：不合格合格合計女生男生合計100501203022080150150300（1）運(yùn)用獨立性檢驗的思想方法判斷：能否有99%以上的把握認(rèn)為性別與作品是否合格有關(guān)聯(lián)？并說明理由．（2）學(xué)校為了鼓勵更多的同學(xué)參與到“變廢為寶”活動中來，決定通過3輪挑戰(zhàn)賽評選出一些“手工達(dá)人”，3輪挑戰(zhàn)結(jié)束后，至少2次挑戰(zhàn)成功的參賽者被評為本學(xué)期的“手工311達(dá)人”．已知某參賽者挑戰(zhàn)第一、二、三輪成功的概率分別為，，，求該參賽者在本423學(xué)期3輪挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)．nadbc2參考公式：，nabcd．2abcdacbd0.0250.0100.0050.001P≥x205.0246.6357.87910.828x0高三數(shù)學(xué)第4頁共6頁

19．(本小題滿分12分)在△ABC中，∠ACB的平分線CM與邊AB交于點M，且AM＝CM＝1．π（1）若A，求△ABC的面積S；6（2）求AMMCBM的最小值．20．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，AC＝AB，11111平面ABC⊥平面ABC，M是棱BC的中點．111（1）證明：AC∥平面ABM；113（2）若四棱錐A－BCCM的體積為，求二面角A－BM－C的余弦值．2111C1MA1B1CAB高三數(shù)學(xué)第5頁共6頁

21．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓E：x2y4和定點F2，0，P為圓E上的動22點，線段PF的垂直平分線與直線PE交于點Q，設(shè)動點Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)曲線C與x軸正半軸交于點A，過點T(t，0)(－1＜t＜1)的直線l與曲線C交于點M，N（異于點A），直線MA，NA與直線x＝t分別交于點G，H．若點F，A，G，H四點共圓，求實數(shù)t的值．22．(本小題滿分12分)x已知函數(shù)fxalnx，gxx1e，其中a為實數(shù)．（1）若函數(shù)fx，gx的圖象在x1處的切線重合，求a的值；（2）若ae，設(shè)函數(shù)hxfxgx的極值點為x．0求證：①函數(shù)hx有兩個零點x，x(x＜x)；②3x0xx1．121212高三數(shù)學(xué)第6頁共6頁

2022－2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．題號12345678答案CABDADBA二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．題號9101112答案ABCACDABDBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．題1?，0答案8πe四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)【解】（1）選①，a+2a=4S?1，則a+2a=4S?1，22nnnn+1n+1n+1()故a?a+2a?2a=4a，即a?a=2a+a，2222n+1nn+1nn+1n+1n+1nn因a0，a+a0，所以a?a=2為定值，nnn+1n+1n故數(shù)列是首項a=1，公差為d=2的等差數(shù)列，a1n所以a=2n?1．……5分n111an+1aan+1a選②，因為?=，故?=?，()nnn+1nnn+1n+1nnn+1第1頁共10頁

a+1a+1a1是常數(shù)列，+，故數(shù)列nn=所以n+1nn+1na+1a+1==a=2n?12，故n所以n．……5分11n（2）由（1）知a=2n?1，S=n，2nn()故b=ncosnπ=?1n，n22n()()所以T=?1+2?3+4?+?12n?122n?122222n?1()()()()=?1?2+3?4+5??2n?2+2n?1()()=?1?2+3+4+5++2n?2+2n?1()()2n?22+2n?1=?1?2=?2n+n．……10分218．(本小題滿分12分)【解】（1）提出假設(shè)H：性別與作品合格與否無關(guān)．0300(12050?30100)26.8186.635，150150220802=()當(dāng)H成立時，≥6.635=0.01，2P0所以有99%的把握認(rèn)為性別與作品是否合格有關(guān)．……5分（2）X的所有可能值分別為0，1，2，3．()1121PX=0==，42312()3121121113PX=1=++=，4234234238()3123111115，PX=2=++=42342342312()3111PX=3==．……9分4238故X的概率分布為XP01231385181212第2頁共10頁

()135119EX=0+1+2+3=，812……11分1281219所以參賽者在3輪挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為次．12……12分19．(本小題滿分12分)ππ，6=，ACM=所以【解】（1）在△AMC中，AM＝CM＝1．A6又CM是∠ACB的平分線，ππ，6所以ACB2ACM==，BCM=3π，2=??ACB=故BπAπ在Rt△CBM中，CM＝1，BCM=，613BC=故BM=，，22111333．=+所以△ABC的面積SABBC=1=82222……5分（2）設(shè)A=，則ACM=BCM=，CMB=2，B=π?3，所以02π，解得00π?3π，0π，π，3……7分BMCM，=在△CBM中，據(jù)正弦定理，得sinBCMsinBsin得BM=CMsinBCMsinB=，sin3sin()=sinπ?3所以AMMC+BM=AMMCcosCMB+BMsinsinsincos2+cossin2=cos2+=cos2+sin3sin=cos2+sincos2+2sinsin211=cos2+=cos2+2cos2+1cos2+2cos22cos2+1+11=?……10分cos2+122第3頁共10頁

2cos2+1≥211=?cos2+12122?，22cos2+1=11+2時，不等式取等號．cos=，即2當(dāng)且只當(dāng)22cos2+11所以AMMC+BM的最小值為?．……12分2220．(本小題滿分12分)【解】（1）連接AB交A，B于N，連接MN．1在三菱柱ABC－ABC中，四邊形ABBA平行四邊形，11111C1M又ABAB=N，所以N是AB中點，111A1B1在△ACB中，M是的BC中點，1111所以MN∥AC，1NC又MN面ABM，AC面ABM，111AB所以AC∥平面ABM．11……5分（2）法一：取BC的中點O，連接OA，OA．1在△ACB中，AC=AB，O為BC的中點，所以AO⊥BC，1111又面ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，1111所以1AO⊥面ABC．……7分在三菱柱ABC－ABC中，四邊形ABBA是平行四邊形，z11111C1M=1S因為M是棱BC的中點，故S，BCCM1A1113B1MBB13=又VA1?BCCM1，2N11C所以VA1?BMB1=V=，312A1?BCCM1AO11B所以VB?AMB1=，即SAO=，x232AMB11y111=S2113而S=23=，所以AO=3．1222AMB11ABC……9分第4頁共10頁

以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建OAOBOA1立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，()()()()()故O0，0，0，B0，1，0，A0，0，3，C0，?1，0，M?3，0，3．1()()BA=0，?1，3，BM=?3，?1，3．1所以()設(shè)平面1ABM的法向量m=x，y，z，?y+3z=0，，=0，m⊥BAx則即取z=1，得1y=3，⊥?3?+3=0，xyz()m=0，3，1是平面ABM的一個法向量，1所以()同理n=1，0，1是平面BMC的一個法向量，mn=01+30+112=，所以，cosmn=()2+11+0+12222mn40+3A?BM?C的大小為，1設(shè)二面角2由圖可知，cos=cosm，n=，42所以二面角1A?BM?C的余弦值為．……12分4法二：取BC的中點O，連接OA，OA．1在△ACB中，AC=AB，O為BC的中點，所以AO⊥BC，1111又面ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，1111所以1AO⊥面ABC．……7分z以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OA所在直線分別為x軸，y1立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，()()()故O0，0，0，B0，1，0，C0，?1，0．()x()設(shè)A0，0，h，則M?3，0，h，h0，1()n=x，y，z，設(shè)平面BCCM的法向量1第5頁共10頁

y0，==xh，z=3，n⊥OB，則即?取x=h，得n⊥OM，3xhz0+=，()n=h，0，3是平面BCCM的一個法向量，1所以O(shè)An3h所以點1A到平面BCCM的距離d=1=，+1nh32311()3h3=，所以321+2h+3=，解得h=3，因為V22+h322A1?BCCM1()()故M?3，0，3，n=h，0，3，……9分()同理可得m=0，3，1是平面ABM的一個法向量，1mn=cosm，n=01+30+112所以()2+11+0+12222=，mn40+3角A?BM?C的大小為，1設(shè)二面2由圖可知，cos=cosm，n=，42所以二面1角A?BM?C的余弦值為．……12分4O，連接OA，OA，OM，過A作AG⊥OM，AH⊥BM，法三：取BC的中點G，H，連結(jié)GH．在△ACB中，AC=AB，O為BC的中點，所以1111垂足分別為AO⊥BC，1111C1又面1ACB⊥面ABC，AO面ACB，面ABC面ABC=BC，M111A1B1所以1AO⊥面ABC．……7分H又OA面ABC，所以O(shè)A⊥OA．1GC設(shè)OA=a，則AA=a+3．21OAB1在等邊△ABC中，O為BC的中點，所以O(shè)A⊥BC，又OAOA=O，OA，OA面OAA，所以BC⊥面OAA，1111面OAA，所以BC⊥AA，因為AA111在三菱柱ABC－ABC中，AA∥CC，四邊形BCCB是平行四邊形，1111111第6頁共10頁

所以四邊形BCCB是矩形，CC＝AA＝OM＝a+3，211111()+=3+故四邊形BCCM的面積為12a232+3．a(chǎn)212AO⊥ABC因為面，故面，AO⊥ABC11111ABCAO⊥AM又面，所以．AM111111OAAM==3a在Rt△OAM中，AG．111a2+31OM⊥因為面OAA，即面，面OAA，所以⊥OAAMAGM1AG⊥BC，BCBC1111又AG⊥OM，=，OM，BC面BCCM，所以O(shè)MBCOAG⊥面BCCM，1111133a3A－BCCM的體積為a+3=，解得a=3，所以四棱錐211322a+326所以AG=1，AB=2，CC=6，BM=BB+MB=7，2221111ABAM=221．1所以AB+AM=BM，AB⊥AM，所以AH=2221711111BMAG⊥面BCCM，BM面BCCM，所以BM⊥AG，1因為111又BM⊥AH，AGAH=A，，AH面AGH，AG1111111所以BM⊥面AGH，1又GH面AGH，所以BM⊥GH，1所以……10分AHG是二面角A?BM?C的平面角．116144A1G=AH2在Rt△AGH中，sinAHG==，1221711所以cosAHG1=1?sin2AHG1=?1=1422．442所以二面角A?BM?C的余弦值為．……12分4121．(本小題滿分12分)【解】（1）因為Q在線段PF的中垂線上，所以QP=QF，第7頁共10頁

故QE?QF=QF?EP?QF=2=2EF=4，所以點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點的雙曲線，其焦距2c=4，c=2，a=a=1b=c?a=3，且22，，故222y2所以曲線C的方程為x?=1．……5分23()()xmyt（2）設(shè)直線l：=+，Mx，y，Nx，y，1122組x=my+t，()聯(lián)立方程2整理得3m?1y+6mty+3t?3=0，，222y2x?=136mt，y+y=??3m10，3m?12212()()則且=36mt?43m?13t?30，3t?3．yy=222223m?1122……7分因為F，A，G，H四點共圓，所以HAF+HGF=π，又HAF+TAH=π，所以TAH=TGF，THTF故RtTAHRtTGF，所以，即TATF=THTG，=TATG()()所以1?t2?t=yy．GH()t?1y()yx?11又直線AM：y=x?1，令x=t，得=，yG11x?11()t?1y同理y=H，2x?12()()2(yyx?1x?1yy)(故yy=t?1=t?12()())1212my+t?1my+t?1GH12123t?32()3m?1t1=?m223t?3()?6mt+(t?1)223m?1+mt?13m?1222()()3t+1()=t?1=3t?1=31?t，其中?1t1，2()22?t?1()?=?，解得t=?1，tt3124()()?t2所以1第8頁共10頁

1?所以實數(shù)t的值為．……12分422．(本小題滿分12分)()()()，故f'1a，=【解】（1）fx=alnx，x0，f'x=ax()()()()g'1=e，gx=x?1e，g'x=ex，xx()()因為函數(shù)fx，gx的圖象在x=1處的切線重合，()()f'1=g'1，，解得a=e．故……2分()()f1g1=，()()()()（2）①hx=fx?gx=alnx?x?1e，x0，x()a=?則'xe，其中ae，hxxx()()()a=??ex+x又''()hx10，故h'x在0，+上單調(diào)遞減，x2()()據(jù)h'1=a?e0，h'a=1?ae0，a()故x1，a，0()()()()且當(dāng)x0，x時，h'x0，hx在0，x上單