2023屆江西省南昌市蓮塘鎮(zhèn)第一中學高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，且，則（）A．2 B． C． D．2．關于x的不等式的解集是，則關于x的不等式的解集是（）A． B．C． D．3．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150，120，180，150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本．記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務等情況，記這項調(diào)查為②，則完成①，②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法4．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．5．設變量滿足約束條件：，則的最小值（）A． B． C． D．6．已知,,為坐標原點，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．7．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．8．當前，我省正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張問題．已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題，先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）A．30 B．40 C．20 D．369．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．10．sin480°等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數(shù)列，且，則______，______.12．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為__________．13．半徑為的圓上，弧長為的弧所對圓心角的弧度數(shù)為________．14．已知等邊三角形的邊長為2,點P在邊上,點Q在邊的延長線上,若,則的最小值為______.15．函數(shù)，的遞增區(qū)間為______.16．如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖像，則函數(shù)解析式為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖長方體中，，分別為棱，的中點（1）求證:平面平面；（2）請在答題卡圖形中畫出直線與平面的交點（保留必要的輔助線），寫出畫法并計算的值（不必寫出計算過程）．18．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，按閱讀時間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加?！爸腥A詩詞比賽”．經(jīng)過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．19．如圖，是的直徑，所在的平面，是圓上一點，，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M點為圓心的圓及其上一點.（1）設圓N與y軸相切，與圓M外切，且圓心在直線上，求圓N的標準方程；（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點且，求直線l的方程.21．已知向量，，函數(shù)．（1）若，求的取值集合；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)向量平行得到，再利用和差公式計算得到答案.【詳解】向量，且，則..故選：.【點睛】本題考查了向量平行求參數(shù)，和差公式，意在考查學生的綜合應用能力.2、D【解析】

由不等式與方程的關系可得且，則等價于，再結(jié)合二次不等式的解法求解即可.【詳解】解：由關于x的不等式的解集是，由不等式與方程的關系可得且，則等價于等價于，解得，即關于x的不等式的解集是，故選：D.【點睛】本題考查了不等式與方程的關系，重點考查了二次不等式的解法，屬基礎題.3、B【解析】

此題為抽樣方法的選取問題．當總體中個體較少時宜采用簡單隨機抽樣法；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較多時，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據(jù)題意，第①項調(diào)查中，總體中的個體差異較大，應采用分層抽樣法；第②項調(diào)查總體中個體較少，應采用簡單隨機抽樣法．

故選B．【點睛】本題考查隨機抽樣知識，屬基本題型、基本概念的考查．4、B【解析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于基礎題．5、D【解析】

如圖作出可行域，知可行域的頂點是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當經(jīng)過A時，的最小值為-8，故選D.6、A【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出是直徑，由此求得圓心坐標和半徑，進而求得三角形外接圓的方程.【詳解】由于直角對的弦是直徑，故是圓的直徑，所以圓心坐標為，半徑為，所以圓的標準方程為，化簡得，故選A.【點睛】本小題主要考查三角形外接圓的方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎題.7、B【解析】由題意不妨令棱長為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點與底面所成角的正弦值故答案選點睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過點作垂線構造出線面角，然后計算出各邊長度，在直角三角形中解三角形．8、A【解析】

先求出每個個體被抽到的概率,再由乙社區(qū)的低收入家庭數(shù)量乘以每個個體被抽到的概率,即可求解【詳解】每個個體被抽到的概率為,乙社區(qū)由270戶低收入家庭,故應從乙中抽取低收入家庭的戶數(shù)為,故選:A【點睛】本題考查分層抽樣的應用,屬于基礎題9、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎題.10、D【解析】試題分析：因為，所以選D.考點：誘導公式，特殊角的三角函數(shù)值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數(shù)列，可建立關系式，求出，進而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和的求法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.12、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的下等馬，田忌的上等馬對齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.13、【解析】

根據(jù)弧長公式即可求解.【詳解】由弧長公式可得故答案為：【點睛】本題主要考查了弧長公式的應用，屬于基礎題.14、【解析】

以為軸建立平面直角坐標系，設，用t表示，求其最小值即可得到本題答案.【詳解】過點A作BC的垂線，垂足為O，以為軸建立平面直角坐標系.作PM垂直BC交于點M，QH垂直y軸交于點H，CN垂直HQ交于點N.設，則，故有所以，，當時，取最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查利用建立平面直角坐標系解決向量的取值范圍問題.15、[0，](開區(qū)間也行)【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，以及題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由得：，又，所以函數(shù)，的遞增區(qū)間為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

由函數(shù)的部分圖像，先求得，得到，再由，得到，結(jié)合，求得，即可得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得，所以，又由，即，又由，即，解得，即，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準確計算是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)；畫圖見解析【解析】

（1）推導出平面，得出，得出，從而得到，進而證出平面，由此證得平面平面．（2）根據(jù)通過輔助線推出線面平行再推出線線平行，再根據(jù)“一條和平面不平行的直線與平面的公共點即為直線與平面的交點”得到點位置，然后計算的值．【詳解】（1）證明：在長方體中，，分別為棱，的中點，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因為在中，，所以，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以平面平面（2）如圖所示：設，連接，取中點記為，過作，且，則.證明：因為為中點，所以且；又因為，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因為，所以，且平面，所以平面；又因為，則，平面，即點為直線與平面的交點；因為，所以，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為，.【點睛】本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．18、（1）a=0.06，平均值為12.25小時（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值為小時．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來自不同的組別的基本事件有：，共11種，∴這2人來自不同組別的概率為.【點睛】本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查古典概型、頻率分布直方圖等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．19、（1）證明見解析；（2）2.【解析】

（1）首先證明平面，利用線面垂直推出平面平面；（2）找到直線與平面所成角所在三角形，利用三角形邊角關系求解即可.【詳解】（1）∵是直徑，∴，即，又∵所在的平面，在所在的平面內(nèi)，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）∵平面，∴直線與平面所成角即，設，∵，∴，∴，∴.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明，直線與平面所成角的求解，屬于一般題.20、（1）（2）或.【解析】

（1）根據(jù)由圓心在直線y=6上，可設，再由圓N與y軸相切，與圓M外切得到圓N的半徑為和得解.（2）由直線l平行于OA，求得直線l的斜率，設出直線l的方程，求得圓心M到直線l的距離，再根據(jù)垂徑定理確定等量關系，求直線方程.【詳解】（1）圓M的標準方程為，所以圓心M（7，6），半徑為5,.由圓N圓心在直線y=6上，可設因為圓N與y軸相切，與圓M外切所以，圓N的半徑為從而解得.所以圓N的標準方程為.（2）因為直線l平行于OA，所以直線l的斜率為.設直線l的方程為，即則圓心M到直線l的距離因為而所以解得或.故直線l的方程為或.【點睛】本題主要考查