初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案解析匯編

PAGE./WORD格式.分享全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題匯編〔1998-2018目錄1998年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷11999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷620XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答920XXTI杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題B卷1420XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題1520XX"TRULY?信利杯"全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題1720XX"TRULY?信利杯"全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題2520XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷3020XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題3220XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題3820XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題4620XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題4720XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題5220XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題5720XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題6020XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題7320XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽772015年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽852016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題942017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷1032018年初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題105.1998年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、選擇題：〔每小題6分,共30分1、已知a、b、c都是實(shí)數(shù),并且,那么下列式子中正確的是〔〔Ａ〔Ｂ〔Ｃ〔Ｄ2、如果方程的兩根之差是1,那么p的值為〔〔Ａ2〔Ｂ4〔Ｃ〔Ｄ3、在△ABC中,已知BD和CE分別是兩邊上的中線,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面積等于〔〔Ａ12〔Ｂ14〔Ｃ16〔Ｄ184、已知,并且,那么直線一定通過(guò)第〔象限〔Ａ一、二〔Ｂ二、三〔Ｃ三、四〔Ｄ一、四5、如果不等式組的整數(shù)解僅為1,2,3,那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對(duì)〔a、b共有〔〔Ａ17個(gè)〔Ｂ64個(gè)〔Ｃ72個(gè)〔Ｄ81個(gè)二、填空題：〔每小題6分,共30分6、在矩形ABCD中,已知兩鄰邊AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點(diǎn),PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分別是垂足,那么PE+PF=___________。7、已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么△OAB的面積等于___________。8、已知圓環(huán)內(nèi)直徑為acm,外直徑為bcm,將50個(gè)這樣的圓環(huán)一個(gè)接一個(gè)環(huán)套地連成一條鎖鏈,那么這條鎖鏈拉直后的長(zhǎng)度為___________cm。9、已知方程〔其中a是非負(fù)整數(shù),至少有一個(gè)整數(shù)根,那么a=___________。10、B船在A船的西偏北450處,兩船相距km,若A船向西航行,B船同時(shí)向南航行,且B船的速度為A船速度的2倍,那么A、B兩船的最近距離是___________km。三、解答題：〔每小題20分,共60分11、如圖,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=900,點(diǎn)E為腰AC中點(diǎn),點(diǎn)F在底邊BC上,且FE⊥BE,求△CEF的面積。12、設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),〔1求a的值；〔2求的值。13、A市、B市和C市有某種機(jī)器10臺(tái)、10臺(tái)、8臺(tái),現(xiàn)在決定把這些機(jī)器支援給D市18臺(tái),E市10臺(tái)。已知：從A市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為200元和800元；從B市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為300元和700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為400元和500元。〔1設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺(tái)到D市,當(dāng)28臺(tái)機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后,求總運(yùn)費(fèi)W〔元關(guān)于x〔臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式,并求W的最大值和最小值。〔2設(shè)從A市調(diào)x臺(tái)到D市,B市調(diào)y臺(tái)到D市,當(dāng)28臺(tái)機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后,用x、y表示總運(yùn)費(fèi)W〔元,并求W的最大值和最小值。解答1．根據(jù)不等式性質(zhì),選B．．2．由△=p2-4＞0及p＞2,設(shè)x1,x2為方程兩根,那么有x1+x2=-p,x1x2=1．又由<x1-x2>2=<x1＋x2>2-4x1x2,3．如圖3－271,連ED,則又因?yàn)镈E是△ABC兩邊中點(diǎn)連線,所以故選C．4．由條件得三式相加得2<a+b+c>=p<a+b+c>,所以有p=2或a+b＋c＝0．當(dāng)p=2時(shí),y=2x＋2,則直線通過(guò)第一、二、三象限．y=-x-1,則直線通過(guò)第二、三、四象限．綜合上述兩種情況,直線一定通過(guò)第二、三象限．故選B．,的可以區(qū)間,如圖3－272．+1,3×8＋2,3×8＋3,……3×8＋8,共8個(gè),9×8=72<個(gè)>．故選C．6．如圖3－273,過(guò)A作AG⊥BD于G．因?yàn)榈妊切蔚走吷系娜我庖稽c(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高,所以PE＋PF=AG．因?yàn)锳D=12,AB=5,所以BD=13,所7．如圖3-274,直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)為A<1,1>,B<-3,9>．作AA1,BB1分別垂直于x軸,垂足為A1,B1,所以8．如圖3－275,當(dāng)圓環(huán)為3個(gè)時(shí),鏈長(zhǎng)為當(dāng)圓環(huán)為50個(gè)時(shí),鏈長(zhǎng)為9．因?yàn)閍≠0,解得故a可取1,3或5．10．如圖3－276,設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后,A船、B船分別航行到A1,A1C=|10-x|,B1C=|10-2x|,所以11．解法1如圖3－277,過(guò)C作CD⊥CE與EF的延長(zhǎng)線交于D．因?yàn)椤螦BE＋∠AEB=90°,∠CED＋∠AEB=90°,所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽R(shí)t△CED,所以又∠ECF=∠DCF=45°,所以CF是∠DCE的平分線,點(diǎn)F到CE和CD的距離相等,所以所以解法2如圖3－278,作FH⊥CE于H,設(shè)FH=h．因?yàn)椤螦BE＋∠AEB＝90°,∠FEH+∠AEB=90°,所以∠ABE=∠FEH,于是Rt△EHF∽R(shí)t△BAE．因?yàn)樗?2．<1>因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,于是<2>由<1>知,a2=a＋1,反復(fù)利用此式可得a4=<a＋1>2=a2＋2a+1=3a+2,a8=<3a＋2>2=9a2＋12a＋4=21a＋13,a16=<21a+13>2=441a2＋546a＋169＝987a＋610,a18＝<987a＋610><a＋1>＝987a2＋1597a＋610=2584a＋1597．又因?yàn)閍2-a-1=0,所以64a2-64a-65=-1,即<8a+5><8a-13>=-1．所以a18＋323a－6=2584a＋1597＋323<-8a＋13>=5796．13．<1>由題設(shè)知,A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為x,x,18-2x,發(fā)往E市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為10-x,10-x,2x-10．于是W=200x＋300x+400<18-2x>＋800<10-x>+700<10-x>+500<2x-10>=-800x＋17200．W=-800x＋17200<5≤x≤9,x是整數(shù)>．由上式可知,W是隨著x的增加而減少的,所以當(dāng)x=9時(shí),W取到最小值10000元；當(dāng)x=5時(shí),W取到最大值13200元．<2>由題設(shè)知,A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為x,y,18-x-y,發(fā)往E市的機(jī)器臺(tái)數(shù)分別為10-x,10-y,x＋y-10．于是W=200x+800<10-x>+300y＋700<10-y>+400<18-x-y>+500<x+y-10>=-500x-300y+17200．W=-500x-300y+17200,且W=-200x-300<x+y>+17200≥-200×10-300×18＋17200=9800．當(dāng)x=10,y=8時(shí),W=9800,所以W的最小值為9800．又W=-200x-300<x＋y>＋17200≤-200×0-300×10+17200=14200,當(dāng)x=0,y=10時(shí),W=14200,所以W的最大值為14200．1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷

一、選擇題〔本題共6小題,每小題5分,滿分30分．每小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論,其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)里1．一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°,那么n的最大值是〔．A．11B．12C．13D．142．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過(guò)60立方米,按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過(guò)60立方米,超過(guò)部分按每立方米1.2元收費(fèi)．已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元,那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)〔．A．60元B．66元C．75元D．78元3．已知,那么代數(shù)式的值為〔．A．B．－C．－D．4．在三角形ABC中,D是邊BC上的一點(diǎn),已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角形ABC的面積是〔．A．30B．36C．72D．1255．如果拋物線與x軸的交點(diǎn)為A,B,項(xiàng)點(diǎn)為C,那么三角形ABC的面積的最小值是〔．A．1B．2C．3D．46．在正五邊形ABCDE所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)P,使得△PCD與△BCD的面積相等,并且△ABP為等腰三角形,這樣的不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為〔．A．2B．3C．4D．5二、填空題〔本題共6小題,每小題5分,滿分30分7．已知,那么x2+y2的值為．8．如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm,點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上,且EB=10cm,點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng),EP與AB的交點(diǎn)為F．設(shè)DP=xcm,△EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm2,那么,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是〔0＜x＜10．9．已知ab≠0,a2+ab－2b2=0,那么的值為．10．如圖2,已知邊長(zhǎng)為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中,A,B兩點(diǎn)在第Ⅰ象限內(nèi),OA與x軸的夾角為30°,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是．11．設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形,記作A1〔如圖3,將A1的每條邊三等分,在中間的線段上向形外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2〔如圖4；將A2的每條邊三等分,并重復(fù)上述過(guò)程,所得到的圖形記作A3〔如圖5；再將A3的每條邊三等分,并重復(fù)上述過(guò)程,所得到的圖形記作A4,那么A4的周長(zhǎng)是．12．江堤邊一洼地發(fā)生了管涌,江水不斷地涌出,假定每分鐘涌出的水量相等．如果用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水,40分鐘可抽完；如果用4臺(tái)抽水機(jī)抽水,16分鐘可抽完．如果要在10分鐘內(nèi)抽完水,那么至少需要抽水機(jī)臺(tái)．三、解答題〔本題共3小題,每小題20分,滿分60分13．設(shè)實(shí)數(shù)s,t分別滿足19s2+99s+1=0,t2+99t+19=0,并且st≠1,求的值．14．如圖6,已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O,對(duì)角線AC是直徑,對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)是P,AB=BD,且PC=0.6,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．15．有人編了一個(gè)程序：從1開始,交錯(cuò)地做加法或乘法〔第一次可以是加法,也可以是乘法每次加法,將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法,將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3．例如,30可以這樣得到：．〔1〔10分證明：可以得到22；〔2〔10分證明：可以得到2100+297－2．1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案一、1．C2．B3．D4．B5．A6．D二、7．108．y=5x+509．10．11．12．6三、13．解：∵s≠0,∴第一個(gè)等式可以變形為：．又∵st≠1,∴,t是一元二次方程x2+99x+19=0的兩個(gè)不同的實(shí)根,于是,有．即st+1=－99s,t=19s．∴．14．解：設(shè)圓心為O,連接BO并延長(zhǎng)交AD于H．∵AB=BD,O是圓心,∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°,∴BH∥CD．從而△OPB∽△CPD．,∴CD=1．于是AD=．又OH=CD=,于是AB=,BC=．所以,四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．15．證明：〔1．也可以倒過(guò)來(lái)考慮：．〔或者．〔2．或倒過(guò)來(lái)考慮：．注意：加法與乘法必須是交錯(cuò)的,否則不能得分．20XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答一、選擇題〔只有一個(gè)結(jié)論正確1、設(shè)a,b,c的平均數(shù)為M,a,b的平均數(shù)為N,N,c的平均數(shù)為P,若a＞b＞c,則M與P的大小關(guān)系是〔?！睞M＝P；〔BM＞P；〔CM＜P；〔D不確定。答：〔B。∵M(jìn)＝,N＝,P＝,M－P＝,∵a＞b＞c,∴＞,即M－P＞0,即M＞P。2、某人騎車沿直線旅行,先前進(jìn)了a千米,休息了一段時(shí)間,又原路返回b千米〔b﹤a,再前進(jìn)c千米,則此人離起點(diǎn)的距離S與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是〔。答：〔C。因?yàn)閳D〔A中沒(méi)有反映休息所消耗的時(shí)間；圖〔B雖表明折返后S的變化,但沒(méi)有表示消耗的時(shí)間；圖〔D中沒(méi)有反映沿原始返回的一段路程,唯圖〔C正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí),乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí),甲25歲,那么〔。〔A甲比乙大5歲；〔B甲比乙大10歲；〔C乙比甲大10歲；〔D乙比甲大5歲。答：〔A。由題意知3×〔甲－乙＝25－10,∴甲－乙＝5。4、一個(gè)一次函數(shù)圖象與直線y=平行,與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B,并且過(guò)點(diǎn)〔－1,－25,則在線段AB上〔包括端點(diǎn)A、B,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有〔?！睞4個(gè)；〔B5個(gè)；〔C6個(gè)；〔D7個(gè)。答：〔B。在直線AB上,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是x＝－1＋4N,y＝－25＋5N,〔N是整數(shù)．在線段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿足－1＋4N＞0,且－25＋5N≤0,∴≤N≤5,即N＝1,2,3,4,5。5、設(shè)a,b,c分別是△ABC的三邊的長(zhǎng),且,則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是〔?！睞∠B＞2∠A；〔B∠B＝2∠A；〔C∠B＜2∠A；〔D不確定。答：〔B。由得,延長(zhǎng)CB至D,使BD＝AB,于是CD＝a+c,在△ABC與△DAC中,∠C為公共角,且BC:AC＝AC:DC,∴△ABC∽△DAC,∠BAC＝∠D,∵∠BAD＝∠D,∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。6、已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,面積為S,△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別為a1,b1,C1面積為S1,且a＞a1,b＞b1,c＞c1則S與S1的大小關(guān)系一定是〔?！睞S＞S1；〔BS＜S1；〔CS＝S1；〔D不確定。答：〔D。分別構(gòu)造△ABC與△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1,顯然,即S＞S1；②設(shè),則,S＝10,,則S1＝×100＞10,即S＜S1；③設(shè),則,S＝10,,則,S1＝10,即S＝S1；因此,S與S1的大小關(guān)系不確定。二、填空題7、已知：,那么＝________。答：1。∵,即。∴。8、如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB＝8,BC＝6,∠BCD＝45°,∠BAD＝120°,則梯形ABCD的面積等于________。答：66＋6〔平方單位。作AE、BF垂直于DC,垂足分別為E、F,由BC＝6,∠BCD＝45°,得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°,得∠DAE＝30°,因?yàn)锳E＝6得DE＝2,AB＝EF＝8,DC＝2＋8＋6＝14＋2,∴。9、已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù),那么符合條件的整數(shù)有________個(gè)。答：5。①當(dāng)時(shí),；②當(dāng)時(shí),易知是方程的一個(gè)整數(shù)根,再由且是整數(shù),知,∴；由①、②得符合條件的整數(shù)有5個(gè)。10、如圖,工地上豎立著兩根電線桿AB、CD,它們相距15米,分別自兩桿上高出地面4米、6米的A、C處,向兩側(cè)地面上的E、D；B、F點(diǎn)處,用鋼絲繩拉緊,以固定電線桿。那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為________米。答：2.4米。作PQ⊥BD于Q,設(shè)BQ＝米,QD＝米,PQ＝米,由AB∥PQ∥CD,得及,兩式相加得,由此得米。即點(diǎn)P離地面的高度為2.4米。〔注：由上述解法知,AB、CD之間相距多遠(yuǎn),與題目結(jié)論無(wú)關(guān)。11、如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔15,6,直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分,那么＝________。答：。直線通過(guò)點(diǎn)D〔15,5,故BD＝1。當(dāng)時(shí),直線通過(guò),兩點(diǎn),則它恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分。12、某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品,由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4％,使得利潤(rùn)率增加了8個(gè)百分點(diǎn),那么經(jīng)銷這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率是________?！沧ⅲ骸?00％答：17％。設(shè)原進(jìn)價(jià)為元,銷售價(jià)為元,那么按原進(jìn)價(jià)銷售的利潤(rùn)率為×100％,原進(jìn)價(jià)降低6.4％后,在銷售時(shí)的利潤(rùn)率為×100％,依題意得：×100％＋8％＝×100％,解得＝1.17,故這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率為×100％＝17％。三、解答題13、設(shè)是不小于的實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?！?若,求的值。〔2求的最大值。解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以,∴。根據(jù)題設(shè),有?！?因?yàn)?即。由于,故?！?。設(shè)上是遞減的,所以當(dāng)時(shí),取最大值10。故的最大值為10。14、如上圖：已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2,對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E,AE＝EC,AB＝AE,且BD＝2,求四邊形ABCD的面積。解：由題設(shè)得AB2＝2AE2＝AE·AC,∴AB:AC＝AE:AB,又∠EAB＝∠BAC,∴△ABE∽△ACB,∴∠ABE＝∠ACB,從而AB＝AD。連結(jié)AD,交BD于H,則BH＝HD＝?！郞H＝＝1,AH＝OA－OH＝2－1＝1。∴,∵E是AC的中點(diǎn),∴,,∴,∴。15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層,它一次最多能容納32人,而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō),他往下走一層樓梯感到1分不滿意,往上走一層樓梯感到3分不滿意?，F(xiàn)在有32個(gè)人在第一層,并且他們分別住在第2至第33層的每一層,問(wèn)：電梯停在哪一層,可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最小？最小值是多少？〔有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓解：易知,這32個(gè)人恰好是第2至第33層各住1人。對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人,他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實(shí)上,設(shè)住第s層的人乘電梯,而住第t層的人直接走樓梯上樓,。交換兩人上樓方式,其余的人不變,則不滿意總分不增,現(xiàn)分別考慮如下：設(shè)電梯停在第層。①當(dāng)時(shí),若住第s層的人乘電梯,而住第t層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式,則這兩者不滿意總分也為。②當(dāng)時(shí),若住第s層的人乘電梯,而住第t層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式,則這兩者不滿意總分也為。③當(dāng)時(shí),若住第s層的人乘電梯,而住第t層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式,則這兩者不滿意總分為,前者比后者多。④當(dāng)時(shí),若住第層的人乘電梯,而住第層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式,則這兩者不滿意總分為,前者比后者多。⑤當(dāng)時(shí),若住第層的人乘電梯,而住第層的人直接走樓梯上樓,則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式,則這兩者不滿意總分為,前者比后者多。今設(shè)電梯停在第層,在第一層有人直接走樓梯上樓,那么不滿意總分為：當(dāng)x＝27,y＝6時(shí),s＝316。所以,當(dāng)電梯停在第27層時(shí),這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最小,最小值為316分。20XXTI杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題B卷選擇題〔30分1、化簡(jiǎn),得〔〔A<B><C><D>2、如果是三個(gè)任意整數(shù),那么〔〔A都不是整數(shù)〔B至少有兩個(gè)整數(shù)〔C至少有一個(gè)整數(shù)〔D都是整數(shù)3、如果是質(zhì)數(shù),且那么的值為〔〔A〔B〔C〔D4、如圖,若將正方形分成個(gè)全等的矩形,其中上、12下各橫排兩個(gè),中間豎排若干個(gè),則的值為〔……〔A6〔B8〔C10〔D12345、如圖,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC與PB交于點(diǎn)D,且PB=4,PD=3,則ADDC等于〔P〔A6〔B7〔C12〔D16DCAB6、若是正數(shù),且滿足,則之間的大小關(guān)系是〔〔A〔B〔C〔D不能確定填空題〔30分7、已知：。那么8、若則的值為9、用長(zhǎng)為1,4,4,5的線段為邊作梯形,那么這個(gè)梯形的面積等于10、銷售某種商品,如果單價(jià)上漲％,則售出的數(shù)量就將減少。為了使該商品的銷售總金額最大,那么的值應(yīng)該確定為11、在直角坐標(biāo)系中,軸上的動(dòng)點(diǎn)M〔x,0到定點(diǎn)P〔5,5、Q〔2,1的距離分別為MP和MQ,那么當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)12、已知實(shí)數(shù)滿足,那么t的取值范圍是解答題〔60分13、某個(gè)學(xué)生參加軍訓(xùn),進(jìn)行打靶訓(xùn)練,必須射擊10次。在第6、第7、第8、第9次射擊中,分別得了9.0環(huán)、8.4環(huán)、8.1環(huán)、9.3環(huán)。他的前9次射擊所得的平均環(huán)數(shù)高于前5次射擊所得的平均環(huán)數(shù)。如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過(guò)8.8環(huán)。那么他在第10次射擊中至少要得多少環(huán)？〔每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到0.1環(huán)14、如圖,已知點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),PS、PT是⊙O的兩條切線,過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線PAB,交⊙O于A,B兩點(diǎn),并交ST于點(diǎn)C。求證：.PSACOT15、已知：關(guān)于x的方程有實(shí)根。求取值范圍；若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為,且,求的值。,20XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題〔每小題5分,共30分1、設(shè)a＜b＜0,a2＋b2＝4ab,則的值為A、B、C、2D、32、已知a＝1999x＋2000,b＝1999x＋2001,c＝1999x＋2002,則多項(xiàng)式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值為A、0B、1C、2D、33、如圖,點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn),連AF、CE交于點(diǎn)G,則等于A、B、C、D、4、設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù),x＝a2－2b＋,y＝b2－2c＋,z＝c2－2a＋,則x、y、z中至少有一個(gè)值A(chǔ)、大于0B、等于0C、不大于0D、小于05、設(shè)關(guān)于x的方程ax2＋<a＋2>x＋9a＝0,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2,且x1＜1＜x2,那么a的取值范圍是A、＜a＜B、a＞C、a＜D、＜a＜06、A1A2A3…A9是一個(gè)正九邊形,A1A2＝a,A1A3＝b,則A1A5等于A、B、C、D、a＋b二、填空題〔每小題5分,共30分7、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則<x1－2x2><x2－2x1>的最大值為。8、已知a、b為拋物線y＝<x－c><x－c－d>－2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),a＜b,則的值為。9、如圖,在△ABC中,∠ABC＝600,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA,且PA＝8,PC＝6,則PB＝。10、如圖,大圓O的直徑AB＝acm,分別以O(shè)A、OA為直徑作⊙O1、⊙O2,并在⊙O與⊙O1和⊙O2的空隙間作兩個(gè)等圓⊙O3和⊙O4,這些圓互相內(nèi)切或外切,則四邊形O1O2O3O4的面積為cm2。11、滿足<n2－n－1>n＋2＝1的整數(shù)n有___________個(gè)。12、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí),為了不虧本,售價(jià)的折扣〔即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)不得超過(guò)d%,則d可以用p表示為。三、解答題〔每小題20分,共60分13、某項(xiàng)工程,如果由甲、乙兩隊(duì)承包,天完成,需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包,天完成,需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包,天完成,需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包,在保證一周完成的前提下,哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？14、如圖,圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB＝CD＝EF,且對(duì)角線AD、BE、CF交于一點(diǎn)Q,設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。求證：〔2求證：15、如果對(duì)一切x的整數(shù)值,x的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c的值都是平方數(shù)〔即整數(shù)的平方。證明：〔12a、2b、c都是整數(shù)；〔2a、b、c都是整數(shù),并且c是平方數(shù)；反過(guò)來(lái),如果〔2成立,是否對(duì)一切的x的整數(shù)值,x的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c的值都是平方數(shù)？20XX"TRULY?信利杯"全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題〔共5小題,每小題6分,滿分30分.以下每道小題均給出了英文代號(hào)的四個(gè)結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的.請(qǐng)將正確結(jié)論的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填,得零分1．若4x－3y－6z=0,x+2y－7z=0<xyz≠0>,則的值等于<>.<A><B><C><D>2．在本埠投寄平信,每封信質(zhì)量不超過(guò)20g時(shí)付郵費(fèi)0.80元,超過(guò)20g而不超過(guò)40g時(shí)付郵費(fèi)1.60元,依次類推,每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元〔信的質(zhì)量在100g以內(nèi)。如果所寄一封信的質(zhì)量為72.5g,那么應(yīng)付郵費(fèi)<>.<A>2.4元<B>2.8元<C>3元<D>3.2元3．如下圖所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=〔.<A>360°<B>450°<C>540°<D>720°〔第〔第3題圖〔第4題圖4．四條線段的長(zhǎng)分別為9,5,x,1〔其中x為正實(shí)數(shù),用它們拼成兩個(gè)直角三角形,且AB與CD是其中的兩條線段〔如上圖,則x可取值的個(gè)數(shù)為〔.<A>2個(gè)<B>3個(gè)<C>4個(gè)<D>6個(gè)5．某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念,攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣〔排數(shù)≥3,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù),這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處,那么,滿足上述要求的排法的方案有<>.<A>1種<B>2種<C>4種<D>0種二、填空題〔共5小題,每小題6分,滿分30分6．已知,那么.7．若實(shí)數(shù)x,y,z滿足,,,則xyz的值為.8．觀察下列圖形：①②③④根據(jù)圖①、②、③的規(guī)律,圖④中三角形的個(gè)數(shù)為.〔第9題圖9．如圖所示,已知電線桿AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD與地面成45o,∠A=60oCD=4m,BC=m,則電線桿AB的長(zhǎng)為_______m.〔第9題圖10．已知二次函數(shù)〔其中a是正整數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔－1,4與點(diǎn)B〔2,1,并且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則b+c的最大值為.三、解答題〔共4題,每小題15分,滿分60分11．如圖所示,已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)P.問(wèn)EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.解：<第11題圖><第11題圖>12．某人租用一輛汽車由A城前往B城,沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間〔單位：小時(shí)如圖所示.若汽車行駛的平均速度為80千米/小時(shí),而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元.試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線〔要有推理過(guò)程,并求出所需費(fèi)用最少為多少元？解：<第12題圖><第12題圖>13B．如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°.〔1當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí),求證：.〔2當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),第〔1小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.〔3當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),第〔1小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.<第13B題圖><第13B題圖>14B．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=2,abc=4.〔1求a,b,c中的最大者的最小值；〔2求的最小值.注：13B和14B相對(duì)于下面的13A和14A是較容易的題.13B和14B與前面的12個(gè)題組成考試卷.后面兩頁(yè)13A和14A兩題可留作考試后的研究題。13A．如圖所示,⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程〔k是整數(shù)的最大整數(shù)根.P是⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PA和割線PBC,其中A為切點(diǎn),點(diǎn)B,C是直線PBC與⊙O的交點(diǎn).若PA,PB,PC的長(zhǎng)都是正整數(shù),且PB的長(zhǎng)不是合數(shù),求的值.解：<第13A題圖><第13A題圖>14A．沿著圓周放著一些數(shù),如果有依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d滿足不等式>0,那么就可以交換b,c的位置,這稱為一次操作.〔1若圓周上依次放著數(shù)1,2,3,4,5,6,問(wèn)：是否能經(jīng)過(guò)有限次操作后,對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d,都有≤0？請(qǐng)說(shuō)明理由.〔2若圓周上從小到大按順時(shí)針?lè)较蛞来畏胖?003個(gè)正整數(shù)1,2,…,2003,問(wèn)：是否能經(jīng)過(guò)有限次操作后,對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d,都有≤0？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1〔220XX"TRULY?信利杯"全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔每小題6分,滿分30分1．D由解得代入即得.2．D因?yàn)?0×3<72.5<20×4,所以根據(jù)題意,可知需付郵費(fèi)0.8×4=3.2〔元.3．C如圖所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°,而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.<第3題圖><第4題圖><第3題圖><第4題圖>4．D顯然AB是四條線段中最長(zhǎng)的,故AB=9或AB=x?！?若AB=9,當(dāng)CD=x時(shí),,；當(dāng)CD=5時(shí),,；當(dāng)CD=1時(shí),,.〔2若AB=x,當(dāng)CD=9時(shí),,；當(dāng)CD=5時(shí),,；當(dāng)CD=1時(shí),,.故x可取值的個(gè)數(shù)為6個(gè).5．B設(shè)最后一排有k個(gè)人,共有n排,那么從后往前各排的人數(shù)分別為k,k+1,k+2,…,k+〔n－1,由題意可知,即.因?yàn)閗,n都是正整數(shù),且n≥3,所以n<2k+〔n－1,且n與2k+〔n－1的奇偶性不同.將200分解質(zhì)因數(shù),可知n=5或n=8.當(dāng)n=5時(shí),k=18；當(dāng)n=8時(shí),k=9.共有兩種不同方案.6．.＝。7．1.因?yàn)?所以,解得.從而,.于是.8．161.根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律,可知圖④中三角形的個(gè)數(shù)為1+4+3×4++=1+4+12+36+108=161〔個(gè).9．.如圖,延長(zhǎng)AD交地面于E,過(guò)D作DF⊥CE于F.<第9題圖>因?yàn)椤螪CF=45°,∠A=60°,CD=4m,所以CF=DF=m,EF=DFtan60°=〔m.<第9題圖>因?yàn)?所以〔m.10.－4.由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A〔－1,4,點(diǎn)B〔2,1,所以解得因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以,,即,由于a是正整數(shù),故,所以≥2.又因?yàn)閎+c=－3a+2≤－4,且當(dāng)a=2,b=－3,c=－1時(shí),滿足題意,故b+c的最大值為－4.三、解答題〔共4題,每小題15分,滿分60分11．如圖所示,已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,OC平行于弦AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)P.問(wèn)EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.解：DP=PE.證明如下：因?yàn)锳B是⊙O的直徑,BC是切線,所以AB⊥BC.由Rt△AEP∽R(shí)t△ABC,得<第11題圖>.①……<第11題圖>又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽R(shí)t△OBC.故②……〔12分由①,②得ED=2EP.所以DP=PE.……〔15分12．某人租用一輛汽車由A城前往B城,沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間〔單位：小時(shí)如圖所示.若汽車行駛的平均速度為80千米/小時(shí),而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元.試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線〔要有推理過(guò)程,并求出所需費(fèi)用最少為多少元？解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類：〔1從A城出發(fā)到達(dá)B城,經(jīng)過(guò)O城.因?yàn)閺腁城到O城所需最短時(shí)間為26小時(shí),從O城到B城所需最短時(shí)間為22小時(shí).所以,此類路線所需最短時(shí)間為26+22=48〔小時(shí).……〔5分〔2從A城出發(fā)到達(dá)B城,不經(jīng)過(guò)O城.這時(shí)從A城到達(dá)B城,必定經(jīng)過(guò)C,D,E城或F,G,H城,所需時(shí)間至少為49小時(shí).……〔10分綜上,從A城到達(dá)B城所需的最短時(shí)間為48小時(shí),所走的路線為：A→F→O→E→B.……〔12分所需的費(fèi)用最少為：80×48×1.2=4608〔元…〔14分答：此人從A城到B城最短路線是A→F→O→E→B,所需的費(fèi)用最少為4608元……〔15分<<第12題圖>13B．如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°.〔1當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí),求證：.〔2當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),第〔1小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.〔3當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),第〔1小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1作DE⊥BC,垂足為E.由勾股定理得所以.因?yàn)镈E∥AC,所以.故.……〔10分〔2當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),第〔1小題中的等式仍然成立。此時(shí)有AD=0,CD=AC,BD=AB.所以,.從而第〔1小題中的等式成立.……〔13分〔3當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí),第〔1小題中的等式不成立.作DE⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則而,所以.……〔15分〖說(shuō)明〗第〔3小題只要回答等式不成立即可〔不成立的理由表述不甚清者不扣分.14B．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足：a+b+c=2,abc=4.〔1求a,b,c中的最大者的最小值；〔2求的最小值.解：〔1不妨設(shè)a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由題設(shè)知a>0,且b+c=2-a,.于是b,c是一元二次方程的兩實(shí)根,≥0,≥0,≥0.所以a≥4.……〔8分又當(dāng)a=4,b=c=-1時(shí),滿足題意.故a,b,c中最大者的最小值為4.……〔10分〔2因?yàn)閍bc>0,所以a,b,c為全大于0或一正二負(fù).若a,b,c均大于0,則由〔1知,a,b,c中的最大者不小于4,這與a+b+c=2矛盾.2若a,b,c為或一正二負(fù),設(shè)a>0,b<0,c<0,則,由〔1知a≥4,故2a-2≥6,當(dāng)a=4,b=c=-1時(shí),滿足題設(shè)條件且使得不等式等號(hào)成立。故的最小值為6.……〔15分13A．如圖所示,⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程〔k是整數(shù)的最大整數(shù)根.P是⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PA和割線PBC,其中A為切點(diǎn),點(diǎn)B,C是直線PBC與⊙O的交點(diǎn).若PA,PB,PC的長(zhǎng)都是正整數(shù),且PB的長(zhǎng)不是合數(shù),求的值.解：設(shè)方程的兩個(gè)根為,,≤.由根與系數(shù)的關(guān)系得<第13A圖>,<第13A圖>.②由題設(shè)及①知,,都是整數(shù).從①,②消去k,得,.由上式知,,且當(dāng)k=0時(shí),,故最大的整數(shù)根為4.于是⊙O的直徑為4,所以BC≤4.因?yàn)锽C=PC－PB為正整數(shù),所以BC=1,2,3或4.……〔6分連結(jié)AB,AC,因?yàn)椤螾AB=∠PCA,所以PAB∽△PCA,。故③……〔10分〔1當(dāng)BC=1時(shí),由③得,,于是,矛盾！〔2當(dāng)BC=2時(shí),由③得,,于是,矛盾！〔3當(dāng)BC=3時(shí),由③得,,于是,由于PB不是合數(shù),結(jié)合,故只可能解得此時(shí).〔4當(dāng)BC=4,由③得,,于是,矛盾.綜上所述.……〔15分14A．沿著圓周放著一些數(shù),如果有依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d滿足不等式>0,那么就可以交換b,c的位置,這稱為一次操作.〔1若圓周上依次放著數(shù)1,2,3,4,5,6,問(wèn)：是否能經(jīng)過(guò)有限次操作后,對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d,都有≤0？請(qǐng)說(shuō)明理由.〔2若圓周上從小到大按順時(shí)針?lè)较蛞来畏胖?003個(gè)正整數(shù)1,2,…,2003,問(wèn)：是否能經(jīng)過(guò)有限次操作后,對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d,都有≤0？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：〔1答案是肯定的.具體操作如下：<1－4><2－3><1－4><2－3>>0交換2,3<1－2><3－4>>0交換3,4<3－6><2－5>>0交換2,5<3－5><2－4>>0交換2,4……〔5分〔2答案是肯定的.考慮這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P.……〔7分開始時(shí),=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,經(jīng)過(guò)k〔k≥0次操作后,這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為,此時(shí)若圓周上依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d滿足不等式>0,即ab+cd>ac+bd,交換b,c的位置后,這2003個(gè)數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為,有.所以,即每一次操作,相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少1,由于相鄰兩數(shù)乘積總大于0,故經(jīng)過(guò)有限次操作后,對(duì)任意依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d,一定有≤0.…20XX"TRULY?信利杯"全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔共5小題,每小題6分,滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填得零分1.已知實(shí)數(shù),且滿足,.則的值為〔.〔A23〔B〔C〔D答：選〔B∵a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根,整理此方程,得,∵,∴,.故a、b均為負(fù)數(shù).因此.2.若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為、,斜邊長(zhǎng)為,斜邊上的高為,則有〔.〔A〔B〔C〔D答：選〔C∵,,∴,；因此,結(jié)論〔A、〔D顯然不正確.設(shè)斜邊為c,則有,,即有,因此,結(jié)論〔B也不正確.由化簡(jiǎn)整理后,得,因此結(jié)論〔C是正確的.3．一條拋物線的頂點(diǎn)為〔4,,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù),則a、b、c中為正數(shù)的〔.〔A只有〔B只有〔C只有〔D只有和答：選〔A由頂點(diǎn)為〔4,,拋物線交x軸于兩點(diǎn),知a>0.設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,,即為方程的兩個(gè)根.由題設(shè),知,所以.根據(jù)對(duì)稱軸x=4,即有,知b<0.故知結(jié)論〔A是正確的.4．如圖所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距離之比為1:2.若△ABC的面積為32,△CDE的面積為2,則△CFG的面積S等于〔.〔A6〔B8〔C10〔D12〔第4題圖答：選〔B〔第4題圖由DE∥AB∥FG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以,又由題設(shè)知,所以,,故,于是,.因此,結(jié)論〔B是正確的.5．如果x和y是非零實(shí)數(shù),使得和,那么x+y等于〔.〔A3〔B〔C〔D答：選〔D將代入,得.〔1當(dāng)x>0時(shí),,方程無(wú)實(shí)根；〔2當(dāng)x<0時(shí),,得方程解得,正根舍去,從而.于是.故.因此,結(jié)論〔D是在正確的.二、填空題〔共5小題,每小題6分,滿分30分6．如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,,則〔度.答：°解：設(shè),由AB=AC知,〔第6題圖,〔第6題圖由AD=AE知,,所以.7．據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計(jì),兩個(gè)城市之間每天的電話通話次數(shù)T與這兩個(gè)城市的人口數(shù)m、n〔單位：萬(wàn)人以及兩城市間的距離d〔單位：km有的關(guān)系<k為常數(shù)>.現(xiàn)測(cè)得A、B、C三個(gè)城市的人口及它們之間的距離如圖所示,且已知A、B兩個(gè)城市間每天的電話通話次數(shù)為t,那么B、C兩個(gè)城市間每天的電話通話次數(shù)為次〔用t表示.答：解：據(jù)題意,有,∴.〔第7題圖因此,B、C兩個(gè)城市間每天的電話通話次數(shù)為〔第7題圖.8．已知實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足,,則.答：解：由,得,∵,∴.因而,.9．如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC<BC>AD>,,BC=CD=12,,若AE=10,則CE的長(zhǎng)為.答：4或6〔第9題圖解：延長(zhǎng)DA至M,使BM⊥BE.過(guò)B作BG⊥AM,G為垂足.易知四邊形BCDG為正方形,所以BC=BG.又,〔第9題圖∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE,,∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10.設(shè)CE=x,則AG=,AD=,DE=.在Rt△ADE中,,∴,即,解之,得,.故CE的長(zhǎng)為4或6.10．實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,則z的最大值是.答：解：∵,,∴x、y是關(guān)于t的一元二次方程的兩實(shí)根.∵,即,.∴,當(dāng)時(shí),.故z的最大值為.三、解答題〔共4題,每小題15分,滿分60分11．通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究,專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的,講課開始時(shí),學(xué)生的興趣激增,中間有一段時(shí)間,學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài),隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x〔分鐘變化的函數(shù)圖象如圖所示〔y越大表示學(xué)生注意力越集中.當(dāng)時(shí),圖象是拋物線的一部分,當(dāng)和時(shí),圖象是線段.〔1當(dāng)時(shí),求注意力指標(biāo)數(shù)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；〔2一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題需要講解24分鐘.問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排,使學(xué)生在聽這道題時(shí),注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36.解：〔1當(dāng)時(shí),設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為,由于它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔0,20,〔5,39,〔10,48,所以〔第11〔A題圖解得,,,.〔第11〔A題圖所以,.…〔5分〔2當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),令y=36,得,解得x=4,〔舍去；當(dāng)時(shí),令y=36,得,解得.……〔10分因?yàn)?所以,老師可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才?在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí),講授完這道競(jìng)賽題.……〔15分12．已知a,b是實(shí)數(shù),關(guān)于x,y的方程組有整數(shù)解,求a,b滿足的關(guān)系式.解：將代入,消去a、b,得,………〔5分.若x+1=0,即,則上式左邊為0,右邊為不可能.所以x+1≠0,于是.因?yàn)閤、y都是整數(shù),所以,即或0,進(jìn)而y=8或0.故或………〔10分當(dāng)時(shí),代入得,；當(dāng)時(shí),代入得,.綜上所述,a、b滿足關(guān)系式是,或者,a是任意實(shí)數(shù).………〔15分13．D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn),使得AB=3AD,P是△ABC外接圓上一點(diǎn),使得,求的值.解：連結(jié)AP,則,所以,△APB∽△ADP,…………〔5分∴,所以,∴,…………〔10分〔第13〔A題圖所以.…………〔第13〔A題圖14．已知,,,且,求的最小值.〔第14〔A題圖解：令,由,,,判別式,所以這個(gè)二次函數(shù)的圖象是一條開口向下的拋物線,且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,因?yàn)?不妨設(shè),則,對(duì)稱軸,于是〔第14〔A題圖,………………〔5分所以,…〔10分故,當(dāng),b=0,c=1時(shí),等號(hào)成立.所以,的最小值為4.………〔15分20XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷題號(hào)一二三總分1~56~1011121314得分一、選擇題<滿分30分>1.如圖a,ABCD是一矩形紙片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一點(diǎn),且AE=6cm,操作：⑴將AB向AE折過(guò)去,使AB與AE重合,得折痕AF,如圖b；⑵將△AFB以BF為折痕向右折過(guò)去,得圖c,則△GFC的面積為<>A.2B.3C.4D.52.若M=3x2－8xy＋9y2－4x＋6y＋13<x,y是實(shí)數(shù)>,則M的值一定是<>A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.整數(shù)3.已知點(diǎn)I是銳角△ABC的內(nèi)心,A1,B1,C1分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)。若點(diǎn)B在△A1B1C1的外接圓上,則∠ABC等于<>A.30°B.45°C.60°D.90°4.設(shè),則與A最接近的正整數(shù)是<>A.18B.20C.24D.255.在自變量x的取值范圍59≤x≤60內(nèi),二次函數(shù)的函數(shù)值中整數(shù)的個(gè)數(shù)是<>A.59B.120C.118D.60二、填空題<滿分30分>6.在一個(gè)圓形的時(shí)鐘的表面,OA表示秒針,OB表示分針<O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心>。若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整,則經(jīng)過(guò)_____秒后,△OAB的面積第一次達(dá)到最大。7.在直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B的兩點(diǎn)。若A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為OA,OB,且滿足,則m=_____.8.有兩幅撲克牌,每幅的排列順序是：第一張是大王,第二張是小王,然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列,每種花色的牌又按A,2,3,…,J,Q,K的順序排列。某人把按上述排列的兩幅撲克牌上下疊放在一起,然后從一到下把第一張丟去,把第二張放在最底層,再把第三張丟去,把第四張放在底層,……如此下去,直至最后只剩下一張牌,則所剩的這張牌是_________9.已知D,E分別是△ABC的邊BC,CA上的點(diǎn),且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。連結(jié)AD和BE,它們交于點(diǎn)P。過(guò)P分別作PQ∥CA,PR∥CB,它們分別與邊AB交于點(diǎn)Q,R,則△PQR的面積與△ABC的面積的比是________10.已知x1,x2,x3,…x19都是正整數(shù),且x1+x2+x3+…+x19=59,x12+x22+x32+…+x192的最大值為A,最小值為B,則A+B的值等于_________。三、解答題、<滿分60分>11.8人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站,每輛車乘4人<不包括司機(jī)>。其中一輛小汽車在距離火車站15km地方出現(xiàn)故障,此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有42分鐘。這時(shí)惟一可用的交通工具是另一輛小汽車,已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人,且這輛車的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。試設(shè)計(jì)兩種方案,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這8個(gè)人能夠在停止檢票前趕到火車站。12.如圖,半徑不等的兩圓相交于A、B兩點(diǎn),線段CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且分別交兩圓于C、D兩點(diǎn)。連結(jié)BC、BD,設(shè)P,Q,K分別是BC,BD,CD的中點(diǎn)。M,N分別是弧BC和弧BD的中點(diǎn)。求證：<1><2>①△KPM∽△NQK13..已知p,q都是質(zhì)數(shù),且使得關(guān)于x的二次方程x2－<8p－10q>x＋5pq=0至少有一個(gè)正整數(shù)根,求所有的質(zhì)數(shù)對(duì)<p,q>.14.從1,2….,205個(gè)共205個(gè)正整數(shù)中,最多能取出多少個(gè)數(shù)。使得對(duì)于取出來(lái)的數(shù)中的任意三個(gè)數(shù)a,b,c<a,<b<c>,都有ab≠c.20XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題考試時(shí)間20XX4月2日上午9∶30－11∶30滿分120分一、選擇題〔共5小題,每小題6分,滿分30分。以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里。不填、多填或錯(cuò)填均得0分1．在高速公路上,從3千米處開始,每隔4千米經(jīng)過(guò)一個(gè)限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開始,每隔9千米經(jīng)過(guò)一個(gè)速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施,那么第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是〔〔A36〔B37〔C55〔D902．已知,,且=8,則a的值等于〔〔A－5〔B5〔C－9〔D93．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在拋物線上,并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h,則〔〔Ah<1〔Bh=1〔C1<h<2〔Dh>24．一個(gè)正方形紙片,用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分,再沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一,還是沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……如此下去,最后得到了34個(gè)六十二邊形和一些多邊形紙片,則至少要剪的刀數(shù)是〔〔A2004〔B2005〔C2006〔D2007〔第5題圖ABCDO〔第5題圖ABCDOQP〔A〔B〔C〔D二、填空題〔共5小題,每小題6分,滿分30分〔第7題圖A〔第7題圖ABCDGFE7．如圖,面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù),且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除,則的值等于．8．正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場(chǎng)行走,甲的速度為50米/分,乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過(guò)分鐘,甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．9．已知0<a<1,且滿足,則的值等于．<表示不超過(guò)x的最大整數(shù)>10．小明家電話號(hào)碼原為六位數(shù),第一次升位是在首位號(hào)碼和第二位號(hào)碼之間加上數(shù)字8,成為一個(gè)七位數(shù)的電話號(hào)碼；第二次升位是在首位號(hào)碼前加上數(shù)字2,成為一個(gè)八位數(shù)的電話號(hào)碼．小明發(fā)現(xiàn),他家兩次升位后的電話號(hào)碼的八位數(shù),恰是原來(lái)電話號(hào)碼的六位數(shù)的81倍,則小明家原來(lái)的電話號(hào)碼是．三、解答題〔共4題,每小題15分,滿分60分11．已知,,為互質(zhì)的正整數(shù)〔即,是正整數(shù),且它們的最大公約數(shù)為1,且≤8,．試寫出一個(gè)滿足條件的x；求所有滿足條件的x．12．設(shè),,為互不相等的實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式①②求a的取值范圍．〔第13題ABCOPEK13．如圖,點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B．過(guò)點(diǎn)A作PB的平行線,交⊙〔第13題ABCOPEK14．10個(gè)學(xué)生參加n個(gè)課外小組,每一個(gè)小組至多5個(gè)人,每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少參加某一個(gè)小組,任意兩個(gè)課外小組,至少可以找到兩個(gè)學(xué)生,他們都不在這兩個(gè)課外小組中．求n的最小值．參考答案一、選擇題〔共5小題,每小題6分,滿分30分。以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里。不填、多填或錯(cuò)填均得0分1．在高速公路上,從3千米處開始,每隔4千米經(jīng)過(guò)一個(gè)限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開始,每隔9千米經(jīng)過(guò)一個(gè)速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施,那么第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是〔〔A36〔B37〔C55〔D90答：C．解：因?yàn)?和9的最小公倍數(shù)為36,19＋36=55,所以第二次同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處．故選C．2．已知,,且=8,則a的值等于〔〔A－5〔B5〔C－9〔D9答：C．解：由已知可得,．又=8,所以解得a=－9故選C．3．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在拋物線上,并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h,則〔〔Ah<1〔Bh=1〔C1<h<2〔Dh>2答：B．解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔a,a2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔c,c2〔|c|<|a|,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－a,a2,由勾股定理,得,,所以．由于,所以a2－c2=1,故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2－c2=1故選B．4．一個(gè)正方形紙片,用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分,再沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一,還是沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……如此下去,最后得到了34個(gè)六十二邊形和一些多邊形紙片,則至少要剪的刀數(shù)是〔〔A2004〔B2005〔C2006〔D2007答：B．解：根據(jù)題意,用剪刀沿不過(guò)頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時(shí),每剪開一次,使得各部分的內(nèi)角和增加360°．于是,剪過(guò)k次后,可得<k＋1>個(gè)多邊形,這些多邊形的內(nèi)角和為<k＋1>×360°．因?yàn)檫@<k＋1>個(gè)多邊形中有34個(gè)六十二邊形,它們的內(nèi)角和為34×<62－2>×180°=34×60×180°,其余多邊形有<k＋1>－34=k－33<個(gè)>,而這些多邊形的內(nèi)角和不少于<k－33>×180°．所以<k＋1>×360°≥34×60×180°＋<k－33>×180°,解得k≥2005．當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時(shí),可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下1個(gè)三角形,得到1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形；再在五邊形上剪下1個(gè)三角形,得到2個(gè)三角形和1個(gè)六邊形……如此下去,剪了58刀后,得到58個(gè)三角形和1個(gè)六十二邊形．再取33個(gè)三角形,在每個(gè)三角形上剪一刀,又可得到33個(gè)三角形和33個(gè)四邊形,對(duì)這33個(gè)四邊形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34個(gè)六十二邊形和33×58個(gè)三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005〔刀．故選B．〔第5題圖ABCDO〔第5題圖ABCDOQP〔A〔B〔C〔D答：D．〔第5題圖ABC〔第5題圖ABCDOQPQA=r－m．在⊙O中,根據(jù)相交弦定理,得QA·QC=QP·QD．即<r－m><r＋m>=m·QD,所以QD=．連結(jié)DO,由勾股定理,得QD2=DO2＋QO2,即,解得所以,故選D．二、填空題〔共5小題,每小題6分,滿分30分6．已知a,b,c為整數(shù),且a＋b=2006,c－a=2005．若a<b,則a＋b＋c的最大值為．答：5013．解：由,,得．因?yàn)?a<b,a為整數(shù),所以,a的最大值為1002．〔第7題圖A〔第7題圖ABCDGFE7．如圖,面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù),且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除,則的值等于．答：．解：設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m,則,由△ADG∽△ABC,可得,解得于是,由題意,,,,所以．8．正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場(chǎng)行走,甲的速度為50米/分,乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過(guò)分鐘,甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．答：104．解：設(shè)甲走完x條邊時(shí),甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上,此時(shí)甲走了400x米,乙走了46×=368x米．于是368<x－1>＋800－400<x－1>>400,所以,12.5≤x<13.5．故x=13,此時(shí)．9．已知0<a<1,且滿足,則的值等于．<表示不超過(guò)x的最大整數(shù)>答：6．解：因?yàn)?<,所以,,…,等于0或1．由題設(shè)知,其中有18個(gè)等于1,所以=0,=1,所以,1≤＜2．故18≤30a＜19,于是6≤10a＜,所以=6．10．小明家電話號(hào)碼原為六位數(shù),第一次升位是在首位號(hào)碼和第二位號(hào)碼之間加上數(shù)字8,成為一個(gè)七位數(shù)的電話號(hào)碼；第二次升位是在首位號(hào)碼前加上數(shù)字2,成為一個(gè)八位數(shù)的電話號(hào)碼．小明發(fā)現(xiàn),他家兩次升位后的電話號(hào)碼的八位數(shù),恰是原來(lái)電話號(hào)碼的六位數(shù)的81倍,則小明家原來(lái)的電話號(hào)碼是．答：282500．解：設(shè)原來(lái)電話號(hào)碼的六位數(shù)為,則經(jīng)過(guò)兩次升位后電話號(hào)碼的八位數(shù)為．根據(jù)題意,有81×=．記,于是,解得x=1250×<208－71a>．因?yàn)?≤x＜,所以0≤1250×<208－71a>＜,故≤．因?yàn)閍為整數(shù),所以a=2．于是x=1250×<208－71×2>=82500．所以,小明家原來(lái)的電話號(hào)碼為282500．三、解答題〔共4題,每小題15分,滿分60分11．已知,,為互質(zhì)的正整數(shù)〔即,是正整數(shù),且它們的最大公約數(shù)為1,且≤8,．〔1試寫出一個(gè)滿足條件的x；〔2求所有滿足條件的x．解：〔1滿足條件．……………5分〔2因?yàn)?,為互質(zhì)的正整數(shù),且≤8,所以,即．當(dāng)a=1時(shí),,這樣的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=2時(shí),,故=1,此時(shí)．當(dāng)a=3時(shí),,故=2,此時(shí)．當(dāng)a=4時(shí),,與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=5時(shí),,故=3,此時(shí)．當(dāng)a=6時(shí),,與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=7時(shí),,故=3,4,5此時(shí),,．當(dāng)a=8時(shí),,故=5,此時(shí)所以,滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為,,,,,,．………………15分12．設(shè),,為互不相等的實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式①②求a的取值范圍．解法一：由①－2×②得,所以a>－1．當(dāng)a>－1時(shí),=．………………10分又當(dāng)時(shí),由①,②得,③④將④兩邊平方,結(jié)合③得化簡(jiǎn)得,故,解得,或．所以,a的取值范圍為a>－1且,．………15分解法二：因?yàn)?,所以,所以．又,所以,為一元二次方程⑤的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,故,所以a>－1．當(dāng)a>－1時(shí),=．………………10分另外,當(dāng)時(shí),由⑤式有,即或,解得,或．當(dāng)時(shí),同理可得或．所以,a的取值范圍為a>－1且,．………15分〔第13題ABCOPEK13．如圖,點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B．過(guò)點(diǎn)A作PB的平行線,交⊙〔第13題ABCOPEK證明：因?yàn)锳C∥PB,所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線,所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是△KPE∽△KAP,所以,即．由切割線定理得所以．…………10分因?yàn)锳C∥PB,△KPE∽△ACE,于是故,即PE·AC=CE·KB．………………15分14．10個(gè)學(xué)生參加n個(gè)課外小組,每一個(gè)小組至多5個(gè)人,每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少參加某一個(gè)小組,任意兩個(gè)課外小組,至少可以找到兩個(gè)學(xué)生,他們都不在這兩個(gè)課外小組中．求n的最小值．解：設(shè)10個(gè)學(xué)生為,,…,,n個(gè)課外小組,,…,．首先,每個(gè)學(xué)生至少參加兩個(gè)課外小組．否則,若有一個(gè)學(xué)生只參加一個(gè)課外小組,設(shè)這個(gè)學(xué)生為,由于每?jī)蓚€(gè)學(xué)生至少在某一個(gè)小組內(nèi)出現(xiàn)過(guò),所以其它9個(gè)學(xué)生都與他在同一組出現(xiàn),于是這一組就有10個(gè)人了,矛盾．………………5分若有一學(xué)生恰好參加兩個(gè)課外小組,不妨設(shè)恰好參加,,由題設(shè),對(duì)于這兩組,至少有兩個(gè)學(xué)生,他們沒(méi)有參加這兩組,于是他們與沒(méi)有同過(guò)組,矛盾．所以,每一個(gè)學(xué)生至少參加三個(gè)課外小組．于是n個(gè)課外小組,,…,的人數(shù)之和不小于3×10=30．另一方面,每一課外小組的人數(shù)不超過(guò)5,所以n個(gè)課外小組,,…,的人數(shù)不超過(guò)5n,故5n≥30,所以n≥6．……………10分下面構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明n=6是可以的．,,,,,．容易驗(yàn)證,這樣的6個(gè)課外小組滿足題設(shè)條件．所以,n的最小值為6．……………15分中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)"《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯"20XX全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題〔共5小題,每小題6分,滿分30分.以下每道小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里.不填、多填或錯(cuò)填得零分1．方程組的解的個(gè)數(shù)為〔．〔A1〔B2〔C3〔D4答：〔A．解：若≥0,則于是,顯然不可能．若,則于是,解得,進(jìn)而求得．所以,原方程組的解為只有1個(gè)解．故選〔A．2．口袋中有20個(gè)球,其中白球9個(gè),紅球5個(gè),黑球6個(gè)．現(xiàn)從中任取10個(gè)球,使得白球不少于2個(gè)但不多于8個(gè),紅球不少于2個(gè),黑球不多于3個(gè),那么上述取法的種數(shù)是〔．〔A14〔B16〔C18〔D20答：〔B．解：用枚舉法：紅球個(gè)數(shù)白球個(gè)數(shù)黑球個(gè)數(shù)種數(shù)52,3,4,53,2,1,0443,4,5,63,2,1,0434,5,6,73,2,1,0425,6,7,83,2,1,04所以,共16種．故選〔B．3．已知△為銳角三角形,⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,且與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E．若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等,則⊙一定經(jīng)過(guò)△的〔．〔A內(nèi)心〔B外心〔C重心〔D垂心答：〔B．解：如圖,連接BE,因?yàn)椤鳛殇J角三角形,所以,均為銳角．又因?yàn)椤训陌霃脚c△的外接圓的半徑相等,且為兩圓的公共弦,所以．于是,．〔第3題答案圖若△的外心為,則,所以,⊙一定過(guò)△的外心．〔第3題答案圖故選〔B．4．已知三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,,恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根,則的值為〔．〔A0〔B1〔C2〔D3答：〔D．解：設(shè)是它們的一個(gè)公共實(shí)數(shù)根,則,,．把上面三個(gè)式子相加,并整理得．因?yàn)?所以．于是．故選〔D．5．方程的整數(shù)解〔x,y的個(gè)數(shù)是〔．〔A0〔B1〔C3〔D無(wú)窮多答：〔A．解：原方程可化為,因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù),所以上式左邊是3的倍數(shù),而右邊除以3余2,這是不可能的．所以,原方程無(wú)整數(shù)解．故選<A>.二、填空題〔共5小題,每小題6