高中三年級數(shù)學下期中第一次模擬試題(含答案)

高中三年級數(shù)學下期中第一次模擬試題 (含答案)一、選擇題等差數(shù)列（ ）

an中，已知

0，

a9 0，則

an的前n項和

Sn的最小值為已知在 中，，，分別為角，，的對邊， 為最小角，且 ， ，，則 的面積等于（ ）A． 正項等比數(shù)列 中， 的等比中項為 ，令 ，則（ ）A．6 16 32 64VABC定是( )

C的對邊分別為a，bc

C a b，則2 2a

VABC

的形狀一A．直角三角形 等邊三角形 等腰三角形 等腰直角三角形

an是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

bn是以1為首項，2為公比的等12比數(shù)列，則ab 12

10 （）A．1033 1034 2057 2058已知x，y均為正實數(shù)，且 1 1 1，則x y的最小值為（ ）x 2 y 2 6A．20 24 28 32在等差數(shù)列｛an｝中，（ ）

a28

a29

a30 165，則此數(shù)列前30項和等于A．810 840 870 900y?0若不等式組

2x x

表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù) a的取值范圍是（ ）A． 43

x a

B．0,11,43

D．0,1U 4,3已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且

a5a6

a4a7 18，則log3log3a2 log3a3 log3（）A．10121 log35D．2log35河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處 浮雕像共7層，每層的數(shù)量是下層的 2倍，總共有6個浮雕像，這些浮雕像構成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上的數(shù)量構成一個數(shù)列

log

a3

的值為（ ）A．8 10 12 16

x,y滿足

x y 0x y 4 0，則3x y的最小值為（ ）x 4A．4 8 12 16已知銳角三角形的邊長分別為 a，則a的取值范圍是（ ）A．8,10 2 2, 10 2 2,10 10,8二、填空題要使關于x的方程x2值范圍是 ．

a2 1x a

2 0的一根比1大且另一根比 1小，則a的取3an 3 *數(shù)列

滿足：

a（a R且為常數(shù)），

an1

4 an

n N ，當3a 100時，則數(shù)列

an100

為 .xy滿足約束條件

x y 1x y 3，則z x

2y的最大值是 ．

f(x)

x3 lg

xyx x2

001，則對任意實數(shù)

a,b，b

0“f(a)

f(b) 0的 條件．（填“充分不必要” .“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）已知等差數(shù)列 .

an 的前n

a8aSn有最大值，且a7

1，則當

0n的最小值為已知數(shù)列

an

1，

1 3an

，則數(shù)列

an的通項公式為 ．2已知數(shù)列2

an的前n項和為

1，且

an 1（ 為常數(shù)）．若數(shù)列 滿足anbn

n 9n

201

，則滿足條件的n的取值集合為 ．不等式2x 1 x 1的解集是 ．三、解答題己知數(shù)列 的前n項和為 ，且 ．求數(shù)列 的通項公式；設 ，求數(shù)列 的前n項和 ．已知正項等比數(shù)列

an

6

14．求數(shù)列

an的通項公式；1

log2an，已知數(shù)列

bnbn1

n

Tn證明：1．已知在 ABC中，角A，B，C的對邊分別為 a，b，c，bsinBtanC bcosB asinAtanC acosA．求證：A B；c

，

3，求ABC的周長．4已知在等比數(shù)列{a1

a2＝

a4a5＝128{bn滿足b1＝1{bn

an}為等差數(shù)列．2求數(shù)列{a和{b的通項公式；求數(shù)列{b的前n項和

an 為奇數(shù) *已知數(shù)列

an

a1=1，an1

2an為偶數(shù)

n N

a2n1．證明：數(shù)列

為等比數(shù)列；求數(shù)列

3n

n

Sn．等差數(shù)列

an

a2 4，a4

15．求數(shù)列

an 的通項公式；

2an2

n，求的值．***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題C解析：C【解析】【分析】先通過數(shù)列性質(zhì)判斷【詳解】

0，再通過數(shù)列的正負判斷

Sn的最小值.∵等差數(shù)列

a3

a9 0，∴a3

2a6

0

a6 0.又0，∴

的n

Sn的最小值為

S6.故答案選C【點睛】本題考查了數(shù)列和的最小值，將2．CC【解析】【分析】

的最小值轉化為

的正負關系是解題的關鍵 .根據(jù)同角三角函數(shù)求出 ；利用余弦定理構造關于 的方程解出 ，再根據(jù)三角形面積式求得結果.【詳解】由余弦定理得： ，即解得： 為最小角本題正確選項：【點睛】本題考查余弦定理解三角形、三角形面積公式的應用、同角三角函數(shù)關系，關鍵是能夠用余弦定理構造關于邊角關系的方程，從而求得邊長 .3．DD【解析】因為，即，又本題選擇D選項.，所以.4．AA【解析】【分析】利用平方化倍角公式和邊化角公式化簡

C a 2

Acos

=

B，結合三角形內(nèi)角和定理化簡得到 cosAsinC【詳解】

0

VABC

的形狀．QC2

a+b2a1+cosC=sinA+sinB化簡得sin

Acos

=sinB2 2sinAQB=p-(A+C)sinAcosC

=sin(A+C)即cosAsinC 0QsinCcosA

00即A=900VABC是直角三角形故選A【點睛】本題考查了平方化倍角公式和正弦定理的邊化角公式，在化簡

C a 2 2a

時，將邊化為角，使邊角混雜變統(tǒng)一，還有三角形內(nèi)角和定理的運用，這一點往往容易忽略．5．AA【解析】【分析】【詳解】首先根據(jù)數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)ab1+ab2+?+ab10=1+2+23+25+?+29+10進行求和．解：∵數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴an=2+（n-1），∵{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴b=121，依題意有：ab1+ab2++ab10=1+2+23+25++29+10=1033，故選A．6．AA【解析】分析：由已知條件構造基本不等式模型

y x 2

2 4即可得出.詳解：Qx,y均為正實數(shù)，且 1 1 1，則6 1 1 1x y (

2) (

x 2) 4

y 2 6

x 2 y 26( 1x

1 )[(y 2

2) (

2)] 46(2號.

y 2 xx 2 y

2) 4 6(2 2 y2 x

2 x 2) 4 2 y 2

當且僅當x y

10時取等x y的最小值為20.故選A.點睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)， 一正、二定、三相等”.7．BB【解析】數(shù)列前30項和可看作每三項一組，共十組的和，顯然這十組依次成等差數(shù)列，因此和為10(3 165) 28．DD【解析】【分析】

，選B.要確定不等式組

y?02x x

表示的平面區(qū)域是否一個三角形，我們可以先畫出2x

x a2，再對a值進行分類討論，找出滿足條件的實數(shù) a的取值范圍．x 【詳解】不等式組

2x x

2表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．x y由2x y

得A 2,2 ，2 33由y 0 得

．2x y若原不等式組

2y?02x x

2表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線 x y a中a的取值范x a4圍是a

0,1U ,3故選：D【點睛】平面區(qū)域的形狀問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區(qū)域，然后結合分類討論的思想，針對圖象分析滿足條件的參數(shù)的取值范圍．9．AA【解析】【分析】利用對數(shù)運算合并，再利用等比數(shù)列【詳解】

an 的性質(zhì)求解。因為log3a1

log3

log3

log3a10=log3

=log

5,又a7

a5a6

，由a4a518得9，所以5log3a1【點睛】

log3a2

log3a3Llog3log39=10，故選A。本題考查了對數(shù)運算及利用等比數(shù)列

an的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)：當n p m,

p,q

)時，aman

apaq，特別地m n10．C

2k,(m,k

2，套用性質(zhì)得解，運算較大。C【解析】【分析】數(shù)列an

，是等比數(shù)列，公比為 2，前7項和為1016，由此可求得首項

a1，得通項公式，從而得結論．【詳解】Q

a1，依題有：公比q

2,n

7,

a 1 271*1 21*

1016，解得8，則an

n1 n28 2 2 17,n N ，

25,a

27，從而5a a 275

212, log a a

log 212

12，故選C．3 5 2 3 5 2【點睛】本題考查等比數(shù)列的應用．數(shù)列應用題求解時，關鍵是根據(jù)題設抽象出數(shù)列的條件，然后利用數(shù)列的知識求解．11．AA【解析】【分析】作出可行域，變形目標函數(shù)并平移直線【詳解】

y 3x，結合圖象，可得最值．作出y滿足

x y 0x y 4 0所對應的可行域（如圖

VABC），變形目標函數(shù)可得

x 4y 3x z，平移直線y

3x可知，當直線經(jīng)過點

A(2,2)時，截距 z取得最大值，此時目標函數(shù)z取得最小值3 2 2 4.故選：A.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃，準確作圖是解決問題的關鍵，屬中檔題．12．BB【解析】【分析】根據(jù)大邊對大角定理知邊長為 1所對的角不是最大角，只需對其他兩條邊所對的利用余定理，即這兩角的余弦值為正，可求出 a的取值范圍．【詳解】由題意知，邊長為1所對的角不是最大角，則邊長為 3或a所對的角為最大角，只需這兩個角為銳角即可，則這兩個角的余弦值為正數(shù)，于此得到

a2

32a2，由于a

0，解得2

，故選C．2a2a10本題考查余弦定理的應用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來決定，并利用余弦定理結合余弦值的符號來進行轉化，其關系如下：A為銳角 cosA二、填空題

0；A為直角 cosA

0；A為鈍角 cosA 0.【解析】【分析】設要使得關于的方程的一根筆譯1小轉化為即可求解【詳解】由題意設要使得關于的方程的一根筆譯11根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)則滿足即即解得即實數(shù)的取值范圍是【點睛解析：2 a 1【解析】【分析】2設f x x

2(a 1)x a

2，要使得關于x的方程x2

(a2

1)x a

2 0的一根筆譯1大且另一根比1小，轉化為

f 1 0，即可求解.【詳解】

f x x2

(a2

1)x a 2，要使得關于x的方程x2

(a2

1)x a

2 0的一根筆譯1大且另一根比1小，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，則滿足

f1 0a2

a 2 0，(a

1)(a

2) 0，解得 2

a 1，即實數(shù)a的取值范圍是 2

a 1.【點睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，其中解答中把關于 x的方程x2 (a2

1)x a

2 0的一根筆譯1大且另一根比 1小，轉化

f(1) 0是解得的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理運算能力 .數(shù)列滿足：（且為常數(shù)）當時則所以（常數(shù)）故所以數(shù)列的前項為首項為公差為的等差數(shù)列從項開始由于所以奇數(shù)項為偶數(shù)項為所以故答案為：【點睛】1849【解析】【分析】直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和 .【詳解】數(shù)列an

滿足：a1

a（a R且為常數(shù)），

an1

3an4 an an

3 *n N ，3當a 100時，則100，所以1 an

3（常數(shù)），故100 3n 1，所以數(shù)列的前34項為首項為100，公差為 3的等差數(shù)列.35項開始，由于

1，所以奇數(shù)項為 3、偶數(shù)項為1，

100 1 34 663 1 1849，2 2故答案為：1849【點睛】本題考查了由遞推關系式求數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前 n項和公式，需熟記公式，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題 .﹣33式數(shù)形結合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案詳解：由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立解得化目標函數(shù)為直線方程的斜截式[﹣33]【解析】分析：由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案 .詳解：由約束條件作出可行域如圖：x y 聯(lián)立x y 3

，解得

1，2

1,2，化目標函數(shù)z x

2y為直線方程的斜截式

y x z.2 2由圖可知，當直線1 2 2 3；x z

x zyB2 2過yB

1,2

，直線在y軸上的截距最大， z最小，最小值為當直線y

2 2

3,0

時，直線在y軸上的截距最小， z最大，最大值為3 2 0 3.z x 2y的取值范圍為[﹣33].故答案為：[﹣3].點睛：利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域．考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形．確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解．求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值 .充要【解析】所以為奇函數(shù)又為單調(diào)遞增函數(shù)所以即是的充要條件點睛：充分必要條件的三種判斷方法1定義法：直接判斷若則若則的真假并注意和圖?為真則是的充分條件2?與非?非?與非?3232【解析】3232f(x)

f(x) x

lg(x x

1) ( x)

lg( x xlg1

，所以

f(x)為奇函數(shù)，又

f(

為單調(diào)遞增函數(shù)，所以a b 0

a b

(

f(b)

f(

f(b)

f(

f(b) 0，即b

0是

(a)

f(b) 0的充要條件點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．定義法：直接判斷“若 p則q”、“若則p”的真假．并注意和圖示相結合，例“p?q”為真，則 p是q的充分條件．等價法：利用p?q與非q?非p，q? p與非p?非q，p? 與非q?非p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．集合法：若A?B，則AB的充分條件或BA的必要條件；若A＝B，則AB的充要條件．17．14【解析】【分析】等差數(shù)列的前 n項和有最大值可知由知所以即可得出結論【詳解】由等差數(shù)列的前n項和有最大值可知再由知且又所以當時 n的小值為14故答案為【點睛】本題考查使的n的最小值的求法是中檔解析：14【解析】【分析】等差數(shù)列的前 n項和有最大值，可知

a8d 0，由a7

1

0，

0，0，所以0，0，0，即可得出結論．【詳解】由等差數(shù)列的前n項和有最大值，可知 d 0，a8再由 1，a7

a7 0a8 0a7

0，2a7

0，2a8

0，

0，所以0，0，0，

時n的最小值為14，故答案為14．【點睛】本題考查使Sn

0的n的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．18．【解析】【分析】待定系數(shù)得到得到【詳解】因為滿足所以即得到所以而故是以為首項為公比的等比數(shù)列所以故故答案為：【點睛】本題考查由遞推關系求數(shù)列通項待定系數(shù)法構造新數(shù)列求通項屬于中檔題n解析：231 1n【解析】【分析】待定系數(shù)得到【詳解】

an1 3

，得到因為an

1 2，所以1 3an ，

1 n

2 ，得到 1，

1 1 3an 1，而1 2，故an

12為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an

1 23n1，

23n1 1.故答案為：【點睛】

23n1 1.本題考查由遞推關系求數(shù)列通項，待定系數(shù)法構造新數(shù)列求通項，屬于中檔題 .19．【解析】【分析】利用可求得；利用可證得數(shù)列為等比數(shù)列從而得到進得到；利用可得到關于的不等式解不等式求得的取值范圍根據(jù)求得結果【詳解】當時解得：當且時即：數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列解得：又或滿足解析：{5,6}【解析】【分析】

可求得 2；利用an

1可證得數(shù)列

an 為等比數(shù)列，從而得到an=

2-1

bn+1-

bn<

0可得到關于n的不等式，解不等式求得 n的取值范圍，根據(jù)n N求得結果.【詳解】當n 1時，2an 1

1

1 1，解得： 2當n 2且n N時

Sn1

21 1an=Sn-

=2an-

2an-1，即：an

2an1

是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

2n-1Qab n2 9n 20

n2 9n 20n1bn1nn2n 1

n2n 1 20 n2

n2 28bn1

n n1 n 02 2 2Q2n 0

n2 28

n 4 n

7 0，解得：4 n 7又n N n 5或6滿足條件的n的取值集合為{5,6}本題正確結果：{5,6}【點睛】本題考查數(shù)列知識的綜合應用，涉及到利用

an與Sn的關系求解通項公式、等比數(shù)列通項公式的求解、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍等知識；關鍵是能夠得到

bn的通項公式，進而根據(jù)單調(diào)性可構造出關于 n的不等式，從而求得結果 .20．【解析】【分析】【詳解】由條件可得解析：

x|0 x 2三、解答題三、解答題（；（2）【解析】【分析】（1）運用代入，得到【詳解】，證明數(shù)列是等比數(shù)列，計算通項，即可。（2）將通項的通項，結合裂項相消法，計算求和，即可。（1）數(shù)列的前n項和為，且當時，，解得：．當時，，得：，整理得：即：則：常數(shù)是以，，，3為公比的等比數(shù)列，首項符合，故：．（2）由于，所以，所以： ，則： ，，．【點睛】n考查了等比數(shù)列的判定，考查了裂項相消法，考查了等比數(shù)列通項計算方法，難度中等。n（

2；（

.【解析】【分析】由等比數(shù)列前n項和公式求出公比q

a1，得通項公式；用裂項相消法求出和【詳解】

Tn，可得結論．設等比數(shù)列的首項及公比分別為

0，q 0，Q6，14，顯然q 1，21 q21 q

6，解得

2，31 q q 23141 qna 2n；n

1 1 1 1證明：由（1）

n

bb n(n 1)

，n n 1

1

nn11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 ,2 2 3Qn N*,

n 1 n n n 1 n 11．【點睛】本題考查等比數(shù)列的前 n項和與通項公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和．基本量法是解等差數(shù)列和等比數(shù)列的常用方法．裂項相消法、錯位相減法、分組（并項）求和法是數(shù)列求和的特殊方法，它們針對的是特殊的數(shù)列求和．（證明見解析；（2 6 3．【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可求

(A B)

0，可得A B

k Z，結合范圍AB

(0, )，即可得證A B．由（可得a b，進而根據(jù)余弦定理可求 a b【詳解】

6，即可求解 ABC的周長．QbsinBtanC bcosB asinAtanC acosA，bsinBsinC asinAsinCcos

bcosB acosA，cosCbsinBsinC bcosBasinAsinC acosAcosC，acos(A C) bcos(B C)，又QA B C ，acosB bcosA， sinAcosB sinBcosA，sin(A B) 0

A B

(k Z)，又QA，B (0, )， A B．Q由（可知A B，可得a b，3又Qc

3，cosC ，43 a2 a2 ( 3)

2a2 34 2aa

，2a2a2 b2 6，可得a b 6，∴ABC的周長

a b c

2 6 3．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應用、余弦定理在解三角形中的綜合應用 ，考查函數(shù)與方思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)求值時，要先寫出角的范圍 ．（a

2n1;b

3n

,＝1，；（）T

3n2

3n 2n1 1.n n2【解析】【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到

n4 4 2a7＝64，a2＝進而求出公比，得到數(shù)列 {a的通項，再由等差數(shù)列的公式得到結果；（ 根據(jù)第一問得到通項，分組求和即可 .【詳解】設等比數(shù)列{a的公比為由等比數(shù)列的性質(zhì)得 a2＝128，

＝2

a7＝64．所以公比q

a7 64 2．55a2 255所以數(shù)列{a的通項公式為a＝q2＝2－＝n－1．設等差數(shù)列{b

1a的公差為n n21 1 1 1 3由題意得，公差

d 2 2 1 1 ，所以等