(新教材)2022年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊學(xué)案：2.2.4.2均值不等式的應(yīng)用(含答案)

第2課時均值不等式的應(yīng)用類型一“常數(shù)代換法”求最值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)11ab1．已知a>0，b>0，＋＝4，則a＋b的最小值為()14A．4B．2C．1D．【思路導(dǎo)引】把a(bǔ)＋b看成(a＋b)×4×41的形式，把“4”換成＋，整11ab理后積為定值，然后用均值不等式求最小值．【解析】選C.因?yàn)閍>0，b>0，且1ab111＋＋＝4，所以a＋b＝(a＋b)ab14ba1ab4ba1ab4baab＋×＝2＋×≥2＋2·×＝1，等號成立的條件為＝，所以a＋b的最小值為1.112．若點(diǎn)A(1，1)在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則＋的最小值為mn________．【思路導(dǎo)引】由已知條件得到m，n的關(guān)系，構(gòu)造均值不等式求最值．【解析】因?yàn)锳(1，1)在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，所以m＋n＝1，而m1＋n1＝m＋n＋m＋nnmmn＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)mn且僅當(dāng)m＝n＝111mn時取“＝”，所以＋的最小值為4.2答案：43．已知1a＋11ba>0，b>0，且＋＝1，則a＋b的最小值為________．11ba＋1＋【思路導(dǎo)引】將a＋b變形為(a＋1＋b)－1，展開，利用均值不等式求解．111a＋11b＋【解析】已知a>0，b>0，＋＝1，則a＋b＝(a＋1＋ba＋1＋a＋1－1≥1＋2a＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1bba＋1b)－1＝2＋a＋1·bb＝b時等號成立．答案：3常數(shù)代換法求最值的方法步驟應(yīng)用此種方法求解最值的基常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式．(4)利用均值不等式求最值．(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．【解析】由x＋2y－2xy＝0得12＋＝2，yx1215xy5yx22yx292所以(2x＋y)＝(2x＋y)＋×＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立．92答案：x＞0，y＞0，且＋＝18yx＋12，則2x＋y的最小值為________．(2)已知1x＋18y【解析】由＋＝2，可得2x＋y＝2＋＋y－2x118＝1＋y＋＋－22x1y＋2x1＋16x1＝12yx＋1＋10＋－2≥y＋16x11y－2＝7，10＋2·2yx＋1＋當(dāng)且僅當(dāng)16x1y1，即x＝，y＝6時，取得最小值7.2＝x＋1y答案：7【補(bǔ)償訓(xùn)練】若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()245285A．B．C．5D．6【解析】選C.由x＋3y＝5xy可得13＋＝1，5y5x135y5x5594＝＋＋所以3x＋4y＝(3x＋4y)·＋3x12y13≥＋25y5x53x12y1312·＝＋＝5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝時5y5x512＋5取等號，故3x＋4y的最小值是5.類型二利用均值不等式證明不等式(邏輯推理)【典例】已知a，b，c均為正數(shù)．211ab(1)求證：a2＋b2＋＋≥42；941(2)若a＋4b＋9c＝1，求證：＋＋≥100.abc【思路導(dǎo)引】(1)將表達(dá)式各項(xiàng)拆分之后利用均值不等式求解；941(2)將＋＋與a＋4b＋9c相乘，化簡后拆分，再利用均值不等式abc求解．【解析】(1)a，b均為正數(shù)，211ab4，得a2＋b2≥2ab，＋≥ab211ab4ab4ab所以a2＋b2＋＋≥2ab＋≥22ab·＝42.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝42時，等號成立．941abc9414aa36b＋16＋＝9＋＋＋abcbc＋＋(2)＋＋＝(a＋4b＋9c)a4b＋81c＋36c4a36ba81c4b36c≥34＋cbca＋＋＋＋9＝34＋a81c＋＋cabba4a36b4cb·36bc＝34＋24＋18＋24＝100.2·＋2·＋2baca當(dāng)且僅當(dāng)a＝3b＝9c，且a＋4b＋9c＝1時，等號成立，310110130即當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝，c＝時，原式取等號．利用均值不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知(2)注意事項(xiàng)：①多次使用均值不等式時，要注意等號能否成立；”，逐步推向“未知”．②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，形成均值不等式模型，再使用．已知a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1，111求證：＋＋≥9.abc＋＋＝a＋b＋c【證明】因?yàn)閍，b，c均大于0且a＋b＋c＝1，所以111abca＋a＋b＋c＋a＋b＋cbaabcacb＋＋≥3＋2＋2＋2＝＋＋＋acbc＝3＋bc139.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．【拓展延伸】利用均值不等式證明問題的技巧證明不等式時，要先觀察題中要證明的不等式的特征，若不能直接利用均值不等式證明，則考慮對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、配湊、變形等，使之達(dá)到能利用均值不等式的條件；若題中還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，解題時要時刻注意等號能否取到．【拓展訓(xùn)練】11x，y滿足x＋y2＝1，求證：＋的最小值為22.2xy【證明】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x2＋y2＝1，令z＝11已知正數(shù)＋>0，xyx2＋y2x2＋y2可得z＝1122xy＋＋＝＋＋2xyxyx2y222＝2＋y2x2x2y22xy22＋＋≥2＋2·＋＝4＋，xyxy2y2xxy22當(dāng)且僅當(dāng)y2x＝2即x＝y(tǒng)時取等號，xy22而由題意可得1＝x2＋y2≥2xy，可得xy1≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，所以z2≥4＋4＝8，所以z≥22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，所以1＋1的最小值為22.xy類型三均值不等式的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題中的大小關(guān)系【典例】某工廠過去的年產(chǎn)量為a，改革后，第一年的年產(chǎn)量增長率為p，第二年的年產(chǎn)量增長率為q，這兩年的年產(chǎn)量平均增長率為x，則()p＋qA．x＝2B．x＝pqC．x≥p＋2qD．x≤2p＋q【思路導(dǎo)引】利用已知條件，得到方程(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，然后利用均值不等式，即可求解，得到答案．【解析】選D.由題意，可得a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，即(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，＋＋＋2，又因?yàn)?1＋p)(1＋q)≤1p1q2所以1＋x≤2＋p＋q＝1＋p＋qp＋q.22，所以x≤2利用均值不等式解決實(shí)際問題中的最值問題【典例】(2021·武漢高一檢測t(單位：min)滿足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)p(t)(單位：個)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足p(t)＝)根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條快遞線路運(yùn)行時，發(fā)車時間間隔1800－15（9－t）2，4≤t<9，其中t∈N.1800，9≤t≤15(1)若平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)不超過1500個，試求發(fā)車時間間隔t的值；(2)若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益為q(t)＝t6p（t）－7920－80(單位：元)，問當(dāng)發(fā)車時間間隔t為多少時，平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益．【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)題意分9≤t≤15和4≤t<9時，分別解p(t)≤1500，再結(jié)合t∈N即可得答案；(2)由題意可得q(t)＝4410－90t＋＋1540，4≤t<9，t∈Nt，再結(jié)合基本不等式求最值即2880－80，9≤t≤15，t∈Nt可得答案．【解析】(1)當(dāng)9≤t≤15時，1800≤1500，不滿足題意，舍去．當(dāng)4≤t<9時，1800－15(9－t)2≤1500，即t2－18t＋61≥0.解得t≥9＋25(舍)或t≤9－25，因?yàn)?≤t<9，t∈N.所以t＝4.所以發(fā)車時間間隔為4min.(2)由題意可得q(t)＝4410＋1540，4≤t<9，t∈N－90t＋t，2880－80，9≤t≤15，t∈Nt當(dāng)4≤t<9，t＝7時，q≤－290×4410＋1540＝280(元)，當(dāng)9≤t≤15，t＝9時，q≤2880－80＝240(元)，9所以發(fā)車時間間隔為7分鐘時，凈收益最大為280(元).應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題時的思路和方法(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在題目要求的范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．1．某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，根據(jù)市場分析每輛客車的運(yùn)營總利潤y(單位：十萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)的關(guān)系為y＋＝－x2＋12x－25.若使?fàn)I運(yùn)的年________年．平均利潤最大，則每輛客車應(yīng)營運(yùn)【解析】由題意得年平均利潤為xy＝－x－＋12＝12－＋≤1225x25xx－2x·25x＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝25x，即x＝5時等號成立．故當(dāng)x＝5時，xy有最大值2.即要使?fàn)I運(yùn)的年平均利潤最大，則每輛客車應(yīng)營運(yùn)5年．答案：52．某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費(fèi)均為40元．若使每名同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢？【解析】設(shè)買x張游泳卡，總開支為y元，則每批去x名同學(xué)，共需去48×8x批，總開支又分為：①買卡所需費(fèi)用240x，②包車所需費(fèi)用48×8x×40.48×8x所以y＝240x＋×40(0<x≤48，x∈Z).64x64所以y＝240x＋＝3840，≥240×2x×x當(dāng)且僅當(dāng)x＝64x，即x＝8時取等號．故每人最少應(yīng)交3840＝80(元).483．為了緩解市民吃肉難的生活問題，某生豬養(yǎng)殖公司欲將一批豬肉用冷藏汽車從甲地運(yùn)往相距120km的乙地，運(yùn)費(fèi)為每小時60元，裝卸費(fèi)為1000元，豬肉在運(yùn)輸途中的損耗費(fèi)(單位：元)是汽車速度(km/h)值的2倍．(說明：運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用＝運(yùn)費(fèi)＋裝卸費(fèi)＋損耗費(fèi))(1)若汽車的速度為每小時50km，試求運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用．(2)為使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過1260元，求汽車行駛速度的范圍．(3)若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小，汽車應(yīng)以每小時多少千米的速度行駛？【解析】(1)當(dāng)汽車的速度為每小時50km時，運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用為：12050×60＋1000＋2×50＝1244(元).(2)設(shè)汽車行駛的速度為xkm/h，由題意可得：120x×60＋1000＋2x≤1260，化簡得x2－130x＋3600≤0，解得40≤x≤90，故運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過1260元/時，汽車行駛速度的范圍為[40，90].(3)設(shè)汽車行駛的速度為xkm/h，則運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用：120x×60＋1000＋2x＝2x＋7200＋1000≥x22x·x7200＋1000＝1240，當(dāng)2x＝7200，即x＝60時取得等號，故若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小，x汽車應(yīng)以每小時60km的速度行駛．備選類型均值不等式在幾何等方面的應(yīng)用【典例】如圖，設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把它關(guān)于AC折起來，AB折過去后，交DC于P，設(shè)AB＝x.求△ADP的最大面積及相應(yīng)的x值．【解析】由圖知：因?yàn)锳B＝x，所以AD＝12－x.由DP＝PB′，得AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，由勾股定理得DP＝12－72x，因此△ADP的面積S＝AD·DP＝21(12－x)·12－1272x432x＝108－6x＋，因?yàn)閤>0，所以6x＋432x432x≥26x·＝722，432x432x所以S＝108－6x＋≤108－722，當(dāng)且僅當(dāng)6x＝時，即x＝62時，S有最大值108－722.答：當(dāng)x＝62時，△ADP的面積有最大值108－722.關(guān)于幾何中周長與面積問題的處理方法關(guān)于幾何中周長與面積問題的處理方法，關(guān)鍵是利用各邊長之和代換出周長，邊長之積代換出面積，再將邊長和與積利用均值不等式得其關(guān)系，即得周長與面積的關(guān)系．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖中的窗花是一張圓形紙片剪去一個正十字形剩下的部分，正十字形的頂點(diǎn)都在圓周上．已知正十字形的寬和長分別為x，y(單位：dm)且x＜y，若剪去的正十字形部分面積為4dm.2(1)求y關(guān)于x的關(guān)系，并根據(jù)其關(guān)系得出使x有意義的范圍．(2)現(xiàn)為了節(jié)約紙張，需要所用圓形紙片面積最?。?dāng)x取何值時，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值．【思路導(dǎo)引】(1)利用正十字形面積可構(gòu)造關(guān)于x，y的等式，整理可得定義；域(2)設(shè)外接圓直函數(shù)關(guān)系式；利用y>x且x>0可解不等式求得x2＋4徑dd2＝x2＋y2＝x2＋，利用均值不等式可求得d的最小值及22x取得最小值時x的取值，代入圓的面積公式即可求得面積的最小值．＋4x2【解析】(1)由題意可得2xy－x2＝4，則y＝＋4，2xx2因?yàn)閥>x且x>0，即>x，2x＋4x2所以0<x<2.所以y關(guān)于x的關(guān)系式為y＝(0，2).，使x有意義的范圍為2x(2)設(shè)正十字形的外接圓的直徑為d，＋42x545x24·＋2＝254x所以d2＝x2＋y2＝x2＋2＝x2＋x＋2≥24222x＋2，當(dāng)且僅當(dāng)5x4＝45時取等號，即x2＝45時，d255min24x＝，即x22＝25＋2，5＋1d2≥2d2π4所以正十字形外接圓面積S＝π＝π，25＋12455dm.即正十字形外接圓面積的最小值為πdm2，此時x＝14mn1．n>0，＋＝1，則m＋n()A．有最大值，最大值為6B．有最大值，最大值為9C．有最小值為6D．有最小值為9n4m≥5＋小值，最小值，最14