電路分析中電容元件和電感元件的特性

常用的幾種電容器當(dāng)前第1頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)§7－1電容元件

一、

電容元件集總參數(shù)電路中與電場(chǎng)有關(guān)的物理過程集中在電容元件中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需的一種理想電路元件。電容元件的定義是：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。圖7-1當(dāng)前第2頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)(a)電容元件的符號(hào)(c)線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)(b)電容元件的特性曲線(d)線性時(shí)不變電容元件的特性曲線電容元件的符號(hào)和特性曲線如圖7-1(a)和(b)所示。其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。圖7-1當(dāng)前第3頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)與特性曲線如圖(c)和(d)所示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時(shí)間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電容，單位是法[拉],用F表示。圖7-1當(dāng)前第4頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)實(shí)際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，可以用一個(gè)電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時(shí)，則需要用一個(gè)電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電感來構(gòu)成電容器的電路模型，如圖7-2所示。圖7-2電容器的幾種電路模型當(dāng)前第5頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)

二、電容元件的電壓電流關(guān)系

對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開路(i=0)。當(dāng)前第6頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)在已知電容電壓u(t)的條件下，用式(6-2)容易求出其電流i(t)。例如已知C=1F電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，其波形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為圖7-3當(dāng)前第7頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)在幻燈片放映時(shí)，請(qǐng)用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。當(dāng)前第8頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)例7-1已知C=0.5F電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示，

試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的電流iC(t),并畫

出波形圖。圖7－4例7－1當(dāng)前第9頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)2.當(dāng)1st3s時(shí)，uC(t)=4-2t，根據(jù)式7－2可以得到1.當(dāng)0t1s時(shí)，uC(t)=2t，根據(jù)式7－2可以得到解：根據(jù)圖7－4(a)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算圖7－4例7－1當(dāng)前第10頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)3.當(dāng)3st5s時(shí)，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式7－2可以得到4.當(dāng)5st時(shí)，uC(t)=12-2t，根據(jù)式7－2可以得到圖7－4例7－1根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出圖7－4(b)所示的矩形波形。當(dāng)前第11頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓uC(t)為其中稱為電容電壓的初始值,它是從t=-∞到t=0時(shí)間范圍內(nèi)流過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。當(dāng)前第12頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)式(7－3)表示t>0某時(shí)刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的初始值uc(0)加上t=0到t時(shí)刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電壓源uc(0)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián)如圖7－5所示。圖7－5當(dāng)前第13頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)從上式可以看出電容具有兩個(gè)基本的性質(zhì)(1)電容電壓的記憶性。從式（7－3）可見，任意時(shí)刻T電容電壓的數(shù)值uC(T)，要由從-到時(shí)刻T之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，此時(shí)刻以前流過電容的任何電流對(duì)時(shí)刻T的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。當(dāng)前第14頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)例7－2電路如圖7－6(a)所示，已知電容電流波形如圖7－6(b)所示，試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。圖7-6當(dāng)前第15頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算1．當(dāng)t0時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式7-3可以得到2．當(dāng)0t<1s時(shí)，iC(t)=1A，根據(jù)式7-3可以得到圖7-6當(dāng)前第16頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)3．當(dāng)1st<3s時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到4．當(dāng)3st<5s時(shí)，iC(t)=1A，根據(jù)式7－3可以得到5．當(dāng)5st時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式7－3可以得到當(dāng)前第17頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時(shí)刻電容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。例如，當(dāng)1s<t<3s時(shí)，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時(shí)間內(nèi)電流作用的結(jié)果。圖7-6當(dāng)前第18頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)圖7－7(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形[如圖(b)中實(shí)線所示]保持輸入電壓uin(t)波形[如圖(b)中虛線所示]中的峰值。圖7－7峰值檢波器電路的輸入輸出波形當(dāng)前第19頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)(2)電容電壓的連續(xù)性從例7－2的計(jì)算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個(gè)平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即電容電流在閉區(qū)間[t1,t2]有界時(shí)，電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明。將t=T和t=T+dt代入式(6－3)中，其中t1<T<t2和t1<T+dt<t2得到當(dāng)前第20頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)當(dāng)電容電流有界時(shí)，電容電壓不能突變的性質(zhì)，常用下式表示對(duì)于初始時(shí)刻t=0來說，上式表示為利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值，下面舉例加以說明。當(dāng)前第21頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)例7－3圖7－8所示電路的開關(guān)閉合已久，求開關(guān)在t=0時(shí)刻

斷開瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。解：開關(guān)閉合已久，各電壓電流均為不隨時(shí)間變化的恒定

值，造成電容電流等于零，即圖7－8當(dāng)前第22頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)電容相當(dāng)于開路。此時(shí)電容電壓為當(dāng)開關(guān)斷開時(shí)，在電阻R2和R3不為零的情況下，電容電流為有限值，電容電壓不能躍變，由此得到圖7－8當(dāng)前第23頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)例7－4電路如圖7－9所示。已知兩個(gè)電容在開關(guān)閉合前一瞬間的電壓分別為uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，試求在開關(guān)閉合后一瞬間，電容電壓uC1(0＋),uC2(0＋)。解：開關(guān)閉合后，兩個(gè)電容并聯(lián)，按照KVL的約束，兩個(gè)電容電壓必須相等，得到以下方程圖7－9當(dāng)前第24頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)再根據(jù)在開關(guān)閉合前后結(jié)點(diǎn)的總電荷相等的電荷守恒定律，可以得到以下方程聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，代入數(shù)據(jù)后得到兩個(gè)電容的電壓都發(fā)生了變化，uC1(t)由0V升高到3V，uC2(t)則由6V降低到3V。從物理上講，這是因?yàn)殡娙軨2上有3μC的電荷移動(dòng)到C1上所形成的結(jié)果，由于電路中電阻為零，電荷的移動(dòng)可以迅速完成而不需要時(shí)間，從而形成無窮大的電流，造成電容電壓可以發(fā)生躍變。當(dāng)前第25頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)三、電容的儲(chǔ)能在電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，電容的吸收功率為由此式可以看出電容是一種儲(chǔ)能元件，它在從初始時(shí)刻t0到任意時(shí)刻t時(shí)間內(nèi)得到的能量為當(dāng)前第26頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)當(dāng)C>0時(shí)，W(t)不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于它儲(chǔ)存的能量，這說明電容是一種儲(chǔ)能元件。由于電容電壓確定了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。從式(7－5)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因?yàn)殡娙蓦妷旱能S變要伴隨電容儲(chǔ)存能量的躍變，在電流有界的情況下，是不可能造成電場(chǎng)能量發(fā)生躍變和電容電壓發(fā)生躍變的。當(dāng)前第27頁(yè)\共有29頁(yè)\編于星期六\11點(diǎn)若電容的初始儲(chǔ)能為零，即u(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電容中的能量為此式說明某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于