2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)高一年級上冊學期期末數(shù)學試題含答案

2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)高一上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

I.設(shè)集合”={x|14x<3},5={x|3x-l>9-2x}；則如8=（）

A.仲=<2}B{X|1<X<2}

C{x|2<x<3}D{x|2<x<3}

【答案】C

【分析】解出集合8中的不等式，求與集合力的交集即可.

【詳解】集合8={中1>9-20={小>2},

因為“={x|14x<3}4cB={x[2<x<3}

所以

故選：C.

2.1095。的終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】找到與1095。終邊相同的角，即可看出在第幾象限.

【詳解】因為10950=360x3+15。，所以1095°的終邊與15。終邊相同，故落在第一象限.

故選:A

3.“a>3”是“一元二次方程/+辦+1=°有實數(shù)根，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】一元二次方程/+6+1=0有實數(shù)根，貝!]A=/-420,解得04-2或aN2,即“a>3”是

“一元二次方程/+辦+1=0有實數(shù)根”的充分不必要條件

故選：A

4.下列函數(shù)中與函數(shù)>是同一個函數(shù)的是（）

A,丫=岳B,

m=一

C."D.S=2%'

【答案】B

【分析】分別從函數(shù)的定義域，對應法則和值域進行判斷即可求解.

【詳解】函數(shù)丁=苫定義域為R,值域也為R.

對于A,函數(shù)^="=國的定義域為R,值域為［°，+8）,對應法則也不相同，故選項A不滿足題

后、；

對于B,函數(shù)〃=汐=丫的定義域為R,值域也為R,對應法則相同，故選項B滿足題意；

n2/八、

加=__—/77^0）

對于C,函數(shù)一〃一定義域為（-8，°）U（0，+8）,值域為（-8,0）U（0,*?）,故選項C不滿

足題意；

對于D,函數(shù)s=2'期'=f（f>0）定義域為（0,+8）,值域為（0,位），故選項D不滿足題意，

故選：B.

5.如圖，四邊形Z8CO是直角梯形，NDAB=90°,AD〃BC,AD=a,BC=b.若用，N分別

在Z8,8上，MN〃BC,且把直角梯形“8co分成面積相等的兩部分，則腦V=（）

B,而

a+b

C.2

【答案】D

【分析】過A點作/尸〃℃交于E,交BC于F,由相似三角形和面積相等建立等量關(guān)系求解

即可.

【詳解】如圖所示，過A點作交MN于E,交BC于F,

設(shè)MN=c,AM=m,AB=n,

MEAMc-atn(c-a)n

-----=------------——m------------

因為AAME~"BF,所以BE力8即6-an,解得b-a,

22

S=(￡+c)m=(￡+c)(c-a)n(c-a)n_(a+h)n

因為2(b-a)t*BCD=「一，且邑BCC=2s皿叫

(a+b)n_(c2-a2)n

----------=zx-------------

所以22(b-a)解得

故選：D

兀i、l-cos2x

xe(O,—]/(x)=------------

6.當3時，函數(shù)'sin2x的最大值是()

V3

A.3B.1

C.百D.2

【答案】C

【分析】化簡/(X)的解析式，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.

“、l-cos2xl-(l-2sin2x)

/(x)=------------=-------------------=tanx

【詳解】由于sin2x2sinxcosx,

而/(x)=tanx在區(qū)間(°b上單調(diào)遞增，

所以八X)的最大值是(3J.

故選：C

7T71

----</<—

7.如圖為某質(zhì)點簡諧運動的部分圖像，它符合函數(shù)N=Nsm(ox+p)(A>0,3>0,22)

的形式，則()

(p----

A.A=2,0=1,6

71

(p=--

B.4=2,0=1,3

71

(P----

C.A=2,3=2,6

71

c<P=

D.4=2,0=2,3

【答案】D

Ij'_￡f—,2^

【分析】由題知/=2,2-2,進而得尸2sin(2x+*再代入點112’加可得好進而得

答案.

17_11萬541

【詳解】解：由題知4=2,2一記一五一5,

丁2萬

T=7T=——

所以3,解得。=2,

所以，y=2sin(2x+e),

:，22=2sin2x—+(p2x—+(p=—+2k7r,keZcp=-—+2k7r,keZ

再將112J代入得I124即時2,解得3

7tn

---<(p<-

因為22,

乃

(p=--

所以3,

71

所以，A=2,(0=2,夕=一］

故選：D

8.已知b=log.3,c=l°go.3e”是自然對數(shù)的底數(shù))，則。，b,c的大小關(guān)系為

()

A.a>b>cB.ci>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

［詳解］解：因為°=唾3萬>唾33=1,0<6=log.3<log.〃=l,c=log03e<log?31=0

所以a>Z>>c,

故選：A

二、多選題

9.在同一坐標系中，對于函數(shù)〃x）=x2與g（x）=2,的圖象，下列說法正確的是（）

A./（'）與g（x）有兩個交點

B.3%>°,當x>x（）時，/（x）恒在g（x）的上方

C.〃x）與8（口有三個交點

D.*o>O,當X>/時，g（x）恒在/（x）的上方

【答案】CD

【分析】通過試值找到兩函數(shù)在時兩個關(guān)鍵的交點坐標（24），（4/6）,從而在同一坐標系中作

出兩函數(shù)圖像，通過圖像即可判斷選項.

【詳解】"）=Lg（l）=2,f（2）=g（2）=4,〃3）=9,g（3）=8,/（4）=g（4）=16,

"5）=25,g（5）=32

則可在同一坐標系內(nèi)作出兩函數(shù)圖像如下圖所示:

顯然兩函數(shù)有三個交點48，C,故A錯誤，C正確,

由圖易得當x>4時，g（x）恒在/（X）的上方，故B錯誤，D正確,

故選：CD.

（兀、

y-cos2x+一

10.將函數(shù).I6J的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再把它向右

兀

平移5個單位，得到函數(shù)/a）的圖像，則下列是y=/a）對稱軸的是（）

571兀

x=-----x=—

A.6B.6

X=---7-K-x-

C.24D.6

【答案】ABD

【分析】由圖像變換求解函數(shù)解析式，整體代入法求對稱軸方程.

（兀、

y=cos2x+—\

【詳解】函數(shù)I6J的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

（兀）

y=cosx+一

l6J的圖像，

兀\（兀）

—/（X）=COSX——

再把它向右平移3個單位，得到函數(shù).I6J的圖像，

71.._,TI.-

X——=A7l,ATGZx=〃兀+—

令6,解得y=/（x）對稱軸方程為6,

5兀__7兀

當％=T時，對稱軸為6；當左=°時，對稱軸為“6.當”=1時，對稱軸為*6.

故選：ABD

II.已知/㈤的定義域是R,"X)既是奇函數(shù)又是減函數(shù).若6eR,且則()

A.f(a+b)>0B./(幻+/3)<0

C./(?+*)<0D,f(a)+f(b)>0

【答案】AD

【分析】根據(jù)一(X)定義域為R,且其既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，可知/(°)二0,結(jié)合。+6<°即可判

斷A,C選項，。+6<0,則。<-6,結(jié)合其單調(diào)性和奇偶性得到“"A-/㈤，即可判斷B,D選項.

【詳解】：/(x)的定義域為R，且“X)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，

則/(°)=°,???/(。+6)>/(°)=°,故A正確，C錯誤，

???a+bV0，則a<-b,

又???/(X)是在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，

?1?/(?)>/(一伙即/(。)>-/9),

，/(a)+/。)>°,故D正確，B錯誤.

故選：AD.

12.提鞋(斜)公式，也叫李善蘭輔助角公式，是我國19世紀著名數(shù)學家李善蘭先生提出的一種

高等三角函數(shù)公式，其正弦型如下：asinx+/>cosx=Ja2+〃sin(x+/),其中一哈旌兀.若3°。-卜|,

00G(0,一)

2,則下列判斷正確的是()

A.當a>0,6>0時，9=%

B.當a<0,b>0時，。=例一兀

C.當a>0,6<0時，夕=一%

D.當。<0,6<0時，。=n-。0

【答案】AC

【分析】根據(jù)兩角和正弦公式求出夕的表達式后根據(jù)〃力的正負分類討論可得.

asinx+6cosx=d6+b1(/"sinx+^cosx)

［詳解］sla2+b2yja2+b2,

ab

設(shè)yJa2+b2\la2+b2一兀<。工兀，貝gasinx+6cosx=+/sin(x+/)

sin69b

tancp=-----=—

cos夕a

八4c冗

0v0<—..0<(O...<—

若a>0,b>0,則2,此時tan展tan%,%2,9=仰，A正確；

冗TC

若”

0,b>0,則2,tane=-tang0=tan(萬一%),2°,<P=^~<P0,B錯；

71幾門

-------<0<0.4,z\<—0n<0

若a〉0,b<0,則2杉，tang=-tan%=tan(-%),2%,0=一%,C正確；

7T71

~71<0<-------.../\一冗<①科—7T<--------

若。<0,b<0,則2,tane=tan%=tan(%-m,+。2,夕=%一兀，D錯

誤.

故選：AC.

三、填空題

I22

13.已知a>0,計算：.

【答案】a

【分析】利用暴的運算性質(zhì)直接求得.

2|2

2

［詳解］Q2Q34-a6=a36=4

故答案為：a

14.已知a為第二象限的角，且3,則sin(a+.

2V2

【答案】一亍

【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導公式可得答案.

1

cosa=—

【詳解】因a為第二象限的角，則sina>0,又si/a+cos2a=1,3,貝ij

.r.--------2應

sma=VI-cosa=------

3.又由誘導公式，

./v.2正

sin(a+nsi=n-a=--------

得〈尸3.

2y/2

故答案為：一亍

/(x)=『+l，x20

15.已知函數(shù)〔2x+%,x<0是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是

【答案】(，2］

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得團的取值范圍.

【詳解】由于/（X）在R上遞增，

所以2x0+”?420+1,g|jm<2t

所以〃，的取值范圍是（-8,2]

故答案為：（r°，2]

16.煤油在作為噴氣發(fā)動機的燃料之前需通過黏土除去其中的污染物.某種煤油中污染物的含量為

P。，測得這種煤油通過xm的圓形黏土管道后污染物的含量P如下表：

x/m0123

PPoO.8po0.64PoO.512po

若要使這種煤油中污染物的含量不超過原來的2%,則至少需要m的圓形黏土管道.（參考

數(shù)據(jù)：32ao3）

【答案】*

[分析]根據(jù)表格得到P=P<>'0-8',解不等式P。?4外?2%,可得結(jié)果.

【詳解】由表可知，P=A,08,

由P=4Po,2%,得0842%,

……2、.、吆2-2lg2-20.3-2

xlg08VIg---x2------=-------x--------

兩邊取常用對數(shù)得100,得lg8-l31g2-13x0.3-1=17.

所以若要使這種煤油中污染物的含量不超過原來的2%,則至少需要17m的圓形黏土管道.

故答案為：17

四、解答題

17.立德中學高一年級某學生社團開展了“使用移動支付平臺——支付寶與微信支付的對比分析”的

課題研究.隨機調(diào)查了100°名市民，結(jié)果顯示：使用支付寶的有456人，使用微信支付的有783人,

兩種都使用的有298人.

（1）只使用支付寶不使用微信支付的有多少人？

（2）兩種移動支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的說明過程）

【答案】（1）158人

（2）59人

【分析】（1）由題意“使用支付寶”的去掉”兩種支付方式都使用”的即為“只使用支付寶不使用微信

支付”的人.

（2）由題意分別得出“只使用微信支付不使用支付寶”，“只使用支付寶不使用微信支付”“兩種支

付方式都使用”，由總?cè)藬?shù)減去“至少使用一種移動支付方式”即可的結(jié)果.

【詳解】（1）因為“使用支付寶”的有456人，”兩種支付方式都使用，，的有298人，

所以“只使用支付寶不使用微信支付''的有456-298=158（人）.

（2）同理，“只使用微信支付不使用支付寶”的有783-298=485（人），

所以，“至少使用一種移動支付方式''的有485+158+298=941（人），

故“兩種移動支付方式都不使用，，有1000-941=59（人）.

18.已知函數(shù)〃x）=l°g"X（"0,"1）,且/S）+/（4a）=4.

（1）求實數(shù)。的值；

（2）解關(guān)于x的不等式:/2?-4/（X）-5<0

【答案】（1）。=2

卜|；<x<32>

⑵12J

【分析】（1）由“④+八加廠九代入函數(shù)解析式解方程；

（2）換元法先解二次不等式，再求解對數(shù)不等式.

【詳解】（1）由/（。）+/（4。）=4得log04+log114a=2+loga4=4.

所以log/=2,即/=4,

因為所以“=2

（2）令，=/（x）,不等式轉(zhuǎn)化為產(chǎn)-今-5<0,

即C+l）（"5）<。，解之得

gp-l<log2x<5；而一1=噫萬，5=log,32；

-<x<32

所以2

x[g<x<32

故該不等式的解集為

19.如圖，以°為圓心，半徑為2的圓與X軸正半軸相交于點A,質(zhì)點P在圓周上逆時針運動，其

初始位置為外（行，-1），角速度為2rad/s.

（1）求點尸的縱坐標'關(guān)于時間，（單位：S）的函數(shù)解析式;

⑵求在60s內(nèi)（即，e[0,60]）,質(zhì)點P經(jīng)過點A的次數(shù).

y=2sin|2/--I

【答案】⑴I6）

（2）20

/cx2—兀=c2t-兀-

【分析】（1）先求出，時刻后，尸經(jīng)過的角度為66,然后再根據(jù)三角函數(shù)求解.

（2）根據(jù)函數(shù)的周期計算.

71

【詳解】⑴由微后T）得4%-不,

因為質(zhì)點尸運動的角速度為2rad/s,

八兀八兀

，x2—=27—

所以，時刻后，P經(jīng)過的角度為66,

y=2sinI2/-—J

故P的縱坐標16>

-2兀

T=—=n

（2）由（1）知周期2,

而19兀<60<20兀

所以質(zhì)點尸至少經(jīng)過點A達19次，

兀

因為質(zhì)點尸從4到達A至少需要12‘，

JT

60-19n>—

而12,即第20個周期可以到達點A,

所以質(zhì)點產(chǎn)經(jīng)過A點的次數(shù)為20.

2、-2~x

/（x）=-——

20.己知函數(shù).2、+2一1

（1）判斷/㈤的奇偶性，并說明理由；

（2）判斷/（X）的單調(diào)性，并用定義法給予證明.

【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析

（2）/3是R上的增函數(shù).，證明見解析

【分析】（I）利用奇偶性的定義進行證明；

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及復合函數(shù)單調(diào)性法則判斷，再利用單調(diào)性的定義進行證明.

【詳解】（1）因為的定義域是R,

且當VxeR時，/（-x）=^7^7=一/（x）,

故/⑶是奇函數(shù)；

，/、2X-2-X4X-14,+1-2,2

（2）變形得‘'72V+2~x4X+14X+14x+1,

/6）=l-￡

令f=4'+l,則t,

因為，=4、+l在R上是增函數(shù)，

7

又f在（l，+8）上是單調(diào)遞增，

所以/（x）是R增函數(shù)，下面用定義法證明：

任取兩個實數(shù)X|,々eR,且王＜》2,

222《「一）

則“看）—/（看）=門一百二G”+1X4*+1）,

因為*〈七，所以43＜4%所以牛-平＜0,

乂4*+1＞0,4"+1＞0,

所以/&）-/（七）＜0,即/區(qū)）＜〃七），

故"X）是R上的增函數(shù).

f（x）=sinxcos（—+x）+萬sinxcosx

21.已知函數(shù).2

（I）求/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若不等式S3-同＜2在上恒成立，求實數(shù)，”的取值范圍.

[-+/ai,—+kn]

【答案】（1）63（左eZ）

⑵仁』）

【分析】（1）利用誘導公式以及三角恒等變換公式化簡函數(shù)/（X）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)

間列式可得結(jié)果；

0--0

（2）根據(jù)函數(shù)/（X）在「2」上的單調(diào)性求出函數(shù)人外在['2」上的值域，將不等式1〃尤）一向<2在

xe0,—xe0,—

L2」上恒成立，化為“-2</（x）<“+2在L2」上恒成立，再利用"X）的最值列式可求出結(jié)果.

.2/T.cos2x-l73

J(X)=-sinx+V3sinxcosx=--------+——sm2x

【詳解】(1)因為.22

/(x)=sin(2x+-1)-^-

所以62

ITTTSit

-+2kn<2x+-<—+2k7t

令262

71/2兀.

—+KII<X<---Fkn

解得63,keZ,

[—+ATI,—+fat]

即〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為63(后eZ).

xe[0,—]2x+—&[—,—]

(2)當6時，662,所以/(x)在L6」上單調(diào)遞增;

c7C7T7兀_,兀71

2X+-Gr[-,—1一

xe[—,—]6,2

當62」時,626,所以"X)在上單調(diào)遞減:

因為〃。）=。，嗎H）=T,

[-1-1

所以"X）的值域是‘2,

又由I〃x）-同<2在xq，2「上恒成立，得吁2</（x）<加+2在上恒成立,

加一2<一