基礎(chǔ)工程力學(xué)第9章彎曲

第9章彎曲9-4求慣性矩的平行移軸公式9-2剪力圖和彎矩圖的進一步研究9-3彎曲正應(yīng)力9-6梁的強度條件9-5彎曲切應(yīng)力9-7撓度和轉(zhuǎn)角9-8斜彎曲9-9超靜定梁9-1剪力和彎矩.剪力圖和彎矩圖§9-10超靜定梁一，彎曲的概念

梁：以彎曲變形為主的桿件。1，彎曲變形受力特征：外力是作用線垂直于桿軸線的平衡力系（包括力偶）.變形特征：梁變形前為直線的軸線，變形后成為曲線?！?-1剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖縱向?qū)ΨQ面：包含梁橫截面的一個對稱軸及其梁軸線的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。2,對稱彎曲(平面彎曲)AB橫截面的對稱軸梁的軸線縱向?qū)ΨQ面AB橫截面的對稱軸梁的軸線縱向?qū)ΨQ面對稱彎曲：作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線。AB橫截面的對稱軸梁的軸線縱向?qū)ΨQ面變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)一、梁橫截面上的內(nèi)力-----剪力（

FS）和彎矩（M

）1，用截面法求橫截面上的內(nèi)力aFABmmxFSxmAmC用截面法假想地在橫截面mm處把梁分為兩段,取左段為脫離體由平衡方程得FS稱為

剪力aFABmmxFSxmAmC由平衡方程得內(nèi)力偶M

稱為

彎矩MaFABmmxFSxmAmCM梁在彎曲變形時，橫截面上的內(nèi)力有兩個，即，剪力FS和彎矩MaFABmmxFSMBmmF其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取左段梁為脫離體所示相反。取右段梁為脫離體。aFABmmxFSxmAmCMdx+（1）剪力FS的符號2，F(xiàn)S和M

的正負(fù)號的規(guī)定剪力

FS使梁的微段發(fā)生“左上右下”的錯動為

正。FSFS或使考慮的脫離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正。dx-剪力

FS使梁的微段發(fā)生“左下右上”的錯動為負(fù)。FSFS或使考慮的脫離體有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為負(fù)。+橫截面上的彎矩使考慮的脫離體下邊受拉，上邊受壓時為正。（2）彎矩符號（受拉）MM（受壓）橫截面上的彎矩使考慮的脫離體上邊受拉，下邊受壓時為負(fù)。-（受壓）MM（受拉）例9-1：求外伸梁1-1，2-2，3-3，4-4橫截面上的剪力和彎矩。解：求支座反力，取整體為研究對象12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA12kN.m12FA11M1FS1求1-1橫截面上的內(nèi)力（假設(shè)剪力和彎矩為正）12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFAM2FS2求2-2橫截面上的內(nèi)力（假設(shè)剪力和彎矩為正）FA2kN.m2212kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA在集中力偶兩側(cè)的相鄰橫截面上,剪力相同而彎矩發(fā)生突變,且突變值等于外集中力偶之矩.12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA求3-3橫截面上的內(nèi)力（假設(shè)剪力和彎矩為正）FA12kN.m33M3FS312kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA求4-4橫截面上的內(nèi)力（假設(shè)剪力和彎矩為正）M4FS42kN4412kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA在集中力兩側(cè)的相鄰橫截面上,剪力發(fā)生突變,且突變值等于集中力的數(shù)值。而彎矩保持不變。12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA例題：求截面1—1的剪力和彎矩。q=4kN/mF=5kN3m11a=2mFaqFS1M1q=4kN/mF=5kN3m11a=2m（1）橫截面上的

剪力

在數(shù)值上等于此橫截面的左側(cè)或右側(cè)

梁段上外力的代數(shù)和。向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力求剪力和彎矩的簡便方法左側(cè)梁段：{右側(cè)梁段：{（2）橫截面上的

彎矩

在數(shù)值上

等于

此橫截面的左側(cè)或右側(cè)梁段上的外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。不論在截面的左側(cè)或右側(cè)向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩左側(cè)梁段：{右側(cè)梁段：{例題：求指定截面上的內(nèi)力FSA左,FSA右

,FSD左

,FSD右

,MD左,MD右MD右,FSB左,FSB右。FAFB解：FA=14.5kN，F(xiàn)B=3.5kNm=3kN.m2m2m4mCADB看A左截面左側(cè)梁段計算FSA左FAFBm=3kN.m2m2m4mCADBFAFBm=3kN.m2m2m4mCADB計算FSA右看A右截面左側(cè)梁段FAFBm=3kN.m2m2m4mCADB看D左截面右側(cè)梁段計算FSD左FAFBm=3kN.m2m2m4mCADB計算FSD右看D右截面右側(cè)梁段FAFBm=3kN.m2m2m4mCADB看D左截面右側(cè)梁段看D左截面左側(cè)梁段計算MD左FAFBm=3kN.m2m2m4mCADB看D右截面右側(cè)梁段看D右截面左側(cè)梁段計算MD右FAFBm=3kN.m2m2m4mCADB計算FSB左，

FSB右注意一，在集中力作用截面的左，右兩側(cè)剪力值不等，即剪力值發(fā)生突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。該截面左、右兩側(cè)的彎矩值不變。二，在力偶作用截面的左，右兩側(cè)彎矩值不等，即彎矩值發(fā)生突變，其突變值等于力偶矩的數(shù)值。該截面左、右兩側(cè)的剪力值不變。二，列剪力方程和彎矩方程，畫剪力圖和彎矩圖以梁的左端點為坐標(biāo)原點，x

軸與梁的線重合,找出橫截面上剪力和彎矩與橫截面位置的關(guān)系,這種關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程。作剪力圖時，表示剪力FS

的縱坐標(biāo)取向上為正；作彎矩圖時，表示彎矩M

的縱坐標(biāo)取向下為正，以使彎矩圖始終位于梁的受拉一側(cè)例9-2：圖示為一受均部荷載作用的懸臂梁。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解:列剪力方程和彎矩方程xlq-剪力圖為一斜直線FSx-ql彎矩圖為二次拋物線xMql2/2xlq-FSx-qlxMql2/2xlq解：求得兩個支反力例9-3：圖示簡支梁，在全梁上受集度為q

的均布荷載作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。ABlqFBFAABlqFBFAx取距左端為x的任意橫截面。寫出剪力方程和彎矩方程。ABlqFBFAx繪出剪力圖。剪力圖為一傾斜直線。(-)(+)ABlqFBFAx(-)(+)彎矩圖為一條二次拋物線。繪出彎矩圖(+)ABlqFBFA(-)(+)(+)梁跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上，F(xiàn)S=0兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大解：求梁的支座反力例9-4:

圖示的簡支梁在C

點處受集中荷載

F

作用,且a>b。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。lFABCab因為AC

段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段寫剪力方程和彎矩方程。lFABCab

AC段：xlFABCablFABCabxCB

段：lFABCab剪力圖兩段均為水平直線Fb/lFa/l(-)(+)lFABCab彎矩圖兩段均為斜直線Fab/l(+)lFABCabFab/l(+)Fb/lFa/l(-)(+)在集中荷載作用處的左，右兩側(cè)截面上剪力值（圖）有突變。突變值等于集中荷載

F。彎矩圖形成尖角，該處彎矩值最大。解：

求梁的支反力例題：圖示的簡支梁在C點處受矩為

M的集中力偶作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。lABCabMlABCabM將坐標(biāo)原點取在梁的左端。梁分為AC,

CB

兩段AC段xlABCabMBC

段xlABCabM全梁的為水平直線剪力圖(-)lABCabM兩段梁的彎矩圖均為斜直線AC段：CB段：Mea/lMeb/l(-)(+)（2）以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開始或結(jié)束處，及支座截面處為界面將梁分段。分段寫出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖的幾條規(guī)律（1）取梁的左端點為座標(biāo)原點，x

軸向右為正；剪力圖向上為正；彎矩圖向下為正。（3）

梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上，剪力值（圖）有突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。在此處彎矩圖則形成尖角。（4）梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值。但在此處剪力圖沒有變化.（5）梁上剪力等于零(FS=0)的截面是彎矩的極值面例9-5:試作簡支梁的剪力圖和彎矩圖.解:求支座反力0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m該梁分為AC

,CB

兩段分段列剪力方程和彎矩方程0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mAC段:0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mx0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mxCB段:0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m-62剪力圖0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m彎矩圖AC段為斜直線

,CB段為拋物線

.CB段取三個截面的彎矩值+-0.40.60.4mABC2kN.m10kN//m0.2m+-0.40.6-62集中力偶作用處彎矩值發(fā)生突變,突變量等與集中力偶之矩.§9-2剪力圖和彎矩圖的進一步研究一，彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度q=q(x)xyFMq(x)規(guī)定：q(x)向上為正。將坐標(biāo)原點取在梁的左端。FMq(x)假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m

和n從梁中取出dxq(x)mmnnC略去q(x)沿dx

的變化dxxmnFMq(x)q(x)mmnnCdxxmnFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)m—m

截面上內(nèi)力為

FS(x)，M(x)x+dx

截面處則分別為

FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x)q(x)mmnnCFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)列平衡方程q(x)mmnnCFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)略去二階無窮小量即得q(x)mmnnCFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)二，畫剪力圖，彎矩圖的簡便方法（3）以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開始或結(jié)束處，及支座截面處為界面將梁分段。分段寫出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖。（1）取梁的左端點為座標(biāo)原點，x

軸向右為正（４）梁上剪力等于零(FS=0)的截面是彎矩的極值面（2）作剪力圖時，表示剪力FS的縱坐標(biāo)取向上為正；作彎矩圖時，表示彎矩M的縱坐標(biāo)取向下為正該梁分為AC

,CD,DE

,EF,FB

五段梁段上的外力只有兩種情況:(1)梁段上無外力;(2)梁段上有分布荷載FMq(x)ADCEFBxFS(x)oM(x)

圖為一向下凸的二次拋物線FS(x)

圖為一向右下方傾斜的直線1，梁上有向下的均布荷載，即

q(x)=常數(shù)<0M(x)xo2，梁段上無荷載作用，即

q(x)=0剪力圖為一條水平直線xFS(x)o彎矩圖為一斜直線xoM(x)3，梁上最大彎矩可能發(fā)生在

FS(x)=0

的截面上。4，在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。5，在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。無荷載向下傾斜的直線(╲)下凸的二次拋物線一段梁上的外力情況剪力圖彎矩圖極值處

FS=0

水平直線斜直線q=常數(shù)﹤0梁上的外力情況剪力圖彎矩圖集中力F集中力偶M在F

的作用處發(fā)生突變，突變值等于F

。在F

的作用處發(fā)生轉(zhuǎn)折，形成尖角。M

作用處無變化M

作用處發(fā)生突變，突變值等于M

。例題畫梁的內(nèi)力圖。解:求支座反力梁分AB,BC兩段a2aABCm(+)m/2a(-)m剪力圖BC段：水平直線AB段：水平直線彎矩圖AB段：水平直線BC段：斜直線a2aABCm例題:試作簡支梁的剪力圖和彎矩圖.解:求支座反力0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m梁分為AC,CB

兩段CB段

:斜直線AC段:

水平直線(1)剪力圖26-0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m26-0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m(2)彎矩圖CB段

:下凸的二次拋物線AC段

:斜直線0.41.6+-無荷載向下傾斜的直線(╲)下凸的二次拋物線一段梁上的外力情況剪力圖彎矩圖極值處

FS=0

水平直線斜直線q=常數(shù)﹤0復(fù)習(xí)梁上的外力情況剪力圖彎矩圖集中力F集中力偶M在F

的作用處發(fā)生突變，突變值等于F

。在F

的作用處發(fā)生轉(zhuǎn)折，形成尖角。M

作用處無變化M

作用處發(fā)生突變，突變值等于M

。例題如圖所示為一簡支梁，已知q=2kN/m，M0

=10kN·m，l=6m，試?yán)L剪力圖和彎矩圖。CBAqM04m2mFA=1kNFB=7kN解：求支座反力。CBAqM04m2mFBFACBAqM04m2mFBFA用力的作用面及支座處截面將梁分段該梁分為AC，CB兩段AC段為水平直線（1）剪力圖1kN7kNbD設(shè)D

截面到的C

距離為b+-CB段為斜直線CBAqM04m2mFBFA1kN7kNbD+-CBAqM04m2mFBFAAC段為斜直線（2）彎矩圖CB段為下凸的二次拋物線12.25kN·m2kN·m+12kN·mmmFSM當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩M

，又有剪力FS。§9-3彎曲正應(yīng)力yzyzdAdAdAFSMdAdAdA只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFS=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力一,純彎曲時梁內(nèi)的正應(yīng)力MeMeBAFA=0FB=0(+)只有彎矩而無剪力作用的梁稱為純彎曲梁即有彎矩又剪力作用的梁稱為橫力彎曲梁純彎曲梁橫截面上只有正應(yīng)力,而無切應(yīng)力MeMeBA1，幾何方面以及橫向線相垂直的一系列的縱向線（如aa

，bb

等）。aabb梁在加力前先在其側(cè)面上畫上一系列的橫向線（如mm，nn

等）mmnn（1）變形前相互平行的縱向直線（aa，bb

等），變形后均為圓弧線（a'a'

，b'b‘等)，且靠上部的縮短靠下部的伸長。梁變形后觀察到的現(xiàn)象mma'a'b'b'aabbmmnnmma'a'b'b'aabbmmnn（2）變形前垂直于縱向直線的橫向線（mm,nn

等）變形后仍為直線（m'm',n'

n'

等），但相對轉(zhuǎn)了一個角度，且與彎曲后的縱向線垂直。m'm'n'n'mma'a'b'b'aabbmmnnm'm'n'n'平面假設(shè)

：梁在受力彎曲后,原來的橫截面仍為平面，它繞著該橫截面上的某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度，且仍垂直于梁彎曲后的軸線。d用兩個橫截面從梁中假想地截取長為dx

的一段。（3）公式推導(dǎo)由平面假設(shè)可知，在梁彎曲時，這兩個橫截面將相對地旋轉(zhuǎn)一個角度d

。dO1O2dxO1O2的長度為dx

。橫截面的轉(zhuǎn)動將使梁的凹邊的縱向線段縮短，凸邊的縱向線段伸長。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線段O1O2無長度改變。此層稱為中性層。dO1O2dx中性軸與橫截面的對稱軸成正交。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。dO1O2dx中性層中性軸橫截面橫截面的對稱軸dO1O2dxyzx將梁的軸線取為

x

軸。橫截面的對稱軸取為

y

軸。中性軸取為

z

軸。dO1O2dxBB1

dy作O2B1與O1A平行。在橫截面上取距中性軸為y

處的縱向線

AB。為中性層上的縱向線段O1O2

變彎后的曲率半徑。O2B1的長度為y。AydO1O2dxAByB1

dydxAB1為變形前AB

的長度B1B

為AB1的伸長量AB1為A點的縱向線應(yīng)變。中性層的曲率為2，物理方面材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉，壓彈性模量相等。由胡克定律可得物理關(guān)系假設(shè)：上式為橫截面上

正應(yīng)力

變化規(guī)律的表達式。上式說明，橫截面上任一點處的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離y

成正比；在距中性軸為y

的同一橫線上各點處的正應(yīng)力均相等。Oxyzy1y需要解決的問題如何確定中性軸的位置？如何計算

?yzxOM3，靜力學(xué)方面dAzydA中性軸必通過橫截面的形心中性軸過截面形心且與橫截面的對稱軸

y

垂直yyzz中性軸中性軸CC中性軸將橫截面分為

受拉

和受壓

兩部分。MMyyCzCz中性軸中性軸拉拉壓壓EIz

稱為截面的抗彎剛度該式為等直梁純彎曲時橫截面上任一點處正應(yīng)力的計算公式M

—橫截面上的彎矩。y

—求應(yīng)力點的y坐標(biāo)。式中：Iz

—橫截面對中性軸的慣性矩。zyMy4，討論（1）應(yīng)用公式時，一般將M

，y

以絕對值代入。根據(jù)梁變形的實際情況直接判斷

的正，負(fù)號。以中性軸為界梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（為負(fù)號）梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（為正號）（2）橫截面中性軸上各點的正應(yīng)力最小。且min=

0（3）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點處

中性軸為對稱軸yzCMtmaxCmax壓拉yzCMtmaxCmax壓拉用ymax

表示最大拉（壓）應(yīng)力點到中性軸的距離。yzCMtmaxCmax壓拉Wz

稱為抗彎截面模量。yzCMtmaxCmax壓拉中性軸是對稱軸的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計算公式為yzhb矩形截面的抗彎截面系數(shù)圓形截面的抗彎截面系數(shù)yz二，純彎曲時橫截面上正應(yīng)力公式一,中性軸的位置:中性軸過截面形心與對稱軸垂直中性軸上正應(yīng)力

=0

；橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點處，正應(yīng)力值最大。復(fù)習(xí)當(dāng)中性軸是對稱軸時zy對于中性軸不是對稱軸的橫截面MtmaxCmax應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離ytmax

和yCmax

直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。zyMtmaxCmaxzyMtmaxCmax例9-6：求圖示T形截面梁橫截面上的最大拉應(yīng)力t,max，及最大壓應(yīng)力C,max。梁的橫截面尺寸及形心C的位置如圖所示，且已知Iz=290.610-8mm4。Me=3kN.m。MeMe652080208035CyzMeMe652080208035Cyz解：這是純彎曲,橫截面上的彎矩為Me,中性軸為水平的形心軸z橫截面上最大拉應(yīng)力在上邊緣處，y=35mm橫截面上最大壓應(yīng)力在下邊緣處，y=65mmMeMe652080208035Cyz三,純彎曲理論的推廣?梁內(nèi)正應(yīng)力強度條件當(dāng)梁上有橫向力作用時，橫截面上既又彎矩又有

剪力。梁在此種情況下的彎曲稱為橫力彎曲。橫力彎曲時，梁的橫截面上既有正應(yīng)力

，又有切應(yīng)力

。切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力純彎曲時所作的平面假設(shè)不適用1,橫力彎曲時梁內(nèi)的正應(yīng)力但工程中常用的梁，純彎曲時的正應(yīng)力計算公式可以精確的計算橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力。梁上最大的正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣上(1)當(dāng)中性軸是對稱軸時(2)當(dāng)中性軸不是對稱軸時803565202080z例9-7：T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。求橫截面最大拉應(yīng)力t,max,和最大壓應(yīng)力C,max,已知Iz=290.610-8m4.F1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1m解：支座反力為畫出彎矩圖。FA2.5C3B(-)(+)F1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080z最大正彎矩在截面C上最大負(fù)彎矩在截面B上F1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080zB截面{t,maxC,maxF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080zC截面{t,maxC,maxF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA803565202080zt,max=56.0MPa發(fā)生在C截面的下邊緣C,max=67.1MPa發(fā)生在B截面的下邊緣56.030.267.136.12,梁內(nèi)正應(yīng)力強度條件在工程設(shè)計中，首先要求梁的橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力不超過材料的許用正應(yīng)力。(1)當(dāng)中性軸為橫截面的對稱軸時(2)當(dāng)中性軸不為橫截面的對稱軸，且梁的材料拉，壓強度不等，在計算中分別要求利用梁的正應(yīng)力強度條件可以對進行三種不同形式的強度計算：

強度校核；選擇截面尺寸或型鋼號碼；確定許可荷載。一,靜矩和形心oyz

dAyzSz,Sy為平面圖形對z

軸和y軸的靜矩9-4慣性距的平行移軸公式oyz

dACyzC

為截面的形心oyz

dACyz形心坐標(biāo)的計算公式為：oyz

dAcyzoyz

dACyz（2）截面對形心軸的靜矩等于零。（1）若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必過圖形的形心。二,極慣性矩慣性矩1，截面對o點的極慣性矩yzodAyzo2，截面對y,z

軸的慣性矩dAyzIy,

Iz

稱為截面對y,z

軸的慣性矩yzodAyz極慣性矩，慣性矩的數(shù)值恒為正bhzyC例題：求矩形截面對其對稱軸z,y

軸的慣性矩。ydy解：取

例題：求圓形截面對其對稱軸的慣性矩。yzd解:截面對其圓心O

的極慣性矩為ObhzyC

ydoz三,平行移軸公式

CzCyCozyabCzCyCozyab已知截面對形心軸

zC，yC

的慣性矩和慣性積求截面對與形心軸平行的

z

，y

軸慣性矩和慣性積CzCyCozyab則平行移軸公式為組合截面的慣性矩，慣性積例題：求梯形截面對其形心軸z軸的慣性矩。8020803565z208020803565z20解：將截面分成兩個矩形截面。8020803565z2020z2zhb9-5彎曲切應(yīng)力一，矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力FSyzhbFSy上式為

矩形截面梁對稱彎曲時橫截面上任一點處的切應(yīng)力計算公式。Iz—橫截面對中性軸的慣性矩b—矩型截面的寬度FS

—橫截面上的剪力Sz*—過求切應(yīng)力的點做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積A*

對中性軸的靜矩。zhbFSyA*zhbyA*FSzhbyA*FS可見，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。即在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處，切應(yīng)力等于零(=0)(2)y=0即在中性軸上各點處，切應(yīng)力達到最大值式中，

A=bh

,為矩形截面的面積。max矩形截面剪應(yīng)力沿截面高度的變化如圖所示。zhbFSy(1)橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)處，切應(yīng)力等于零(=0)(2)中性軸上各點處，切應(yīng)力達到最大值復(fù)習(xí)例9-9(P208):

矩形截面外伸梁如圖所示.試求:(1)橫截面1-1上點1處的應(yīng)力;(2)橫截面2-2上點2,3,4處的應(yīng)力bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122解：(1)點1處的應(yīng)力bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122bhzFF/2l/2h/43F/2ll/2l/412341122tbztdh二,工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力腹板1，腹板上的切應(yīng)力下翼緣上翼緣tbztdhA*

—過欲求應(yīng)力點的水平線，到截面邊緣的距離。FS—橫截面上的剪力。Iz

—橫截面對中性軸的慣性矩d—腹板的寬度Sz*

—面積A*對中性軸的靜矩A*切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布。最大的切應(yīng)力max仍發(fā)生在截面的中性軸上。maxtbztdhzz腹板腹板三,梁的切應(yīng)力強度條件對于等直梁,可寫作矩形截面梁一般梁，其強度主要受到按正應(yīng)力強度條件控制。所以在選擇截面尺寸或確定許可荷載時，都先按正應(yīng)力強度條件進行計算。(P213)例9-11：一簡支梁受四個集中荷載F1=120kN,F2=30kN,F3=40kN,F4=12KN。此梁由兩根槽鋼組成,已知梁的許用應(yīng)力

=170MPa,=100MPa。試選擇槽鋼型號。zyo0.60.40.40.32.4ABF1F2F3F4zyo0.60.40.40.32.4ABF1F2F3F4FAFB解：支座反力為FA=138kNFB=64kN0.60.40.40.32.4ABF1F2F3F4FAFBFS,max=138k-)(+)0.60.40.40.32.4ABF1F2F3F4FAFBMmax=62.4kN.m55.262.45438.4(+)（1）由正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為從型鋼表中選用20

號槽鋼能滿足正應(yīng)力強度要求55.262.45438.4(+-)(+)每一槽鋼所需要的抗彎截面系數(shù)為從型鋼表中選用20

號槽鋼能滿足正應(yīng)力強度要求55.262.45438.4(+-)(+)（1）由正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號20075100119（2）校核最大切應(yīng)力由于梁是由兩根槽鋼組成，故每一根槽鋼分擔(dān)的最大剪力為由型鋼表查得20號槽鋼的Iz=19100cm4。由此可見，所選的20號槽鋼滿足正應(yīng)力強度條件，也滿足切應(yīng)力強度條件，因而可用。一，基本概念1，取梁的左端點為坐標(biāo)原點，梁變形前的軸線為x

軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y

軸。§9-7撓度和轉(zhuǎn)角

xy2，度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量（1）撓度（

w）:橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。w（2）轉(zhuǎn)角（）：橫截面對其原來位置的角位移（橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角。

xyw

xy撓曲線撓曲線方程為（3）撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線

xy3,撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系

xyw4，撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度：向下為正，向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：自x

轉(zhuǎn)至切線方向，順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)。二，梁的撓曲線近似微分方程式橫力彎曲時,M

和都是x

的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,1，推導(dǎo)公式純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為由幾何關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作oxwMMoxwMM在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x軸水平向右為正,y軸豎直向下為正。曲線向上凸時:w''

>0,M<0曲線向下凸時：w''<0,M>0因此,

M

與w''的正負(fù)號相反此式稱為梁的撓曲線近似微分方程與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為2，積分法計算梁的位移再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程式中：積分常數(shù)C1

、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形連續(xù)性條件來確定。(1)邊界條件在簡支梁或外伸梁中，鉸支座處的撓度應(yīng)等于零。在懸臂梁中，固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都應(yīng)等于零。ABlABAB(2)連續(xù)性條件在撓曲線的任一點上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。ABAB例題：確定梁的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件ABCDFG連續(xù)條件：梁分段后，相鄰兩段在交界處的截面應(yīng)有相等的撓度和轉(zhuǎn)角。組合梁在光滑鉸鏈的左，右截面有相等的撓度，但轉(zhuǎn)角不一定相等。該組合梁分為AB，BC，CD，DF，F(xiàn)G

五段B

，C

，

D，

F

為界面。但是C，

F處為光滑絞鏈ABCDFGABCDFG

例9-12(P216)

：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax

和最大轉(zhuǎn)角max。yABxF解：彎矩方程為撓曲線的近似微分方程為xyABxF對撓曲線近似微分方程進行積分邊界條件為:將邊界條件代入上式得,C1=0,C2=0yABxF梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為max

及wmax都發(fā)生在自由端截面處yABxF例9-13

：圖示簡支梁抗彎剛度為EI的,在C點處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大的撓度和最

大的轉(zhuǎn)角。ABFCab解:梁的支反力為ABFCab兩段梁的彎矩方程分別為1xx2ABFCab兩段梁的撓曲線方程分別為撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程1(0xa)2(a

x

l

)彎矩方程邊界條件：x=l，w2=0x=0，w1=0C點的連續(xù)條件：x=a，ABFCab12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程1(0xa)2(a

x

l

)先將連續(xù)條件代入方程可解得:撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程1(0xa)2(a

x

l

)再將邊界連續(xù)條件代入方程可解得:x=l，w2=0x=0，w1=