【教案】對數(shù)函數(shù)的概念教學設(shè)計高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

《對數(shù)函數(shù)的概念》教學設(shè)計一、教材分析本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1第四章第4.4.1節(jié)《對數(shù)函數(shù)的概念》。對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學在指數(shù)函數(shù)之后的重要初等函數(shù)之一。對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，無論是研究的思想方法方法還是圖像及性質(zhì)，都有其共通之處。相較于指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象亦有其獨特的美感。學習中讓學生體會在類比推理，感受圖像的變化，認識變化的規(guī)律，這是提高學生直觀想象能力的一個重要的過程。為之后學習數(shù)學提供了更多角度的分析方法。培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。二、學情分析《對數(shù)函數(shù)的概念》是學生在學習了指數(shù)和對數(shù)的互化,以及對數(shù)的基本運算的基礎(chǔ)上,類比指數(shù)函數(shù)的研究方式進行研究的.但由于學生學習指數(shù)和對數(shù)的互化還不是很熟悉,尤其是對數(shù)的轉(zhuǎn)換學習程度較淺,對轉(zhuǎn)換后的量對應不好,在學習過程中難免會出現(xiàn)困難.另外學生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強。三、教學目標1．知識與技能（1）理解對數(shù)函數(shù)的概念；（2）了解對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；（3）理解和掌握對數(shù)的基本性質(zhì)，掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系。2．過程與方法（1）經(jīng)歷從數(shù)學史中引入對數(shù)的過程，讓學生理解引入對數(shù)的必要性；（2）通過對數(shù)的簡單運算，培養(yǎng)他們耐心、細心、嚴謹?shù)膶W習習慣；（3）在相互交流的過程中，養(yǎng)成學生表述、抽象、概括的思維習慣，培養(yǎng)學生自主探究的能力。3．情感態(tài)度與價值觀（1）通過數(shù)學史融入課堂教學讓學生體驗數(shù)學學習活動中的成功與快樂，增強他們的求知欲和學好數(shù)學的自信心；（2）經(jīng)歷對數(shù)式與指數(shù)式的互化，培養(yǎng)學生的類比分析、歸納能力；（3）在學習過程中培養(yǎng)學生探究的意識，理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)分析、解決問題的能力。四、教學重難點教學重點：對數(shù)函數(shù)的概念．教學難點：由指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，推理得到對數(shù)函數(shù)概念的過程．五、教學方法1.教學方法：以講授法為主，提問法，學生合作學習為輔。由教師來引導學生獨立思考，學生通過小組之間合作交流的方式了解對數(shù)函數(shù)的概念。通過小組討論，教師講授的方式，學生可以理解指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系。2.教學手段：本堂課借助PPT，幾何畫板與傳統(tǒng)教學相結(jié)合的方式與學生合作學習。六、教學過程（一）整體感知，明確任務引導語：在4.2節(jié)中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的問題．對這樣的問題，在引入對數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對其蘊含的規(guī)律作進一步的研究．設(shè)計意圖：明確本節(jié)課研究的內(nèi)容，以及和前面課程的關(guān)系．（二）新知探究1．研究具體問題，進行數(shù)學推理問題1：在4.2.1的問題2中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時間x的變化而衰減的規(guī)律是函數(shù)．進一步地，死亡時間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？你能設(shè)計一個方案來研究這個問題嗎？師生活動：學生討論交流，然后提出方案，由教師進行補充和完善．預設(shè)的答案：要判斷其是否為函數(shù)，首先要從函數(shù)的定義進行思考，然后考察其是否符合函數(shù)的定義．在考察的時候，一方面可以觀察圖象上進行定性的分析，另一方面可以依據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)進行定量的推理判斷．設(shè)計意圖：從另一個角度繼續(xù)研究碳14衰減的問題，讓學生感受到對數(shù)函數(shù)的實際背景，并建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，從而更好地理解對數(shù)函數(shù)．培養(yǎng)學生在解決一個數(shù)學問題時，首先應當做有條理的思考，然后制定方案，最后再實施，而不是盲目的亂做．追問1：解決這個問題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義．那么依據(jù)定義應該怎樣進行判斷呢？師生活動：教師引導學生先回憶函數(shù)的定義，然后確定判斷方法．預設(shè)的答案：函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．所以要判斷死亡時間x是否是碳14的含量y的函數(shù)，就要確定，對于任意一個y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數(shù)x和它對應．設(shè)計意圖：與通過抽象概括出指數(shù)函數(shù)的概念不同，這里是希望通過演繹推理得到對數(shù)函數(shù)的概念，因此就必須要有演繹推理的理論依據(jù)．圖1追問2：若已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？如圖1，觀察的圖象，過y軸正半軸上任意一點(0，y0)（0＜y0≤1）作x軸的平行線，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，這條平行線與的圖象有幾個交點？這說明對任意一個y∈(0，1]，都有幾個x與其對應？能否將x看成是y的函數(shù)？圖1師生活動：觀察圖像，從圖象上看，這條平行于x軸的直線，與的圖象至少有一個交點(x0，y0)，又因為指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以這個交點是唯一的交點．這個交點的意義是，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y0，則可以找到與其對應的唯一的一個死亡時間x0．這說明對任意一個y∈(0，1]，在[0，+∞)上都有唯一確定的數(shù)x和它對應．所以x也是y的函數(shù)．設(shè)計意圖：可以讓學生先從圖象上獲得直觀認識，然后回到函數(shù)的定義，幫助學生深入理解對數(shù)函數(shù)的概念．追問3：能否求出生物死亡年數(shù)隨體內(nèi)碳14含量變化的函數(shù)解析式？師生活動：學生獨立完成，個別提問回答．預設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算關(guān)系，可以將這種對應關(guān)系，改寫為．習慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)值，于是就得到函數(shù)，它刻畫了時間y隨碳14含量x的衰減而變化的規(guī)律．設(shè)計意圖：通過對一個具體實例的分析，得到一個具體的對數(shù)函數(shù)．為后面得到一般的對數(shù)函數(shù)作鋪墊．2．演繹推理，形成對數(shù)函數(shù)的定義問題2：對一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算關(guān)系，轉(zhuǎn)換成x=logay(a＞0，且a≠1)，能否將x看成是y的函數(shù)？師生活動：利用解決問題1的經(jīng)驗，先由學生解答這個問題，然后教師予以補充完善．預設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當0＜a＜1時，y=ax單調(diào)遞減；當a＞1時，y=ax單調(diào)遞增．所以考慮一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，對任意一個y∈(0，+∞)，都有唯一確定的數(shù)x和它對應．因此，x也是y的函數(shù)．教師講解：通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù)．為此，可將x=logay(a＞0，且a≠1)改寫為：y=logax(a＞0，且a≠1)．這就是對數(shù)函數(shù)．設(shè)計意圖：按照問題1的解決方案，分析一般的指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過演繹推理得到一般的對數(shù)函數(shù)的解析式．追問：如果用解析式法表示一個函數(shù)，除了要確定其解析式，還要確定其定義域，才能確定下來這個函數(shù)．現(xiàn)在我們已經(jīng)確定了一般的對數(shù)函數(shù)的解析式為y=logax(a＞0，且a≠1)，那么通過與指數(shù)函數(shù)對比，你能給出一般的對數(shù)函數(shù)的定義域嗎？師生活動：學生獨立思考，個別提問回答．預設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域可知，在對數(shù)函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(0，+∞)．于是就得到了：定義：一般地，函數(shù)y=logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmicfunction），其中x是自變量，定義域是(0，+∞)．設(shè)計意圖：兩個函數(shù)如果解析式相同，但定義域不同，那么它們是兩個不同的函數(shù)．強調(diào)函數(shù)定義域的重要性，引起學生的重視．在與指數(shù)函數(shù)對比的基礎(chǔ)上，建立關(guān)聯(lián)，得出包含定義域的對數(shù)函數(shù)的完整定義．3．初步應用，深化理解例1求下列函數(shù)的定義域：（1）y=log3x2；（2）y=loga(4-x)(a＞0，且a≠1)．追問：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？師生活動：教師利用追問引導學生思考，學生獨立完成后展示交流．預設(shè)的答案：求解的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，且a≠1)的定義域(0，+∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4-x)的取值范圍就是(0，+∞)，于是得到不等式，將定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題，進而求出定義域．解：（1）因為x2＞0，即x≠0，所以函數(shù)y=log3x2的定義域是{x|x≠0}．（2）因為4-x＞0，即x＜4，所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是{x|x＜4}．設(shè)計意圖：通過求對函數(shù)的定義域，進一步理解對數(shù)函數(shù)定義域的特殊性．在中學階段，對數(shù)函數(shù)是為數(shù)不多的定義域不是實數(shù)集R的函數(shù)，這屬于一個特殊情況．此前遇到的特殊情況還包括分母不能為0，二次根式的被開放數(shù)不能為負數(shù)．可以前后形成對比，加深對函數(shù)定義域和一些特殊情況的理解．例2假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過y年后的物價為x．（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律．物價x12345678910年數(shù)y0師生活動：學生獨立完成，教師引導學生，順著題意，理清思路．預設(shè)的答案：對于（1），先寫出x關(guān)于y的函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為y關(guān)于x的函數(shù)．對于（2），利用計算工具，快速填好表格，探索發(fā)現(xiàn)，隨著x的增長，y的增長在減緩．解：（1）由題意可知，經(jīng)過y年后物價x為x=(1+5%)y，即x=1.05y(y∈[0，+∞))．由對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得y=log1.05x，x∈[1，+∞)．由計算工具可得，當x=2時，y≈14．所以，該地區(qū)的物價大約經(jīng)過14年后會翻一番．（2）根據(jù)函數(shù)y=log1.05x，x∈[1，+∞)，利用計算工具，可得下表：物價x12345678910年數(shù)y0142328333740434547由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價隨時間的增長而增長，但大約每增加1倍所需要的時間在逐漸縮小．設(shè)計意圖：通過利用對數(shù)函數(shù)概念解決實際問題，理解對數(shù)函數(shù)的概念，進一步了解對數(shù)函數(shù)的實際意義，初步體會對數(shù)增長的特點，為后面的課程內(nèi)容作鋪墊．（三）歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題3：回顧本節(jié)課，談談我們是怎么得到對數(shù)函數(shù)概念的？對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實背景是什么？師生活動：學生討論交流，教師予以完善．預設(shè)的答案：（1）本節(jié)課我們先通過4.2.1的問題2中所闡述的實際問題，利用圖象上x與y的對應關(guān)系，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，理解x也是y的函數(shù)，再利用指數(shù)與對數(shù)的運算關(guān)系依據(jù)函數(shù)的定義，從交換自變量與函數(shù)值“地位”的方向進行研究，得到對數(shù)函數(shù)的概念．（2）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是密不可分的．對于呈指數(shù)增長或衰減變化的問題，我們可以用指數(shù)函數(shù)進行描述，還可以從對數(shù)函數(shù)的角度進行描述，從而能夠更全面地研究其中蘊含的規(guī)律．設(shè)計意圖：得到對數(shù)函數(shù)概念的基本過程，是函數(shù)研究的基本路徑“背景—概念—圖象和性質(zhì)—應用”中的“背景—概念”環(huán)節(jié)．通過不斷重復這一過程，使學生逐步掌握研究一個數(shù)學對象的基本方法．明確對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實背景，可以使學生明白這類函數(shù)區(qū)別于其他初等函數(shù)的主要特征，為研究對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)和應用奠定基礎(chǔ)．作業(yè)布置：．1．求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）(a＞0，且a≠1)．設(shè)計意圖：通過對數(shù)函數(shù)與分式、絕對值等多種形式的結(jié)合，進一步體會對數(shù)函數(shù)定義域的特殊性，考察學生對其定義域的理解．2．畫出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）．設(shè)計意圖：通過對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結(jié)合，進一步體會對數(shù)函數(shù)定義域的特殊性，并通過圖象直觀反映出這種特殊性，考察學生對其定義域的理解．3．已知集合A={1，2，3，4，…}，集合B={2，4，8，16，…}，下列函數(shù)能體現(xiàn)集合A與集合B對應關(guān)系的是________．①；②；③；④．設(shè)計意圖：通過列數(shù)據(jù)的方式，將對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)進行對比，考察學生對對數(shù)函數(shù)概念的理解．參考答案：1．（1）．（2）．（3）．（