圓心角、弦、弧的關(guān)系

2023/5/27圓心角、弦、弧的關(guān)系1課堂講解圓心角及它所對(duì)弧的度數(shù)關(guān)系圓心角定理圓心角定理的推論2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1知識(shí)點(diǎn)圓心角及它所對(duì)弧的度數(shù)的關(guān)系知1－導(dǎo)頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角(centralangle).如圖，(1)和(4)所示的∠AOB為⊙O的圓心角，(2)和(3)所示的∠APB不是⊙O的圓心角.圓的每一個(gè)圓心角都對(duì)應(yīng)一條弦和一條弧.相等的兩個(gè)圓心角所對(duì)應(yīng)的兩條弦之間以及兩條弧之間具有怎樣的關(guān)系呢？定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．一個(gè)角是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征．要點(diǎn)精析：圓心角的條件：(1)頂點(diǎn)在圓心；(2)兩邊和圓相交．拓展：(1)1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°的?。@樣，n°的圓心角所對(duì)的弧就是n°的弧．(2)圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)是一致(或相等)的，即圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．注意這里僅指度數(shù)相等.知1－講（來自《點(diǎn)撥》）[中考·菏澤]如圖，在Rt△ABC中，∠A＝25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為________．知1－講例1導(dǎo)引：連接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度數(shù)為50°50°（來自《點(diǎn)撥》）結(jié)論知1－講（來自《點(diǎn)撥》）根據(jù)弧的度數(shù)與該弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)相等，在求弧的度數(shù)時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為求該弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．[中考·麗水]如圖，圓心角∠AOB＝20°，將旋轉(zhuǎn)n°得到，則的度數(shù)是________°.知1－練（來自《點(diǎn)撥》）下面四個(gè)圖形中的角，是圓心角的是()如圖，AB為⊙O的弦，∠A＝40°，則所對(duì)的圓心角等于()A．40°B．80°C．100°D．120°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2知識(shí)點(diǎn)圓心角定理知2－導(dǎo)如圖，在⊙O中，∠AOB=∠COD.(1)猜想弦AB，CD以及之間各具有怎樣的關(guān)系.(2)請用圖形的旋轉(zhuǎn)說明你的猜想.事實(shí)上，設(shè)∠AOC=α，將△AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，則AO與CO重合，BO與DO重合.從而AB與CD重合，重合.所以AB=CD，結(jié)論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧也相等.知2－講例2如圖所示，AB和CD是兩條直徑，弦CE∥AB，求證：弧AD=弧AE.分析：要證明弧AD=弧AE，需證明∠AOD=∠AOE，由已知CE∥AB，所以∠AOD=∠OCE，∠AOE=∠OEC，又因?yàn)镺C=OE，可以知道∠OCE=∠OEC.證明：連接OE.∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC.∵CE∥AB，∴∠AOD=∠OCE，∠AOE=∠OEC，∴∠AOD=∠AOE，∴弧AD=弧AE.本題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓心角、弧、弦間的關(guān)系，推出角相等，有角相等得弧相等.總結(jié)知2－講1如圖，在⊙O中，.求證：AC=BD.知2－練（來自《教材》）知2－練2下列命題是真命題的是()A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等B．相等的圓心角所對(duì)的弦相等C．在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角是圓心角如圖，AB是⊙O的直徑，若∠COA＝∠DOB＝60°，則與線段AO長度相等的線段有()A．3條B．4條C．5條D．6條（來自《典中點(diǎn)》）3知識(shí)點(diǎn)圓心角定理的推論知3－導(dǎo)在同圓或等圓中，若兩條弧(或弦)相等，則它們所對(duì)的圓心角是否相等，所對(duì)的弦(或弧)是否相等？試說明理由.在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及其所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等.結(jié)論知3－導(dǎo)知3－講例3已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M，N分別在AO，BO上，CM⊥AB，DN⊥AB，分別交⊙O于點(diǎn)C，D，且求證：CM=DN.證明：如圖，連接OC，OD.

在Rt△CMO和Rt△DNO中，

∴CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO=∠DNO=90°.又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN.（來自《教材》）在同一個(gè)圓中，弧、弦和圓心角中只要有一組量相等，就能推出另兩組量相等．線段有和差，弧也有和差．總結(jié)知3－講（來自《點(diǎn)撥》）知3－練1如圖所示，在⊙O中，，則在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④中，正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4（來自《點(diǎn)撥》）知3－練在⊙O中，M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，如果OM＝ON，那么在結(jié)論：①AB＝CD；②③∠AOB＝∠COD中，正確的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【中考·蘭州】如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∠A＝50°，則∠BOC＝()A．40°B．45°C．50°D．60°（來自《典中點(diǎn)》）