下載211海南省教育研究培訓(xùn)院海南教研網(wǎng)

27五月2023下載211海南省教育研究培訓(xùn)院海南教研網(wǎng)1．函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的充分條件

一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y′＞0，那么函數(shù)y＝f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)y′＜0，那么函數(shù)y＝

f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)．2．極大值

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜

f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值＝f(x0)，x0是極大值點．3．極小值

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞

f(x0)．就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值＝f(x0)，x0是極小值點．4．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個開區(qū)間，并列成 表格檢查．f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值．5．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值．1．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析：(x－1)f′(x)≥0，或①函數(shù)y＝f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，

f(2)>f(1)，∴f(0)＋f(2)>2f(1)．②函數(shù)y＝f(x)可為常數(shù)函數(shù)，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故選C項．答案：C2．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0 C．2 D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比較f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，選C項． 答案：C3．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：f′(x)>0單調(diào)遞增，f(x)′<0單調(diào)遞減．f′(x)＝0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由題中圖象可知只有1個極小值點．答案：A4．(2010·開封高三月考)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的大致圖象如右圖，則等于()解析：由題圖可知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0，解得：b＝－1，c＝－2，d＝0，則f′(x)＝3x2－2x－2，則

答案：C

此類題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性的判定以及單調(diào)性的應(yīng)用，是高考考查的重點，考題可能以小題形式出現(xiàn)，也可以以中檔大題形式出現(xiàn)．應(yīng)注意函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，則f′(x)＞0是函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上遞增的充分條件，并非充要條件．【例1】設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)都是增函數(shù)，求a的取值范圍．解答：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判別式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.(1)若Δ＝12－8a2＝0，即a＝±.當(dāng)x∈(－∞，)或x∈(，＋∞)時，

f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)為增函數(shù)．所以a＝±.(2)若Δ＝12－8a2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)為增函數(shù)．(3)若Δ＝12－8a2>0，即，令f′(x)＝0，解得

當(dāng)x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)．依題意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得從而a∈[1，)．綜上，a的取值范圍為

變式1.設(shè)x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解答：(1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由假設(shè)知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0，解得a＝，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)時，f′(x)＞0當(dāng)x∈(－2，－1)∪(1,2)時，f′(x)＜0，因此f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)，

f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(－2，－1)，(1,2)．1.此類題主要考查求函數(shù)的極值以及極值的應(yīng)用，經(jīng)常與單調(diào)性、最值知識結(jié)合應(yīng)用于與函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，高考時可以以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，也可出現(xiàn)在中檔大題中．2．應(yīng)注意函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，且函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極值，則

f′(x0)＝0.3．要特別關(guān)注三次函數(shù)的單調(diào)性和極值問題．【例2】已知函數(shù)f(x)＝x(x－a)(x－b)在x＝s，x＝t處取到極值，其中a>0，b>0.(1)設(shè)A(s，f(s))，B(t，f(t))，求證線段AB中點在曲線y＝f(x)上；(2)若a＋b<2，判斷過原點且與曲線y＝f(x)相切的兩條直線是否垂直．解答：(1)f(x)＝x(x－a)(x－b)＝x3－(a＋b)x2＋abx，

f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，由已知條件即則3(s2－t2)－2(a＋b)(s－t)＝0，∴s＋t＝，∴線段AB中點在曲線y＝f(x)上．(2)設(shè)過原點且與曲線y＝f(x)相切的直線與曲線的切點為(t，t3－(a＋b)t2＋abt)，則

＝3t2－2(a＋b)t＋ab，整理得t＝，或t＝0(舍去)．

則過原點的與曲線y＝f(x)相切的兩條直線的斜率分別為ab，

因此過原點且與曲線y＝f(x)相切的兩條直線不垂直．變式2.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，且f(1)＝0，f′(1)＝2.(1)求a、c、d的值；(2)在y＝f(x)的圖象C上任取一點P，在點P處的切線l與曲線C的另一個交點為Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，線段PQ的中點R的縱坐標(biāo)為u.①用t表示u；②當(dāng)t>0時，求u的最大值．解答：(1)∵f(x)＝ax3＋cx＋d，∴f′(x)＝3ax2＋c.根據(jù)已知條件即解得(2)由f(x)＝x3－x，f′(x)＝3x2－1，P點坐標(biāo)(t，t3－t)，①②聯(lián)立整理得(x－t)2(x＋2t)＝0，則Q點坐標(biāo)為(－2t，－8t3＋2t)，要注意區(qū)分函數(shù)最大(小)值與函數(shù)極值的區(qū)別、聯(lián)系．函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，是局部性概念，而函數(shù)的最大(小)值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，是對整個定義域而言的．在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大(小)值，是開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有極大(小)值與f(a)、f(b)中的最大(小)值．【例3】請您設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀

是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如圖所示)．試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？解答：由題圖，設(shè)OO1為xm，則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(單位：m)：于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)：帳篷的體積為(單位：m3)：求導(dǎo)數(shù)，得令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合題意，舍去)，x＝2.當(dāng)1<x<2時，V′(x)>0，V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時，V′(x)<0，V(x)為減函數(shù)．

所以當(dāng)x＝2時，V(x)最大．當(dāng)OO1為2m時，帳篷的體積最大.

1．在利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性時要注意結(jié)論“若y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f′(x)＞0，則f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)”的使用方法．此結(jié)論并非充要條件如f(x)＝x3.在(－∞，＋∞)上是遞增的，但f′(0)＝0；因此已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)關(guān)系式中字母范圍時，要對f′(x)＝0處的點進行檢驗．2．若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較其中最大的是最大值，最小的是最小值；(3)特殊地對于開區(qū)間內(nèi)的單峰函數(shù)極大值即為函數(shù)的最大值，極小值即為函數(shù)的最小值.

【方法規(guī)律】

(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.(1)試用含a的代數(shù)式表示b；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)令a＝－1，設(shè)函數(shù)f(x)在x1，x2(x1<x2)處取得極值，記點M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))，證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點.解答：(1)由已知f′(x)＝x2＋2ax＋b，又f′(－1)＝0，則1－2a＋b＝0，即b＝2a－1.(2)f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋2a－1)(x＋1)．若－(2a－1)＝－1即a＝1，f′(x