直觀圖課件完整版

§2

直觀圖

【課標(biāo)要求】新課程標(biāo)準(zhǔn):會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.教學(xué)目標(biāo):1.掌握斜二測畫法的步驟.2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖.3.通過觀察直觀圖,了解空間幾何體的表示形式,進(jìn)一步認(rèn)識幾何體的結(jié)構(gòu)特征.4.培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).【思維脈圖】

【自主預(yù)習(xí)】1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的三個(gè)步驟

45°水平面x′軸y′軸保持原長度不變2.立體圖形直觀圖畫法的四個(gè)步驟z′軸平行性及長度不變平面x′o′y′y′o′z′x′o′z′【思維辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)用斜二測畫法畫直觀圖時(shí),在原圖y軸上長為4的線段,在直觀圖中的長度為4. (

)(2)正方形的直觀圖仍是正方形. (

)(3)空間幾何體的直觀圖一定唯一. (

)【提示】(1)×.用斜二測畫法畫直觀圖時(shí),在原圖y軸上長為4的線段,在直觀圖中的長度減半應(yīng)為2.(2)×.正方形的直觀圖是平行四邊形.(3)×.不一定唯一.作直觀圖時(shí),由于選軸不同,所畫直觀圖就不一定相同.

【自主總結(jié)】1.斜二測畫法強(qiáng)調(diào)的兩種數(shù)量關(guān)系(1)角的變化:在平面xOy中,原圖形中與x軸垂直的線段,在斜二測畫法中畫成與x′軸成45°的線段.(2)長度的變化:原圖形中與y軸平行的線段長度減半,與x軸或z軸平行的線段長度不變.2.直觀圖中的“變”與“不變”(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí),一般說來,平行關(guān)系不變.(2)點(diǎn)的共線性不變,線的共點(diǎn)性不變,但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化).(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化.因此圖形的形狀發(fā)生變化,這種變化,目的是為了使圖形富有立體感.提醒:用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形要注意坐標(biāo)系的選取.

【自主檢測】

1.用斜二測畫法得到:(1)正方形在直觀圖中是矩形.(2)等腰梯形在直觀圖中仍然是等腰梯形.(3)菱形的直觀圖仍然是菱形.上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.利用斜二測畫法,上面說法沒有一個(gè)正確.2.若一個(gè)三角形采用斜二測畫法,得到的直觀圖的面積是原三角形面積的 (

)

【解析】選A.底不變,只研究高的情況即可.3.在棱長為4cm的正方體ABCD-A1B1C1D1中,作直觀圖時(shí),棱AA1在x軸上,棱AD在y軸上,則在其直觀圖中,對應(yīng)棱A′D′的長為_____cm,棱A′A1′的長為________cm.

【解析】在x軸上的線段長度不變,故A′A1′=4cm,在y軸上的線段變成原來的一半,故A′D′=2cm.答案:2

4類型一平面圖形的直觀圖的畫法【典例】1.如圖所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4),則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中,頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為(

)

2.畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.

世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號13136003【思路導(dǎo)引】按照___________畫水平放置的平面圖形的畫法規(guī)則和步驟進(jìn)行計(jì)算和畫圖.斜二測畫法【解析】1.選A.由斜二測畫法規(guī)則畫出直觀圖如圖所示,作B′E⊥x′軸于點(diǎn)E,在Rt△B′EC′中,

B′C′=2,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′sin45°=2.(1)如圖(1)所示,取AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,再建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.

(2)在圖(2)中,以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′=AB.(3)在y′軸上取O′E′=OE,以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸,并使C′D′=CD.(4)連接B′C′,D′A′,去掉輔助線,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.如圖(3)所示.【方法技巧】畫平面圖形的直觀圖的技巧(1)在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行,且與x′軸平行的線段長度不變,與y′軸平行的線段長度減半.(2)原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線.畫端點(diǎn)時(shí),過端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段,再借助所作的平行線段確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置.(3)原圖中的曲線可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑曲線連接而畫出.提醒:畫直觀圖時(shí),要注意選擇適當(dāng)位置建系,使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.【變式訓(xùn)練】利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖,正確的是圖中的 (

)【解析】選C.正方形的直觀圖是平行四邊形,且平行于x軸的邊長為3,平行于y軸的邊長為1.5.【補(bǔ)償訓(xùn)練】畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.【解析】①過點(diǎn)C作CE⊥x軸,垂足為E,如圖(1)所示,畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸,使∠x′O′y′=45°,如圖(2)所示.②如圖(2)所示,在x′軸上取點(diǎn)B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′軸上取一點(diǎn)D′,使得O′D′=OD;過E′作E′C′∥y′軸,使E′C′=EC.③連接B′C′,C′D′,并擦去輔助線,如圖(3)所示,四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖.類型二空間幾何體的直觀圖【典例】1.如圖所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的,其中正確的是(

)

2.畫正六棱柱(底面是正六邊形,側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖.(底面邊長尺寸不作要求,側(cè)棱長為2cm) 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號13136004【思路導(dǎo)引】本題所要判斷和畫的是空間圖形,所以要先畫_____,即先按照水平放置的_________________的畫法畫出底面,再畫_____,最后成圖.底面平面圖形的直觀圖側(cè)棱【解析】1.選A.根據(jù)把模型放在水平視線的左下角繪制的特點(diǎn),并且由幾何體的直觀圖畫法及立體圖形中虛線的使用知A正確.2.畫法:(1)畫軸.畫x′軸、y′軸、z′軸,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.

(2)畫底面.根據(jù)x′軸,y′軸,畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱.過A,B,C,D,E,F各點(diǎn)分別作z′軸的平行線,在這些平行線上分別截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′都等于側(cè)棱長2cm.(4)成圖.順次連接A′,B′,C′,D′,E′,F′,并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到正六棱柱的直觀圖.【方法技巧】1.畫空間幾何體的直觀圖的四個(gè)步驟(1)畫軸:通常以高所在直線為z軸建系.(2)畫底面:根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面.(3)確定頂點(diǎn):利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn).(4)連線成圖.2.利用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖應(yīng)遵循的原則(1)畫空間幾何體的直觀圖在要求不太嚴(yán)格的情況下,長度和角度可適當(dāng)選取,為了增強(qiáng)立體感,被擋住的部分通常用虛線表示.(2)畫法規(guī)則可簡記為:兩軸夾角為45°,豎軸垂直仍不變,平行不變,長度變,橫豎不變,縱折半.(3)畫空間幾何體的直觀圖,要注意選取適當(dāng)?shù)脑c(diǎn),建系畫軸.提醒:注意直觀圖與原圖之間各線段的數(shù)量關(guān)系變化.【變式訓(xùn)練】畫出底面是正方形,側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.【解析】畫法:(1)畫軸.畫Ox軸,Oy軸,Oz軸,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如圖.

(2)畫底面.以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi),畫出正方形的直觀圖ABCD.(3)畫頂點(diǎn).在Oz軸上截取OP使OP的長度等于原四棱錐的高.(4)成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖.【補(bǔ)償訓(xùn)練】用斜二測畫法畫底面半徑為1cm,高為3cm的圓錐的直觀圖.【解析】畫法如下:(1)畫x′軸和y′軸,兩軸交于點(diǎn)O′,使∠x′O′y′=45°.(2)分別在x′軸、y′軸上以O(shè)′為中心,作A′B′=2cm,C′D′=1cm,用曲線將A′,C′,B′,D′連起來得到圓錐底面(圓)的直觀圖.(3)畫z′軸,在z′軸方向上取O′S=3cm,S為圓錐的頂點(diǎn),連接SA′,SB′.(4)擦去輔助線,得圓錐的直觀圖.

類型三直觀圖的還原及有關(guān)計(jì)算【典例】如圖所示,一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)底角為45°、腰和上底長均為1的等腰梯形,求原平面四邊形的面積. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號13136005【思路導(dǎo)引】分別以B′C′,A′B′所在的直線為____________,畫出該直觀圖的對應(yīng)圖形,然后求面積.x′軸,y′軸【解析】如圖(1)是四邊形的直觀圖,取B′C′所在直線為x′軸.因?yàn)椤螦′B′C′=45°,所以取B′A′所在直線為y′軸.過D′作D′E′∥A′B′,D′E′交B′C′于E′,則B′E′=A′D′=1.又因?yàn)樘菪螢榈妊菪?所以△E′D′C′為等腰直角三角形,所以E′C′=.再建立一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy,則O,B重合,如圖(2)所示,在x軸上截取線段BC=B′C′=1+,在y軸上截取線段BA=2B′A′=2.過A作AD∥BC,截取AD=A′D′=1.連接CD,則四邊形ABCD就是四邊形A′B′C′D′的平面圖形.四邊形ABCD為直角梯形,上底AD=1,下底BC=1+,高AB=2,所以S梯形ABCD=AB·(AD+BC)=×2×(1+1+)=2+.【延伸探究】1.本例已知條件不變,求原平面四邊形的周長.【解析】由本例解題過程可知,原平面四邊形是直角梯形ABCD,上底AD=1,下底BC=1+,高AB=2,腰CD=

所以直角梯形ABCD的周長為1+(1+)+2+=4++.2.本例中題設(shè)條件改為“一個(gè)平行四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形”,則結(jié)果是什么?【解析】由題意知,平行四邊形的直觀圖為:對應(yīng)在直角坐標(biāo)系下的圖形為:所以平行四邊形的面積為S′=2××a×2a=2a2.【方法技巧】直觀圖還原為平面圖的方法及有關(guān)計(jì)算(1)由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn):①平行x′軸的線段長度不變,平行y′軸線段變?yōu)樵瓉淼?倍;②對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過作x′軸,y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置.(2)一個(gè)平面圖形的面積與其斜二測畫法所畫直觀圖的面積之間的關(guān)系是

【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示是直觀圖,則其平面圖形的面積為 (

)

A.3

B.

C.6