浙江省高考數(shù)學(xué)優(yōu)編增分練解答題突破練(五)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(五)數(shù)導(dǎo)1．(2018·浙江省臺(tái)州中學(xué)模)設(shè)函數(shù)fx)＝＋＋(≠0)，曲線yfx過(guò)點(diǎn)(0,2a＋3)，且在(－1，(1))的切線垂直于y軸(1)用分表示b和c；(2)當(dāng)bc取得最小值時(shí)，求函數(shù)g()＝()ex的單調(diào)區(qū)間．解(1)′(＝ax＋，由題意

則＝，c＝a＋3(2)由(1)得bc＝(2＋3)＝44

9－，439故當(dāng)＝－時(shí)bc取得最小值－，4433此時(shí)有b－，＝，2233333從而(＝－x－＋，′()＝－x，42222333(x)＝－)e＝＋－223所以′()＝－(－4)e，4令′()＝0，解得x＝－2，＝當(dāng)∈(∞，2)時(shí)，gx)<0，故()在－∞，－上減函數(shù)；當(dāng)∈(2,2)時(shí)，′()>0，故()在－2,2)上為增函數(shù)；當(dāng)∈(2，＋∞)，′(x，故(在(，＋∞)為減函數(shù)．由此可見(jiàn)，函數(shù)g()的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2)(2，＋∞)單調(diào)遞增區(qū)間(－2,2)．2．(2018·浙江省溫州六校協(xié)作聯(lián)已知函數(shù)()＝(－)(k≠0)．(1)當(dāng)＝時(shí)，求y＝x)在＝處切線方程；1(2)對(duì)任意x∈，(x)≤恒成立，求實(shí)數(shù)k的值范圍．k解(1)當(dāng)k2時(shí)，()e(2－．∵′()＝(2－)e＝(3－)，∴′(1)e，又＝，∴所求的切線方程為－＝(－1)即＝

x.

kkkkkkkkkkkk1(2)方法一∵e(－)≤k1∴當(dāng)＝時(shí)0≤，k>0，k∴對(duì)任意x∈，(－)≤e

恒成立，設(shè)()＝－，′()＝－e＋＝(1－)，當(dāng)<0時(shí)，′()<0當(dāng)>0，′()>0，∴(在－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上增函數(shù)，∴()＝g(0)＝1－≥0又>0，∴0<≤1.11方法二對(duì)意x∈Rf)≤恒成()≤，∈kk∵′()＝e(－)－e＝(－－，11當(dāng)<0，≥－時(shí)′()≥0x<k－時(shí)，f′()<0kk11∴(在－數(shù)，，＋

上是增函數(shù)．1又當(dāng)→－∞時(shí)()→＋∞，而<0，k1∴與()≤成立矛盾，∴k<0不足條件；k11當(dāng)>0，≤－時(shí)′()≥0x>k－時(shí)，f′()<0kk11∴(在－數(shù)，，＋

上是減函數(shù)．1∴()＝

＝

e

k

11·≤，∴

－1≤0，即－≤≤1，又>0，∴0<≤1，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取范圍是0,1]3．函數(shù)f(x＝ln－

＋b－1)x，(x＝－.(1)當(dāng)＝時(shí)，函數(shù)f(有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值范圍；(2)若＝f(x在點(diǎn)(1，(1))處的切線與軸平，且函數(shù)hx＝()(x在∈(1，＋∞)時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線傾斜角均為銳角，求實(shí)數(shù)a的取范圍．解(1)當(dāng)b0時(shí)，()xln－ax－，′()＝lnx－ax

1xxx1xxx∴(＝xlnx－有2極值點(diǎn)就是方程ln－2ax＝2個(gè)同的解，ln即＝與m(x)的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)．x1－lnx∵′()＝，x當(dāng)∈(0e)時(shí)，′(，(x)單遞增；當(dāng)∈(e，＋∞)，′(x，(x單調(diào)遞減．1∴(有極大值，e又∵x∈(0,1]時(shí)，m()；1當(dāng)∈(1，＋∞)，0<m(x.e1當(dāng)∈，

lnx時(shí)，＝a與m)的圖象的交點(diǎn)有0個(gè)；x1lnx當(dāng)∈(∞0]或＝時(shí)，＝與(x)＝的圖象的交點(diǎn)有個(gè)；2e1當(dāng)∈

lnx時(shí)，＝a與mx)＝的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)．x綜上，實(shí)數(shù)a的取范圍為2e

.(2)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)1，(1))的切線與x軸行，∴′(1)0(1)≠0，∵′()＝－2axb，∴＝且≠1.(x)＝lnx

＋b－1)x＋

－∈(1＋∞)，其圖象的每一點(diǎn)處的切線的傾斜角均為銳角，即當(dāng)>1，′()＝′()＋′()>0恒成，即lnx＋－ax＋－恒成立，令()＝lnxe2＋－，1∴′()＝＋－，x11設(shè)φ()＝＋e－a，φ′()＝e－，1∵>1，∴e>e，<1，x∴φ′()>0，∴φ()(1，＋上單調(diào)遞增，

1a1a1a11a1a1a1ae即′()在(1，＋∞)上調(diào)遞增，∴′()>′(1)＋e－2，1＋e當(dāng)≤且≠1時(shí)，′()≥0，2∴(＝lnx＋－ax2a－e在(，＋∞)上單調(diào)遞增，∴()>(1)0成，1＋e當(dāng)>時(shí)2∵′(1)1＋－2<0，1′(ln＝＋a－>0，ln2∴存在x∈(1ln)，滿足′()＝0.∵′()在1，＋上單調(diào)遞增，∴當(dāng)∈(1，)，′()<0，(單調(diào)遞減，∴()<(1)0，()>0恒成立．1＋∴實(shí)數(shù)a的值范圍(－∞∪24．知函數(shù)fx＝－＋a.(1)討論f()的單調(diào)性；(2)設(shè)，x是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)證明＋>4.(1)解′()＝1＋e，當(dāng)≥0時(shí)′()>0則(x在R上調(diào)遞增．當(dāng)<0時(shí)，′()>0得

，則()的單調(diào)遞增區(qū)間為ln

，令′()<0，得>ln則()的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明由)＝得a＝

1－，e1－x－2設(shè)()＝，′()＝.ee由′()<0，得<2；由gx)>0，得x>2.1故()＝g(2)＝－<0.

當(dāng)>1時(shí)，(x)<0，當(dāng)x時(shí)，g(x)>0，不妨設(shè)x<，則∈(1,2)∈(2＋∞)x>4等價(jià)x>4x，∵4－>2且gx在2，＋上調(diào)遞增，∴要證x＋>4只需證g(xg(4－)，∵(＝(x)，1－－3∴只需證gx)>(4－)，即>，4即證e

2

(－3)＋－1<0；設(shè)()＝e(x－＋－，∈(1,2)，則′()＝e

(2－＋，令()＝h′(，則′()＝

(－，∵∈(1,2)，′(，∴(在(1,2)上單調(diào)遞減，即′()在(1,2)上調(diào)遞減，∴′()>′(2)，∴(在(1,2)上單調(diào)遞增，∴()<(2)，∴e

2

－)

＋－，從而＋>4得．a(chǎn)＋lnx5．知函數(shù)fx＝，)＝.x(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)＝時(shí)，()gx)恒立，求實(shí)數(shù)的值范圍；11(3)當(dāng)＝時(shí)，求證：當(dāng)>1時(shí)(＋1)ea＋lnx(1)解()＝的定義域?yàn)?，＋∞)，x1－1－x－a且′()＝＝.xx由′()>0得1－－a>0，即lnx－，解得0<<e，∴(在(，e

)上單調(diào)遞增，(e，＋∞)單調(diào)遞減．

xx11(3)證明(＋1)xxe＋1x1xx11(3)證明(＋1)xxe＋1x11即x＋f()>2ln(2)解＝，(＝，xlnxlnx∴()≤)≤m，lnx1－x令()＝，u′()＝，x由′()>0得0<<e∴(在(，e)上單遞增，在(e，＋∞)上調(diào)遞減，∴()＝u(e)＝

lne11＝，≥.e2e2eee

，12e等價(jià)于·>.e＋1－lnx令()＝，p′()，xx1－1令φ()＝－lnx，則′(＝－＝，∵>1，φ)>0∴φ()(1，＋上單調(diào)遞增，φ()>(1)1>0′()>0∴(在(，＋∞)上單調(diào)遞增，∴()>(1)，∴

p2>，e＋1e＋2e令()＝，xe＋2e則′()＝，1∵>1，∴1e<0∴′()<0，x)在1，＋上調(diào)遞減，2∴當(dāng)>1，(x＝，e＋1∴

p2>>(x)，e＋1e＋e

，>1.6．知函數(shù)fx＝＋ax3|－，a

3a33a33aaa3a33a33aaa(1)求函數(shù)yf()的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)∈(0,5)時(shí)，對(duì)于任意x∈[0,1]，存∈[0,1]，使()fx＝0，求實(shí)數(shù)a的值解(1)()x＋ax－－a＝

－，≥，，≥，則′()＝當(dāng)

a3≥，即≥3時(shí)，3a函數(shù)＝x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

－

a3，遞區(qū)間為3

－∞，－

；當(dāng)

a3<，即0<<3時(shí)，3函數(shù)＝x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

－

a，3

a3

，單調(diào)遞增區(qū)間為－

a3

a，＋∞3(2)由意知，對(duì)于任意x∈[0,1]，存在x∈[0,1]，使得f(x)＋(x＝，等價(jià)于當(dāng)∈[0,1]時(shí)x)＋()＝，33由得3≤<5＝()在遞減，，127所以()＝－，a(x)＝max{f，(1)}max{1，－＝，27所以－＋＝，得＝；a

上單調(diào)