《基金最佳使用計(jì)劃》

一、基金最佳使用計(jì)劃1、問題的提出某?；饡?huì)有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券的利率見下表。

銀行存款稅后年利率（%）國(guó)庫(kù)券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。1精選課件校基金會(huì)計(jì)劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，每年的獎(jiǎng)金額。

請(qǐng)你幫助?；饡?huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，

并對(duì)萬(wàn)元，年給出具體結(jié)果：1）只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券；2）可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券

3）學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其它年度多20%。

要求每年的獎(jiǎng)金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。校基金會(huì)希望獲得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高2精選課件2、問題分析定期存款年限越長(zhǎng)，存款稅后年利率越大。因此，在不影響?yīng)劷鸢l(fā)放的情況下，應(yīng)盡可能存年限較長(zhǎng)的定期存款，這樣才能獲得較高的利息。此基金的最佳使用計(jì)劃是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于發(fā)放第一年的獎(jiǎng)金再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于發(fā)放第二年的獎(jiǎng)金以此類推，且每年發(fā)放獎(jiǎng)金數(shù)額相同最后一年存入銀行的款項(xiàng)在發(fā)完獎(jiǎng)金后仍然為基金總額M。3精選課件同期國(guó)庫(kù)券年利率明顯高于銀行存款的年利率，盡可能多購(gòu)國(guó)庫(kù)券國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間不固定，若一味的追求高利率，可能會(huì)增加活期存款所占的比重，平均年利率不一定為最優(yōu)。分析研究在每個(gè)年限n種最佳的方案歸納出公式，并針對(duì)具體數(shù)值M=5000萬(wàn)元，n=10年求出最佳存儲(chǔ)方案用問題一、二所歸納出的方案，只需把第三年的獎(jiǎng)金增加20%，再分別代入兩個(gè)最優(yōu)方案，可求出在兩種不同情況下的最佳基金存款方案。4精選課件3、模型假設(shè)

1）每年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金一次，且均在年末發(fā)放。2）銀行發(fā)行國(guó)庫(kù)券時(shí)間不固定。3）國(guó)庫(kù)券可在發(fā)行當(dāng)日購(gòu)買。4）國(guó)庫(kù)券在沒有到期之前，不得進(jìn)行貼現(xiàn)。4．模型建立

問題一：只存款不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的情況。定理1一定數(shù)額的資金H先存定期m年再存定期k年和先存定期k年再存定期m年，本息和相等。5精選課件證明：設(shè)Lm、Lk分別為定期m年和k年的年利率,先存定期k年再定期m年的本息和為先存定期m年再存定期k年的本息和為定理1得證。推論1、一定數(shù)額的資金H若把存款年限n分成j個(gè)存期，其中，ni∈{0.5,1,2,3,5}，則n年后本息和與存期順序無(wú)關(guān)。資金H:6精選課件

定理2、使一定數(shù)額的資金H存儲(chǔ)n年后本息和最大的存款策略為當(dāng)n=1時(shí)，存定期1年；當(dāng)n=2時(shí)，存定期2年；當(dāng)n=3時(shí)，存定期3年；當(dāng)n=4時(shí)，先存定期3年，然后再存定期1年；當(dāng)n=5時(shí)，存定期5年；當(dāng)時(shí)，首先存儲(chǔ)個(gè)5年定期，

剩余年限存儲(chǔ)情況與時(shí)相同。

證明：

下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，

(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。7精選課件表1銀行存款各種存款策略年均利率存款策略銀行存款稅后年均利率（%）最佳存款策銀行存款稅后最佳年均利率（%）一年期（1）1.800(1)1.800二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期(3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.2558精選課件由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。由1,2,3,5四種定期能夠組成的策略（5年定期不重復(fù)）只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,3,1)九種，

它們分別對(duì)應(yīng)n=1到9年的最優(yōu)存款策略，

當(dāng)時(shí)的最佳存款策略只能是首先重復(fù)存?zhèn)€定期5年，

剩余年限只能是1、2、3、4,

當(dāng)=3時(shí)，再存3年定期；

當(dāng)=4時(shí)，先存3年定期，再存1年定期。

定理2得證。

9精選課件定理3基金M使用n年的情況，首先把M分成n份

其中第份基金

存款期限為年，

那么只有當(dāng)?shù)诜莼鸢醋顑?yōu)年后

策略存款存款的本息和等于當(dāng)年的獎(jiǎng)學(xué)金數(shù),

并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于

原基金M與當(dāng)年的獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)之和時(shí)，每年發(fā)放的獎(jiǎng)學(xué)金才能達(dá)到最多。

證明：

當(dāng)n=1時(shí)，即將基金存入銀行一年后的所得利息全部用于發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，此種情況顯然成立。

當(dāng)時(shí)，首先需要證明：

第一份基金存入銀行1年定期，

到期后本息和正好

等于獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額

即

10精選課件下面試用反證法予以證明：假設(shè)，可分兩種情況：（一）假設(shè)，那么基金存入銀行1年后，

到期本息和小于獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額為了使每年的獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額盡可能相同，所差資金只能從其它定期存款中按活期存款提前支取，

這樣的結(jié)果比按存入一年定期（即到期本息和正好

等于獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額），

其它基金均按定期的總利息要少。

為使獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額最大，

所以

≮存款11精選課件（二）假設(shè)，那么基金存入銀行1年，

到期后本息和大于獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額剩余資金再按最優(yōu)存款策略存k年，這種情況所

得利息顯然不比在開始時(shí)多余部分資金直接最優(yōu)

存款策略存年后利息多，

所以≯因此同理可證，為使獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額最大，第i份基金

按最優(yōu)存款策略存i年后本息和應(yīng)正好等于獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額。第n份基金為存儲(chǔ)n年應(yīng)按最佳策略存款。

12精選課件根據(jù)問題條件，第n份基金按最優(yōu)策略存n年后

所得本息和應(yīng)為

定理3得證。5．模型的求解由定理1、2及定理3可得n年的最佳存款方案公式一:

其中表示把基金M分成n份中的第i份基金，

p為每年的獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額

13精選課件14精選課件根據(jù)上公式可用求得n=10年，M=5000萬(wàn)元時(shí)

基金使用的最佳方案：

獎(jiǎng)學(xué)金（萬(wàn)元）15精選課件表2值及其存i年的最佳存款策略資金數(shù)額（萬(wàn)元）最佳存款策略107.875194(1)105.707057(2)103.133872(3)101.310287(3,1)98.472872(5)96.731702(5,1)94.787533(5,2)92.480158(5,3)90.844949(5,3,1)4108.656375(5,5)16精選課件M=5000萬(wàn)元，n=10年基金使用最佳方案（單位：萬(wàn)元）

存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款數(shù)額每年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額第一年初107.75194105.707057204.44441594581.97359第一年末109.816947109.816947第二年末109.816947109.816947第三年末107.75194217.692141109.816947第四年末109.816947109.816947第五年末107.75194105.707057204.44441594691.7902815109.816947109.81694717精選課件M=5000萬(wàn)元，n=10年基金使用最佳方案（單位：萬(wàn)元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款數(shù)額每年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額第六年末109.816947109.816947第七年末109.816947109.816947第八年末107.875194217.692141109.816947第九年末109.816947109.816947第十年末5109.816947109.81694718精選課件問題二的求解

我們對(duì)可購(gòu)買國(guó)庫(kù)券也可存款這種情況，考慮到國(guó)庫(kù)券發(fā)行日期不定，若準(zhǔn)備購(gòu)買它，則一般需要等待一段時(shí)間，因?yàn)橐荒陜?nèi)至少發(fā)行一次國(guó)庫(kù)券，有可能上半年發(fā)行，也有可能下半年發(fā)行，所以我們首先把準(zhǔn)備購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的資金全部按半年定期存儲(chǔ)，如果上半年未發(fā)行國(guó)券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如8月1日發(fā)行國(guó)庫(kù)券，則取出資金購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，但這部分資金未到期，只能按活期計(jì)息。

如果是購(gòu)買兩年國(guó)庫(kù)券，則兩年國(guó)庫(kù)券到期，因未到期末，肯定面對(duì)繼續(xù)采取怎樣的存儲(chǔ)策略的問題，或者存定期，或者存活期，或者等待購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。

19精選課件如果等待購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，因國(guó)庫(kù)券發(fā)行時(shí)間未定，有可能還要等待將近一年的時(shí)間，如果準(zhǔn)備存整年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即可到期，剩下的5個(gè)月只能存活期。

根據(jù)定理2可得：

推論2購(gòu)買國(guó)庫(kù)券時(shí)，需要存半年的定期和總共半年的活期。一定數(shù)量的資金存儲(chǔ)n年，存期種類相同，任意改變順序，本息保持不變，再加上以上分析，如果準(zhǔn)備購(gòu)買兩年期國(guó)庫(kù)券可以這樣想象：先存半年定期，再存1個(gè)月的活期，在8月1日購(gòu)買兩年期的國(guó)庫(kù)券，兩年后的8月1日取出國(guó)庫(kù)券本息后，再存5個(gè)月的活期，即需要存半年的定期和總共半年的活期。20精選課件單位資金購(gòu)買兩年國(guó)庫(kù)券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為：

這種存款策略稍劣于存入銀行的三年定期，其年利率為：

同理，單位資金購(gòu)買三年期國(guó)庫(kù)券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為：這種存儲(chǔ)策略稍優(yōu)于存入銀行的四年定期，其年利率為：

21精選課件

單位資金購(gòu)買五年期國(guó)庫(kù)券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為：

這種存儲(chǔ)策略稍優(yōu)于存入銀行的六年定期，其年利率為：

在上面的分析中，因購(gòu)買國(guó)庫(kù)券而帶來的總共半年的兩次活期存款，其本息是按一次半年活期計(jì)算的它與按一次半年活期計(jì)算，其本息差別很小，可以忽略不計(jì)。所以，可以不考慮購(gòu)買兩年國(guó)庫(kù)券情況。

22精選課件

購(gòu)買三年期國(guó)庫(kù)券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率2.099%。

所以，增加一項(xiàng)定期四年存款，其年利率為2.499%。

購(gòu)買五年國(guó)庫(kù)券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率2.255%.所以，增加一項(xiàng)定期六年存款，其年利率為2.852%綜上分析，可購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的最優(yōu)銀行存款稅后利率如下表6-16.23精選課件銀行存款稅后年利率（%）活期0.792半年期1.644一年期1.800二年期1.944三年期2.160四年期2.499六年期2.852當(dāng)n=1時(shí)，基金只能存入銀行，使用方案參照問題一。

當(dāng)n=2時(shí)，可購(gòu)買國(guó)庫(kù)券，但國(guó)庫(kù)券發(fā)行日期正好在1月1日的概率非常小，也只能把基金存入二年定期，而不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。24精選課件根據(jù)以上的推理，可得n年的最優(yōu)存儲(chǔ)方案公式二為：

25精選課件據(jù)上公式用可以求得n=10年，M=5000萬(wàn)元時(shí)基金使用的最優(yōu)方案：（單位：萬(wàn)元）每年獎(jiǎng)學(xué)金：26精選課件27精選課件問題三求解：方案一：只存款不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券因?qū)W校要在基金到位后的第3年舉行校慶，所以此年獎(jiǎng)金應(yīng)是其他年度的1.2倍，

計(jì)算公式只需把公式一、公式二中：

改為

利用matlab軟件求解（程序略）M=5000萬(wàn)元，n=10年基金使用最佳方案：（單位：萬(wàn)元）28精選課件M=5000萬(wàn)元，n=10年基金使最佳方案（單位：萬(wàn)元）

存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款數(shù)額（到期本息和）每年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額第一年初105.650679103.527252220.4297054570.392364每一年末107.552392107.552392第二年末107.552392107.552392第三年末105.650679234.713549129.062870第四年末107.552392107.552392第五年末105.650679103.527253220.4297054678.1476025107.7552392107.55239229精選課件M=5000萬(wàn)元，n=10年基金使最佳方案（單位：萬(wàn)元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款數(shù)額（到期本息和）每年發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金數(shù)額第一年初105.650679103.527252220.4297054570.