2023屆上海市寶山區(qū)淞浦中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面向量，的夾角為，且，，則（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．同學(xué)聚會(huì)時(shí)，某宿舍的4位同學(xué)和班主任老師排隊(duì)合影留念，其中宿舍長(zhǎng)必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．56 C．60 D．1204．兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.255．給出命題①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線．以上命題中，正確命題序號(hào)是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④6．某校學(xué)生一次考試成績(jī)X（單位：分）服從正態(tài)分布N（110，102），從中抽取一個(gè)同學(xué)的成績(jī)?chǔ)危洝霸撏瑢W(xué)的成績(jī)滿足90＜ξ≤110”為事件A，記“該同學(xué)的成績(jī)滿足80＜ξ≤100”為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B|A）＝（）附：X滿足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．7．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.38．一個(gè)正方體的展開(kāi)如圖所示，點(diǎn)，，為原正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)為原正方體一條棱的中點(diǎn)，那么在原來(lái)的正方體中，直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．若，都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式不可能是()A． B． C． D．11．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形12．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離______.14．如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為cm的正六棱柱容器內(nèi)有一個(gè)半徑為cm的鐵球，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，使得鐵球完全浸入水中，若將鐵球從容器中取出，則水面下降______cm.15．設(shè)集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是________.16．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.(1)當(dāng)a＝5時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)>9；(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A,若B＝{x∈R||2x－1|≤3},當(dāng)A∪B＝A時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知向量,滿足，．(1)求關(guān)于k的解析式f(k)．(2)若，求實(shí)數(shù)k的值．(3)求向量與夾角的最大值．19．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)大于或等于.20．（12分）若函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上只有一個(gè)極值，且該極值小于，求的取值范圍.21．（12分）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn).將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）函數(shù)，，實(shí)數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)向量的運(yùn)算，化簡(jiǎn)，由向量的數(shù)量積定義即可求得模長(zhǎng)．詳解：平面向量數(shù)量積，所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了向量的數(shù)量積及其模長(zhǎng)的求法，關(guān)鍵是理解向量運(yùn)算的原理，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗(yàn)即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

采用捆綁法，然后全排列【詳解】宿舍長(zhǎng)必須和班主任相鄰則有種可能，然后運(yùn)用捆綁法，將其看成一個(gè)整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【點(diǎn)睛】本題考查了排列中的位置問(wèn)題，運(yùn)用捆綁法來(lái)解答即可，較為基礎(chǔ)4、A【解析】解：因?yàn)榛貧w模型中擬合效果的好不好，就看相關(guān)指數(shù)是否是越接近于1，月接近于1，則效果越好．選A5、A【解析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯(cuò)誤，由向量的表示方法可知③錯(cuò)誤，由共線向量的定義和四點(diǎn)共線的意義可判斷④錯(cuò)誤【詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；與向量互為相反向量，故③錯(cuò)誤；若與是共線向量，那么可以在一條直線上，也可以不在一條直線上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯(cuò)誤，故選A.【點(diǎn)睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共線向量，它指兩個(gè)向量方向相同或相反，這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以不在一條直線上，實(shí)際上共線向量就是平行向量．6、A【解析】

利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，，所以，故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，正態(tài)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.7、B【解析】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．8、D【解析】分析：先還原正方體，將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出，與所成角等于與所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.詳解：還原正方體，如圖所示，設(shè)，則，與所成角等于與所成角，余弦值為，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查異面直線所成的角以及空間想象能力，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對(duì)值.9、A【解析】分析：先證明充分性，兩邊同時(shí)平方即可，再證明必要性，取特值，從而判斷出結(jié)果。詳解：充分性：將兩邊平方可得：化簡(jiǎn)可得：則，故滿足充分性必要性：，當(dāng)時(shí)，，故不滿足必要性條件則是的充分而不必要條件故選點(diǎn)睛：本題考查了充分條件與必要條件的判定，可以根據(jù)其定義進(jìn)行判斷，在必要性的判定時(shí)采用了取特值的方法，這里也要熟練不等式的運(yùn)用10、D【解析】

根據(jù)奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求得的值.在根據(jù)單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，故函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上遞增，故在上遞減.對(duì)于A選項(xiàng)，，符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查含有絕對(duì)值函數(shù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過(guò)因式分解變形化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．從而求解得到a的取值范圍．詳解：∵的幾何意義為：表示點(diǎn)（p+1，f（p+1））與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（0，1）內(nèi)，故p+1和q+1在區(qū)間（1，2）內(nèi)．不等式＞1恒成立，∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在（1，2）內(nèi)恒成立．由函數(shù)的定義域知，x＞﹣1，∴f′（x）=＞1在（1，2）內(nèi)恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）內(nèi)恒成立．由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，故x=2時(shí)，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，∴a≥15∴a∈[15，+∞）．故選A．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

先根據(jù)雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得到，進(jìn)而可求出的值，得到答案.【詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則根據(jù)求解，注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證，負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于.14、【解析】

由題意可求球的體積，假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，則水面高度為，將鐵球從容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度．【詳解】解：假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，球的體積，水面高度為，此時(shí)正六棱柱容器中水的體積為，若將鐵球從容器中取出，則水面高度，則水面下降.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了球體積的求解，考查了棱柱體積的求解.15、1.【解析】

求出A中不等式的解集，確定出解集的自然數(shù)解確定A，求出B中x的范圍確定出B，找出兩集合的交集，即可作出判斷．【詳解】由A中不等式變形得：2﹣2≤2x≤24，即﹣2≤x≤4，x∈N，∴A={0，1，2，3，4}，由B中y=ln（x2﹣3x），得到x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，即B={x|x＜0或x＞3}，則A∩B={4}，即A∩B中元素個(gè)數(shù)為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．16、【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到的坐標(biāo)，這樣即可得出的坐標(biāo)，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標(biāo)，即得解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：；與共線故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算和共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1){x∈R|x<－6或x>3}．(2)[－1,0]．【解析】分析：（1）當(dāng)a＝5時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點(diǎn)在集合A中，由此求得a的取值范圍.詳解：(1)當(dāng)a＝5時(shí)，f(x)＝|x＋5|＋|x－2|.①當(dāng)x≥2時(shí)，由f(x)>9，得2x＋3>9，解得x>3；②當(dāng)－5≤x<2時(shí)，由f(x)>9，得7>9，此時(shí)不等式無(wú)解；③當(dāng)x<－5時(shí)，由f(x)>9，得－2x－3>9，解得x<－6.綜上所述，當(dāng)a＝5時(shí)，關(guān)于x的不等式f(x)>9的解集為{x∈R|x<－6或x>3}．(2)∵A∪B＝A，∴B?A.又B＝{x||2x－1|≤3}＝{x∈R|－1≤x≤2},關(guān)于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集為A，∴當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，f(x)≤|x－4|恒成立．由f(x)≤|x－4|得|x＋a|≤2.∴當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，|x＋a|≤2恒成立，即－2－x≤a≤2－x恒成立．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1,0]．點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系.18、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積即可．（2）根據(jù)向量平行時(shí)的條件即可．（3）根據(jù)向量的夾角公式即可．【詳解】(1)由已知，有，．又因?yàn)?，得，所以，即?2)因?yàn)?，，所以，則與同向．因?yàn)?，所以，即，整理得，所以，所以?dāng)時(shí)，．(3)設(shè)與的夾角為θ，則．當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的平以及數(shù)量積和夾角，屬于基礎(chǔ)題．19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)結(jié)合不等式的特征，兩邊平方，用分析法證明不等式即可；(2)利用反證法，假設(shè)這三個(gè)數(shù)沒(méi)有一個(gè)大于或等于，然后結(jié)合題意找到矛盾即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以要證，只要證，展開(kāi)得，只要證，只要證，因?yàn)槌闪?，所以成?（2）假設(shè)這三個(gè)數(shù)沒(méi)有一個(gè)大于或等于，即，上面不等式相加得（*）而，這與（*）式矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.點(diǎn)睛：一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；二是應(yīng)用反證法證題時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要指：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；⑤自相矛盾.20、（1）（2）【解析】

（1）求導(dǎo)得到，，得到切線方程.（2），討論，，三種情況，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，判斷是否有極值，計(jì)算極值解不等式得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，則，，所以切線方程為.(2)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極小值，所以；當(dāng)時(shí)，令或，設(shè)，當(dāng)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，設(shè)，從而，，所以在上單調(diào)遞減，，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上無(wú)極值，不合題意.綜上：取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線方程，極值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)