小學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證能力的培養(yǎng)

小學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證能力的培養(yǎng)

如果說，數(shù)學(xué)猜想的靈魂是創(chuàng)新，數(shù)學(xué)猜想中孕伏著創(chuàng)新，那么，數(shù)學(xué)驗(yàn)證的核心是創(chuàng)造，數(shù)學(xué)驗(yàn)證中孕伏著創(chuàng)造能力?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家攻克了一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)猜想，一次次推動(dòng)著數(shù)學(xué)發(fā)展。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)驗(yàn)證與數(shù)學(xué)猜想也一樣重要。顧汝佐先生曾說過這樣一段耐人尋味的話：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是掌握前人創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，而這種經(jīng)驗(yàn)需要教師設(shè)計(jì)出一定的客觀形式，通過相應(yīng)的信號(hào)、信息載體，讓學(xué)生自己去觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)、實(shí)施，在頭腦中構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)?！边@實(shí)際上就是要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)需要為學(xué)生模擬探究情境和過程，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去建構(gòu)新知，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)驗(yàn)證就是一種學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)的情境和過程。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要大膽培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)驗(yàn)證的能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)驗(yàn)證中探究數(shù)學(xué)，在探究數(shù)學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造能力。一、確立驗(yàn)證的理念所謂驗(yàn)證，就是指對研究對象有一定了解，形成一定認(rèn)識(shí)或提出某種假說，初步知道研究方法或策略，為證明或檢驗(yàn)這種認(rèn)識(shí)或假說是否正確而進(jìn)行的一種探索性活動(dòng)。針對小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)驗(yàn)證的過程實(shí)質(zhì)上也是探究性學(xué)習(xí)的一種，強(qiáng)調(diào)演示和證明數(shù)學(xué)內(nèi)容的活動(dòng)，數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)過程相融，更注重探究的過程。數(shù)學(xué)驗(yàn)證過程傳遞了這樣一種信息：了解一個(gè)發(fā)現(xiàn)并且如何把這個(gè)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果應(yīng)用到一個(gè)確定的問題上比直接學(xué)習(xí)如何發(fā)現(xiàn)重要得多。數(shù)學(xué)驗(yàn)證過程強(qiáng)調(diào)實(shí)踐操作和觀察、比較、推理、歸納等個(gè)別智力技能綜合運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)快速有效地獲得和構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)驗(yàn)證不同于數(shù)學(xué)結(jié)果正確與否的簡單檢驗(yàn)，它是以已有的數(shù)學(xué)知識(shí)為依據(jù)，運(yùn)用多種思維形式對數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)或假說進(jìn)行檢驗(yàn)與證明，具有較強(qiáng)的科學(xué)性。反過來，數(shù)學(xué)驗(yàn)證也是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，在驗(yàn)證過程中需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，需要綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此對培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有十分重要的意義。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到驗(yàn)證不僅是數(shù)學(xué)的一種方法，更是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的有效方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)驗(yàn)證中獲得新知，在數(shù)學(xué)驗(yàn)證中綜合運(yùn)用知識(shí)的能力得到了發(fā)展，創(chuàng)造能力得到了培養(yǎng)?？傊?，要驗(yàn)證數(shù)學(xué)知識(shí)，教師首先要樹立“為學(xué)生發(fā)展服務(wù)”的思想與意識(shí)，堅(jiān)決杜絕為教師的教學(xué)做“秀”的傾向。要積極為學(xué)生提供較為豐富的數(shù)學(xué)探究課題的案例和背景材料；引導(dǎo)、幫助而不是代替學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出探究課題，特別應(yīng)該鼓勵(lì)、幫助學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和提出問題；組織、鼓勵(lì)學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組合作解決問題；指導(dǎo)、幫助學(xué)生養(yǎng)成查閱相關(guān)參考書籍和資料的習(xí)慣；既要鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，幫助學(xué)生建立克服困難的信心和勇氣，同時(shí)也要指導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上用各種方式尋求幫助；學(xué)會(huì)與人合作，學(xué)會(huì)傾聽別人的意見、利用別人的意見。二、創(chuàng)設(shè)驗(yàn)證的空間《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教學(xué)時(shí)要讓“學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”，這里明確指出：驗(yàn)證是數(shù)學(xué)思維的主要形式之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。教師在教學(xué)中應(yīng)有目的地創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分驗(yàn)證的空間。創(chuàng)設(shè)環(huán)境應(yīng)注重學(xué)生渴望探索、迫切需要和思想開放方面的內(nèi)容，以此來激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證。如在教學(xué)“可能性大小”時(shí)，我拿出黑、白圍棋子各2枚放進(jìn)一個(gè)紙盒里，讓大家猜猜一次摸兩枚可能出現(xiàn)的結(jié)果：一枚黑棋和一枚白棋、兩枚都是白棋、兩枚都是黑棋，并且出現(xiàn)黑棋和白棋的可能性大一些。接著，讓學(xué)生驗(yàn)證每次摸出2枚棋子的情況，看看自己的猜想對不對。學(xué)生分組摸棋子，并做好記錄?；顒?dòng)結(jié)束后，讓盡量多的小組匯報(bào)摸的情況。這個(gè)過程讓學(xué)生既體驗(yàn)了可能性大小的知識(shí)，又體驗(yàn)了驗(yàn)證猜想活動(dòng)的快樂，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)了獲得知識(shí)的方法——猜想、討論、驗(yàn)證。三、學(xué)會(huì)驗(yàn)證的方法要培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)證能力，除了給予學(xué)生驗(yàn)證空間外，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)驗(yàn)證的各種方法。我在教學(xué)實(shí)踐和聽課過程中，總結(jié)了以下一些驗(yàn)證方法。1.舉例驗(yàn)證法舉例驗(yàn)證法就是引導(dǎo)學(xué)生用舉例子的方法來證明猜想是否成立。［案例1］“商不變規(guī)律”教學(xué)片段教師引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計(jì)類似于下面的兩組題：(1)8÷2=4，80÷20=4，800÷200=4(2)6÷3=2，60÷30=2，600÷300=2引導(dǎo)觀察，讓學(xué)生思考以下幾個(gè)問題：(1)上面兩組除法算式中，哪些部分變了，哪些部分沒有變？(2)先從左到右觀察，再從右到左觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？(3)這種變化規(guī)律跟你的猜想一致嗎？(4)再舉一些例子來證明你的猜想。學(xué)生列舉了許多類似的題組。這樣教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生通過自行設(shè)計(jì)題組，列舉算式，驗(yàn)證自己的猜想，在驗(yàn)證中掌握“商不變規(guī)律”，體會(huì)數(shù)學(xué)的不完全歸納法。2.推導(dǎo)驗(yàn)證法從已知知識(shí)出發(fā)，通過演算、推理，證明猜想是正確的，這就是推理驗(yàn)證法。通過推導(dǎo)驗(yàn)證，不僅復(fù)習(xí)了舊知，掌握了新知，更重要的是溝通了舊知與新知之間的聯(lián)系。［案例2］“體積單位之間的進(jìn)率”教學(xué)片段教師揭題，問：請大家猜一猜，兩個(gè)相鄰體積單位之間的進(jìn)率會(huì)是多少？生1：是1000。生2：絕對是1000。師：那么，請?jiān)谛〗M里討論一下，你可以想出幾種方法來驗(yàn)證你的猜想。（小組討論）生3匯報(bào)：棱長1分米的立方體，體積是：1×1×1=1立方分米1分米=10厘米，體積是：10×10×10=1000立方厘米1分米=0.1米，體積是：0.1×0.1×0.1=0.001立方米所以，1立方分米＝1000立方厘米＝0.001立方米因此，兩個(gè)相鄰的體積單位之間的進(jìn)率是1000。從上面教學(xué)片段中可以看出，學(xué)生通過驗(yàn)證，不僅復(fù)習(xí)了長度單位之間的進(jìn)率，掌握了新知——兩個(gè)相鄰的體積單位之間的進(jìn)率是1000，還構(gòu)建起了長度單位與體積單位之間的知識(shí)聯(lián)系，對體積單位之間進(jìn)率的理解就更深刻了。3.類比驗(yàn)證法［案例3］“比的基本性質(zhì)”教學(xué)片段從對某一知識(shí)的認(rèn)識(shí)來理解對另一相似知識(shí)的認(rèn)識(shí)，這樣的方法就是類比驗(yàn)證法。這種方法需借助于對某一知識(shí)的認(rèn)識(shí)，通過比較它與另一類知識(shí)的相似點(diǎn)而達(dá)到對后者的推測和理解。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中許多的概念、法則、性質(zhì)、公式都可以通過類比猜想提出并驗(yàn)證。如“比的基本性質(zhì)”，有些學(xué)生是這樣驗(yàn)證的：因?yàn)椤吧滩蛔兊男再|(zhì)”是：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（零除外），它們的商不變。如：16÷8=2，(16÷2)÷(8÷2)=2，(16÷4)÷(8÷4)=2，(16÷8)÷(8÷8)=2，(16÷1)÷(8÷1)=2改寫成分?jǐn)?shù)，就是：可以得到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。如果改寫成比的形式，就是：16:8=2，(16÷2):(8÷2)=2，(16÷4):(8÷4)=2，(16÷8):(8÷8)-2，(16÷1):(8÷1)=2這樣，就可以得到比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（零除外），比值的大小不變。從案例中可以看到，教師根據(jù)比、分?jǐn)?shù)、除法的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生寫一組商不變的除法算式，然后把除法算式改寫成分?jǐn)?shù)形式，再改寫成比的形式，這樣就可以順利地驗(yàn)證“在比中，是否也存在一條重要的基本性質(zhì)”的猜想，促進(jìn)了知識(shí)的遷移。4.操作驗(yàn)證法操作驗(yàn)證法，應(yīng)該是幾何、統(tǒng)計(jì)教學(xué)中運(yùn)用較多的一種驗(yàn)證方法，它通過學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、合作學(xué)習(xí)、動(dòng)手操作、討論交流，來驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想。［案例4］“圓的周長”教學(xué)片段我在執(zhí)教“圓的周長與直徑有什么關(guān)系”時(shí)，有這樣一個(gè)教學(xué)片段。生：圓的周長應(yīng)該比直徑的4倍小?！瓗煟和瑢W(xué)們的猜想都很好。但是，猜想到底對不對呢？直徑或半徑與圓的周長有沒有固定的關(guān)系呢？各小組看課本，并討論怎樣測量圓的周長。小組1：我們想用課本上介紹的圍繞法，用一根細(xì)線圍繞圓一周，然后拉直，量出細(xì)線的長度，就是圓的周長。小組2：我們想用滾動(dòng)法，先在圓上做個(gè)記號(hào)，讓圓在直尺上滾動(dòng)一圈，就可以測量出圓的周長。小組3：我們想用量腰圍的方法，將皮尺圍繞圓一周，就可以測量出圓的周長。師：下面請各小組的同學(xué)按你們設(shè)想的方法測量自己準(zhǔn)備的圓形物體的周長，并將測量結(jié)果填入實(shí)驗(yàn)表格中。物體周長C直徑dC/d（比值）（厘米）（厘米）（取兩位小數(shù)）接下來，讓各小組匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證學(xué)生自己的猜想。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，充分體現(xiàn)了學(xué)生探究的自主性，既有獨(dú)立思考，又有小組合作學(xué)習(xí)。這樣的驗(yàn)證性學(xué)習(xí)是生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的、富有個(gè)性的。5.查閱資料驗(yàn)證法引導(dǎo)學(xué)生通過查閱資料，來證實(shí)自己的猜想，也是一種驗(yàn)證方法。［案例5］“辨認(rèn)方向”教學(xué)片段在執(zhí)教《辨認(rèn)方向》一課時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，以小組合作的方式，討論現(xiàn)實(shí)中的方位與書本上表示的方位的區(qū)別與聯(lián)系，并互相交流怎么辨認(rèn)方向?？紤]到學(xué)生日常所坐的方向和書本上“上北下南”的方位表示有出入，可能會(huì)有部分學(xué)生難以理解，于是特別指出：“可以用自己最喜歡的方法，向其他小朋友說說怎么辨認(rèn)方向?！苯Y(jié)果有幾位學(xué)生將坐凳面北背南放起來。在隨后的匯報(bào)中，這幾個(gè)小組的同學(xué)提出：書本上“上北下南”這個(gè)方法不好，不如改成“上南下北”，這和平常我們大多是面南背北的習(xí)慣相符合。全班學(xué)生在隨后的驗(yàn)證中也認(rèn)為，這種“上南下北”的方法有一定的現(xiàn)實(shí)意義。在這一實(shí)踐中，學(xué)生不但加深了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用意識(shí)，而且還提出與書本不同的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，完全出乎意料，也得到了我的肯定。課后，有幾位學(xué)生意猶未盡，又通過網(wǎng)絡(luò)、圖書室查閱資料，去驗(yàn)證他們的假設(shè)的科學(xué)性。結(jié)果驚奇地發(fā)現(xiàn)，從古至今，地圖上的方位并非一直都是左西右東。在古代，是左東右西。看來學(xué)生提出的這種表示方法是有一定道理的。但它是不是最好的方法呢，成了學(xué)生的又一個(gè)謎。我又鼓勵(lì)學(xué)生，再利用網(wǎng)絡(luò)，查閱資料，找到了更多的佐證。原來在古代，由于生產(chǎn)力相對落后，人們對自然力量的尊崇成了“以左為東、以西為右”的最主要原因。古人觀察到，太陽每天都是從東方升起，因而向東的地方得天獨(dú)厚地有了相對多的日照，這有利于植物的生長，故而東方成了生機(jī)盎然的木性的代表。簡單的一個(gè)驗(yàn)證過程，引出了