第一類曲面積分

第一類曲面積分演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有41頁\編輯于星期一例：設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得“分割，近似,求和,取極限”的方法,求質(zhì)量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、問題的提出現(xiàn)在是2頁\一共有41頁\編輯于星期一二、第一類曲面積分的概念機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是3頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：則對面積的曲面積分存在.在光滑曲面上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.現(xiàn)在是4頁\一共有41頁\編輯于星期一?線性性質(zhì).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?對積分域的可加性.則有若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面現(xiàn)在是5頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?中值定理.?保號性.現(xiàn)在是6頁\一共有41頁\編輯于星期一關(guān)于曲面的輪換對稱性：

曲面具有輪換對稱性是指：曲面關(guān)于直線x=y=z對稱。

如果曲面Σ

有輪換對稱性，它的方程F(x,y,z)=0有如下特征：將F(x,y,z)中的變量x,y,z的位置任意互換，不會改變F的表達(dá)式。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?對稱性.現(xiàn)在是7頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、如果曲面Σ

有輪換對稱性，那么被積函數(shù)

f(x,y,z)

中的變量

x,y,z

無論怎樣互換，積分值不會改變。即2、如果曲面Σ關(guān)于平面

y=x

對稱，則曲面Σ關(guān)于平面

y=z

或z=x對稱有類似的性質(zhì)?，F(xiàn)在是8頁\一共有41頁\編輯于星期一定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)

在上連續(xù),存在,且有三、對面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是9頁\一共有41頁\編輯于星期一(光滑)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是10頁\一共有41頁\編輯于星期一則按照曲面的不同情況分為以下四種情形：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則則現(xiàn)在是11頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是12頁\一共有41頁\編輯于星期一解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1：由對稱性，易知現(xiàn)在是13頁\一共有41頁\編輯于星期一（前后兩片投影相同）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束奇函數(shù)單位圓的面積現(xiàn)在是14頁\一共有41頁\編輯于星期一例2：解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由輪換對稱性現(xiàn)在是15頁\一共有41頁\編輯于星期一例3：

設(shè)計(jì)算解:

錐面與上半球面的交線為為上半球面夾于錐面間的部分，則它在xoy面上的投影域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則現(xiàn)在是16頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:若此例中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?現(xiàn)在是17頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：球面的參數(shù)方程為：現(xiàn)在是18頁\一共有41頁\編輯于星期一四、物理應(yīng)用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為形心現(xiàn)在是19頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別地現(xiàn)在是20頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是21頁\一共有41頁\編輯于星期一例5：計(jì)算其中是球面由輪換對稱性：解:

顯然球心為半徑為利用質(zhì)心公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是22頁\一共有41頁\編輯于星期一解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束柱面的參數(shù)方程為：現(xiàn)在是23頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是24頁\一共有41頁\編輯于星期一例7：設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000

km,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解：建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面的半頂角為

,利用球面參數(shù)方程，則衛(wèi)星覆蓋面積為現(xiàn)在是25頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:此題也可用二重積分求A

(見下冊P188例1).現(xiàn)在是26頁\一共有41頁\編輯于星期一內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)注意：要充分利用球面參數(shù)方程、柱面參數(shù)方程、對稱性、質(zhì)心公式等簡化計(jì)算。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是27頁\一共有41頁\編輯于星期一習(xí)題9-4(P276)3，5，6，

9，10，11第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)現(xiàn)在是28頁\一共有41頁\編輯于星期一備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上部分的面密度的質(zhì)量M.解:在xoy

面上的投影為

故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是29頁\一共有41頁\編輯于星期一2.設(shè)是四面體的表面,計(jì)算解:在四面體的四個(gè)面上同上平面方程投影域機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是30頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是31頁\一共有41頁\編輯于星期一3、解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是32頁\一共有41頁\編輯于星期一解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束依對稱性知現(xiàn)在是33頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是34頁\一共有41頁\編輯于星期一5、計(jì)算其中是介于平面之間的圓柱面分析:若用直角坐標(biāo)將曲面分為前后解1:

利用參數(shù)方程計(jì)算(或左右)兩片,則計(jì)算較繁.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束柱面的參數(shù)方程為：現(xiàn)在是35頁\一共有41頁\編輯于星期一機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是36頁\一共有41頁\編輯于星期一5、計(jì)算其中是介于平面之間的圓柱面則解2:

微元法，取曲面面積元素機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是37頁\一共有41頁\編輯于星期一6、計(jì)算其中是球面被平面截出的頂部.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是38頁\一共有41頁\編輯于星期一思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上