2020-2021學(xué)年山東青島膠州高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

青島膠州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)本試卷4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置；.作答選擇題時(shí)：選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上；非選擇題必須用黑色字跡的專用簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效；.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。D.45O.直線1=D.45OA.90。 B,0O C.180。.已知向量a=(1,2,t),b=(t,1,2)，且a±b，則實(shí)數(shù)t=()2D.一3「 1 「2D.一3A.1 B.11 C. .若直線ljax+y+1=0與直線12:1+ay+2a—1=0平行，則實(shí)數(shù)a=()A.1 B.—1 C.0 D.±1.已知三棱柱ABC-A】VC；，點(diǎn)P為線段%的中點(diǎn)，則AP=()11AB+AC+1AA2 2 1AB+1AC+1AA2 2 111AB+1AC—AA2 2 11AB+1AC+AA2 2 1.已知二面角a—l—P的大小為60O,A,B為棱l上不同兩點(diǎn)，C,D分別在半平面a,p內(nèi)，AC,BD均垂直于棱—AC=BD=2AB=2，則異面直線CD與~AB所成角的余弦值為()A.B.C.D.A.B.C.D.6.若過原點(diǎn)的直線l與圓x6.若過原點(diǎn)的直線l與圓x2—4x+y2+3=0有兩個(gè)交點(diǎn)，貝1"的傾斜角的取值范圍為()兀兀A.(-寸？B.（-,7）66八兀、 ，5兀、 八兀、 ，2兀、C.[0,—）（—；-,7）D.[0,—）（^-,兀）6 6 3 3一X2 .7.已知橢圓C:一X2 .7.已知橢圓C:—+y2=1上兩點(diǎn)A,B,4若AB的中點(diǎn)為D，直線OD的斜率等于1,則直線AB的斜率等于()—111C.——21D.——48.已知圓O:x2+y2=r2(r>0)8.已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與直線函數(shù)f(x)=ln(x—1)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()個(gè)A.2 B.1 C.0 D.3二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分..已知直線l:x—my+m—1=0，則下述正確的是()A.直線l的斜率可以等于0B.直線1的斜率有可能不存在C.直線l可能過點(diǎn)(2,1)D.若直線l的橫縱截距相等，則m=±1.已知橢圓C：16X2+25y2=400，關(guān)于橢圓C下述正確的是()A.橢圓C的長軸長為10B.橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,—3)和(0,3)…3C.橢圓C的離心率等于532D.若過橢圓C的焦點(diǎn)且與長軸垂直的直線l與橢圓C交于P,Q，則IPQI=5PF近.已知點(diǎn)F(—1,0),F(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P到直線x=2的距離為d,—-2二號(hào)，則()1 2 d2A.點(diǎn)P的軌跡是橢圓 B.點(diǎn)P的軌跡曲線的離心率等于1C.點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1 D.APFF的周長為定值4v-22 1212.已知四面體ABCD的所有棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是()A.異面直線AC與BD所成角為60。2MB.點(diǎn)A到平面BCD的距離為一廠C.四面體ABCD的外接球體積為、&

D.動(dòng)點(diǎn)P在平面BCD上，且AP與AC所成角為60°,則點(diǎn)P的軌跡是橢圓三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.TOC\o"1-5"\h\z13.圓C:x2+y2+4X=0與圓C:(x—2)2+(y—1)2=9的位置關(guān)系為 .\o"CurrentDocument"1 2X2y2 1.已知橢圓一十一=1的離心率等于彳，則實(shí)數(shù)m= .m9 3.已知正方體ABCD—A1B1clR的棱長為1,點(diǎn)P為線段AQ上一點(diǎn)，IPA1=1,則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為..在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,2),D(2,1)，點(diǎn)B,C分別在x軸、y軸上，一則(1)IABI+IBDI的最小值是 ；(2)IACI+ICBI+IBDI的最小值是 .(第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟..(10分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l:ax+y-a-1=0(agR)，圓O:x2+y2=1.(1)若l的傾斜角為120°,求a；(2)若l與直線l:2x-y=0的傾斜角互補(bǔ)，求直線l上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最小距離；0(3)求點(diǎn)O到l的最大距離及此時(shí)a的值..(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，圓C過點(diǎn)E(1,0)和點(diǎn)F(0,1),圓心。到直線x+y=0的距離等于.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓心。在第一象限，M為圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)M做圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，四邊形MACB的面積為V3，求點(diǎn)M的軌跡方程..(12分)在四棱錐P-ABCD中，底^BCD是邊長為4的正方形，PD1平面ABCD,M為PC中點(diǎn).(1)如果PD=4，求證：PC1平面MAD； P20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，C1(0,-J2),圓C20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，C1(0,-J2),圓C2(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直縝過點(diǎn)(0,1),且與曲線C交于A,B,:x2+(y-&/2=12,動(dòng)圓P過2與圓C相切.2已知4B中點(diǎn)在直綠二--上海直纜的方程.求三棱錐D-MBC的體積V.21.（12分）如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，ABCF為等邊三角形，ZABC=60。,AB=2,EF//CD，平面BCF1平面ABCD.(1)證明：在線段BC上存在點(diǎn)。，使得平面ABCD1平面AOF；(2)求二面角B—AF—C的余弦值；(3)若ED//平面AOF，求線段EF的長度.22,(12分)X2V2已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:--+b-=13>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F2,IF1F2\=2,p為橢圓的上頂點(diǎn)，以P為圓心且過F,F2的圓與直線X=72相切.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn).(i)若直線/的斜率等于1，求AOMN面積的最大值；(ii)若OM-ON=—1,點(diǎn)D在l上，OD11.證明：存在定點(diǎn)W，使得IDWI為定值.2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測(cè)高二數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1--8:ACBDBCDA二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9.BD;10.ACD;11.AC;12.BC;三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。TOC\o"1-5"\h\z13.相交；14.8或4；15.-T—；16.(1)x110；(2)3<2；8 3四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(10分) _解：(1)由題知：直線l的斜率等于tan120=—%回=—a 2分解得a=%回 3分(2)因?yàn)閘與直線10：2x-y=0的傾斜角互補(bǔ)，所以兩者斜率互為相反數(shù)???4分所以—a=-2，即a=2，所以l:2x+y—3=0 5分一一一 3J5則圓心O到直線l的距離d=-5->1 6分一 一 3花所以直線l上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最小距離為士-1 7分(3)直線l恒過定點(diǎn)卬(1,1) 8分所以O(shè)到l的最大距離小于等于IOW1=\；2 9分此時(shí)，OW11,所以kOW-ki=-1，解得a=1 10 分18.(12分)解：(1)因?yàn)閳AC過點(diǎn)E(1,0)和點(diǎn)F(0,1)所以圓心C在線段EF的垂直平分線y=x上，所以可設(shè)圓心為C(a,a) 2分因?yàn)閳A心C到直線x+y=0的距離等于、無Ia+aI所以 2-=v2，解得a=—1 4分當(dāng)a=1時(shí)，圓心為(1,1)，半徑r=IECI=1,圓C的方程為：(x-1)2+(y-1)2=1當(dāng)a=-1時(shí)，圓心為(-1,-1)，半徑丫=IECI=<5,圓C的方程為：(x+1)2+(y+1)2=5所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=5 6 分(2)由題知：因?yàn)镃A1MA 所以四邊形(2)由題知：因?yàn)镃A1MA 所以四邊形MACB的面積SCAMB因?yàn)镮CAI=1,所以|AM|=v3=2SACAMCA|.|AM|=耳 7分8分9分所以|CM|2=|CA|2+1AM|2=4 10 分所以|CM|=2，點(diǎn)m的軌跡是以C為圓心，半徑為2的圓所以點(diǎn)M的軌跡方程為：(x-1)2+(y-1)2=4....19.(12分)

證明：(1)在APDC中，PD=DC,M為PC中點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z所以PC1DM 1分因?yàn)镻D1平面ABCD,ADu平面ABCD所以PD1AD又因?yàn)锳D1CD,PDCD=D所以AD1平面PCD八 3分因?yàn)镻Cu平面PCD11所以AD1PC 4分因?yàn)锳DDM=D所以PC1平面MAD 5分(2)設(shè)PD=t，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DP所在方向?yàn)橛饄,工軸正方向，建立O—町z空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(4,4,0),M(0,2,1),P(0,0,t) ??6分設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z)，'n?DM=0 2設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z)，'n?DM=0 2y+-z=0所以《 ，得〈 2 ，[n.DB=0 I4X+4y=04TOC\o"1-5"\h\z令y=1,可得n=(-1,1,--), 8 分 , ,t -所以BP與平面MBD的法向量n所成角的正弦值為, -4 , 4 1cos<"cT6+r^=?+2(t2+等)氣256 ,(當(dāng)且僅當(dāng)口二一，即t=4時(shí)等號(hào)成立) 10分12所以三棱錐D-MBC的體積V—V ——V =—V -—X—X4x4x4二竺 12分D-MBC M-DBC2P-DBC4P-ABCD43 320.(12分) _解：(1)設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由題意知：|PCJ-丫,|PC21-2召-r....1分所以|PCj+|PC2|-2J3>IqCj-272 2分所以P點(diǎn)的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓. 3分其長軸長2a-2J3,焦距為2c-2J2,b-aa2-c2-1, 4分所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2+x2-1 5分(2)若直線斜率不存在，則A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，不合題意 6分(3+k2)x2(3+k2)x2+2kx-2-0將y-kx+1代入￡+x2-1得:3… . 2k …所以x1+x2—一§+卜2 8分所以k2-4k+3-0，解得k-1或k-3 11分所以，直線l的方程為：y-x+1或y-3x+1 12分

21.(12分)解：(1)取線段BC的中點(diǎn)。，連接OA,OF，因?yàn)?CF、AABC均為等邊三角形，所以BC1OA,BC1OF,OAOF=O，所以BC1平面AOF 又因?yàn)锽Cu平面ABC。，所以平面ABCD1平面AOF 所以，線段BC的中點(diǎn)O,使得平面ABCD1平面AOF(2)因?yàn)槠矫鍮CF1平面ABCD,平面BCF平面ABCD=BC,FO1BC所以FO1平面ABCD,所以O(shè)A,OB,OF兩兩垂直以O(shè)A、OB、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz則A(<3,0,0,),B(0,1,0),F(0,0,<3),C(0,-1,0),D?3,-2,0) 設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量3分4分m=(x/y/zj,因?yàn)锳B=3分4分AF=(-,/3,0,<3),5分FE,、、D6分C:2 2 2A，所以n二(1,一七‘3,『)?By7分5分FE,、、D6分C:2 2 2A，所以n二(1,一七‘3,『)?By7分所以尸=(1,v;3,1)因?yàn)镃A=(v'3,1,0),CF=(0,1,右)m-CA=0，得imCF=0Im?nI 1設(shè)二面角B-AF-C的平面角為0，所以cos9= =-所以二面角B-AF-C的余弦值為1 5 —?—?⑶因?yàn)镋F所以二面角B-AF-C的余弦值為1 5 —?—?⑶因?yàn)镋F//CD//AB，設(shè)FE=tBA=(<3t,-1,0),F(0,0,<3)所以E(V3t,-1,<3),則DE=(^3t-；3,2-1,<3) 又因?yàn)槠矫鍭OF的一個(gè)法向量為OB=(0,1,0) 因?yàn)镈E-OB=(v；31-J3,2-t,，哥(0,1,0)=2-1=0所以t=2，所以IFEI=2TBAI=4 22,(12分)解：(DM意知：F(TO),F2(1,0) 由橢圓定義知，所以2〃=PF+PF2=272 設(shè)橢圓的半焦距為。，所以b2+c2=a2，所以a=<2,b=1,c=110分11分12分1分2分X2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+y2=1 (2)(i)設(shè)直線l的方程為：y=kx+1x2將y=kx+1帶入 +y2=1得：(1+2k2)x2+4ktx+21