微積分簡答題答案

微積分簡答題答案您的位置：考核練習(xí)>>簡答練習(xí)[當(dāng)前練習(xí)：第一階段基礎(chǔ)測驗]1、在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期·問題反饋【教師釋疑】、在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，就是極限的樸素思想。23近似地計算圓周率率的問題反饋【教師釋疑】所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這個方法，是劉徽在批判總結(jié)了數(shù)學(xué)史上各種舊的計算方法之后，經(jīng)過深思熟慮才創(chuàng)造出來的一種嶄新的方法。中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為三比一）的數(shù)值來進行有關(guān)圓的計算。但用這個數(shù)值進行計算的結(jié)果，往往誤劉徽長而是圓內(nèi)接正六邊形的周長，其數(shù)值要比實際的圓周長小得多。東漢的所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這個方法，是劉徽在批判總結(jié)了數(shù)學(xué)史上各種舊的計算方法之后，經(jīng)過深思熟慮才創(chuàng)造出來的一種嶄新的方法。中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為三比一）的數(shù)值來進行有關(guān)圓的計算。但用這個數(shù)值進行計算的結(jié)果，往往誤劉徽長而是圓內(nèi)接正六邊形的周長，其數(shù)值要比實際的圓周長小得多。東漢的張衡不滿足于這個結(jié)果，他從研究圓與它的外切正方形的關(guān)系著手得到圓周率。這個數(shù)值比“周三徑一”要好些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大于實際的圓極限思想膽創(chuàng)新，又嚴(yán)密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學(xué)的道路。在劉徽看來，既然用“周三徑一”計算出來的圓周長實際上是圓內(nèi)接正六邊形的周長，與圓周長相差很多；那么我們可以在圓內(nèi)接正六邊形把圓周等分為六條弧的基礎(chǔ)上，再繼續(xù)等分，把每段弧再分割為二，做出一個圓內(nèi)接正十二邊形，這個正十二邊形的周長不就要比正六邊形的周長更接近圓周了嗎？如果把圓周再繼續(xù)分割，做成一個圓內(nèi)接正二十四邊形，那么這個正二十四邊形的周長必然再繼續(xù)分割，做成一個圓內(nèi)接正二十四邊形，那么這個正二十四邊形的周長必然又比正十二邊形的周長更接近圓周。。這就表明，越是把圓周分割得細，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個近似數(shù)值。這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對自己創(chuàng)造的這個“割圓術(shù)”新方法非常自信，把它推廣到有關(guān)圓形計算的各個方面，從而使?jié)h代以來的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進了一步。以后到了南北朝時期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點以后的第七位。在西方，這個成績是由法國數(shù)學(xué)家韋達于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓周率的兩個分數(shù)值，一個是“約率”，另一個是“密率”.，其中這個值，在西方是由德國又比正十二邊形的周長更接近圓周。。這就表明，越是把圓周分割得細，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個近似數(shù)值。這個結(jié)果是當(dāng)時世界上圓周率計算的最精確的數(shù)據(jù)。劉徽對自己創(chuàng)造的這個“割圓術(shù)”新方法非常自信，把它推廣到有關(guān)圓形計算的各個方面，從而使?jié)h代以來的數(shù)學(xué)發(fā)展大大向前推進了一步。以后到了南北朝時期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點以后的第七位。在西方，這個成績是由法國數(shù)學(xué)家韋達于1593年取得的,比祖沖之要晚了一千一百多年。祖沖之還求得了圓周率的兩個分數(shù)值，一個是“約率”，另一個是“密率”.，其中這個值，在西方是由德國的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀(jì)末才得到的，都比祖沖之晚了一千一百年。劉徽所創(chuàng)立的“割圓術(shù)”新方法對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的重大貢獻，歷史是永遠不會忘記的。利用圓內(nèi)接或外切正多邊形，求圓周率近似值的方法，其原理是當(dāng)正多邊形的邊數(shù)增加時，它的邊長和逐漸逼近圓周。早在公元前5世紀(jì)，古希臘學(xué)者安蒂豐為了研究化圓為方問題就設(shè)計一種方法：先作一個圓內(nèi)接正四邊形，以此為基礎(chǔ)作一個圓內(nèi)接正八邊形，再逐次加倍其邊數(shù)，得到正16邊形、正32邊形等等，直至正多邊形的邊長小到恰與它們各自所在的圓周部分重合，他認為就可以完成化圓為方問題。到公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德在《論球和閱柱》一書中利用窮竭法建立起這樣的命題：只要邊數(shù)足夠多，圓外切正多邊形的面積與內(nèi)中利用窮竭法建立起這樣的命題：只要邊數(shù)足夠多，圓外切正多邊形的面積與內(nèi)接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德又在《圓的度量》一書中利用正多邊形割圓的方法得到圓周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，還說圓面積與夕卜切正方形面積之比為11：14，即取圓周率等于22/7。公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說，他從圓內(nèi)接正六邊963.14或157/50，后人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。劉徽斷言“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無接正多邊形的面積之差可以任意小。阿基米德又在《圓的度量》一書中利用正多邊形割圓的方法得到圓周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，還說圓面積與夕卜切正方形面積之比為11：14，即取圓周率等于22/7。公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說，他從圓內(nèi)接正六邊963.14或157/50，后人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。劉徽斷言“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。其思想與古希臘窮竭法不謀而合。割圓術(shù)在圓周率計算史上曾長期使1610年德國數(shù)學(xué)家柯倫用2^62邊形將圓周率計算到小數(shù)點后351630年格林貝爾格利用改進的方法計算到小數(shù)點后39位，成為割圓術(shù)計算圓周率的最好結(jié)果。分析方法發(fā)明后逐漸取代了割圓術(shù)，但割圓術(shù)作為計算圓周率最早的科學(xué)方法一直為人們所稱道。3、極限概念產(chǎn)生于，兩個實際問題。問題反饋【教師釋疑】極限的概念產(chǎn)生于解決維分學(xué)與積分學(xué)的基本問題。極限概念產(chǎn)生于求曲邊形面積和曲線上任一點的切線兩個實際問題。4、常微分方程問題反饋【教師釋疑】如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量,這個方程叫做常微分方程,也簡稱微分方程；如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量,這個方程叫做常微分方程,也簡稱微分方程；5、偏微分方程問題反饋【教師釋疑】如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān),而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導(dǎo)數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程.如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān),而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導(dǎo)數(shù),那么這種微分方程就是偏微分方程.6、變量分離方程問題反饋分離變量法分離變量法或程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變量，而剩余部分則跟此變量無關(guān)。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等于常數(shù)，而兩個部分的值的代數(shù)和等于零。[1]利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識，以及其他巧妙的方法，求出各個方程的通解。最后將這些通解“組裝起來”。分離變量法是求解波動方程初邊值問題的一種常用方法7、什么是費馬定理？問題反饋費馬（Fermat費馬（Fermat）引理是實分析中的一個定理，以皮埃爾·德·費馬命名。通過證明函數(shù)的每一個極值極值都是駐點（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點為零），該定理給出了一個求出可微函數(shù)的最大值和最小值的方法。因此，利用費馬引理，求函數(shù)的極值的問題便化為解的方法。因此，利用費馬引理，求函數(shù)的極值的問題便化為解方程的問題。需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數(shù)在某個點為極值的馬引理僅僅給出了函數(shù)在某個點為極值的必要條件。也就是說，有些駐點可以不是極值，它們是是拐點。要想知道一個駐點是不是極值，并進一步區(qū)分極大值和極小值，我們需要分析二階導(dǎo)數(shù)數(shù)（如果它存在）。當(dāng)該點的二階導(dǎo)數(shù)大于零時，該點為極小值點；當(dāng)該點的二階導(dǎo)數(shù)小于零時，該點為極大值點。若二階導(dǎo)數(shù)為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。）時，該點為極大值點。若二階導(dǎo)數(shù)為零，則無法用該法判斷，需列表判斷。）（c,c費馬定理：設(shè)fx在c的某鄰域

內(nèi)有定義，而且在這個領(lǐng)f(xf(c)（其中fc為局部最大值f(xf(c)（其中fc為局部最小值），當(dāng)fx在cf(c0．證明：因為假設(shè)f'(c)存在，由定義可得左導(dǎo)數(shù)f'(x)和右導(dǎo)數(shù)f'(c)均- 存在且滿足：f'(c)f'(c)f'(c)- 當(dāng)xc

f(x)f(c) f(x)f(c)0，所以f'(c)lim 0當(dāng)xc

xcf(x)f(c)xc

xc0，所以f(climxc

xcf(x)f(c)0xc所以f'(c)0以上是對于f(x)f(c)這種情況進行的證明，同理也可證明f(xf(c這種情形8、什么是羅爾定理？問題反饋【教師釋疑】羅爾定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b上可導(dǎo)，若f(a)f(b)，則必有一點cbf(c0．證明：分兩種情況，若f(x)為常值，結(jié)論顯然成立．若f(x)不為常值，根據(jù)最大、最小值定理（有界閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)具有最大值和最小值）可知，f(x)必在a,b內(nèi)某一點c處達到最大值或最小值，再有費馬定理可得，f'(c)0．9、什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的?問題反饋【教師釋疑】拉格朗日中值定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b上可導(dǎo)，則一定有一點b使f'(

f(b)f(a)ba．證明fxf(x)0在b上處處成立，．則定理結(jié)論明顯成立．若f(x)在a,b不恒為常數(shù)時，由于f(x)在a,b上fx)必在M最小值m，有一種特殊情況f(a)f(b時，定理成立，這就是上面所證明過的羅爾定理．考慮一般情形，f(a)f(b)．做輔助函數(shù)(x)f(x)

f(b)f(a)x．由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)運算法則，可得ba(x)在b(b)

bf(a)afba

a，這就是說(xb內(nèi)至少有一點，使得'()f' f f(b)f(a)

0．即f

f(b)f(a)．定理得證．b a柯西中值定理：若fx和g(x)在上連續(xù)，在b上可導(dǎo)，且． f(b)f(a) f'．g'(x)0，則一定存在

a,

g'證明：首先能肯定g(a)g(b，因為如果g(a)g(b，那么由拉格朗g'(x在b內(nèi)存在零點，因此與假設(shè)矛盾． F(x)fxf(bfa) gbgaFF10、函數(shù)的性質(zhì)有哪些？問題反饋【教師釋疑】11、單調(diào)函數(shù)的圖像特點是總是或總是。問題反饋【教師釋疑】單調(diào)函數(shù)的圖像特點總是上升或總是下降。12問題反饋【教師釋疑】反函數(shù)的圖像特點是關(guān)于y=x對稱。13問題反饋【教師釋疑】從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問題：求面積，體積，弧長、瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。14、極限概念描述的是變量在某一變化過程中的。問題反饋【教師釋疑】極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)是一個無限逼近的過程是一個客觀上存在但又永遠達不到的數(shù)。15問題反饋【教師釋疑】比如有三個數(shù)a，b，c如果存在不全為0的三個數(shù)m，n，k使得ma+nb+kc=0就說a，b，c線性相關(guān) 否則若只有當(dāng)m=n=k=0時成立，則它們線性無其實a，b，c代表的東西很多，不一定就是數(shù)字，也可以是向量啊，等等數(shù)量也不一定是三個，在這只是舉個例子，也可以是無限多個由此定義看出是否線性相關(guān)，就看是否存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,···,km使得上式成立。即是看這個齊次線性方程組是否存在非零解，將其系數(shù)矩陣化為最簡形矩陣，即可求解。此外，當(dāng)這個齊次線性方程組的系數(shù)矩陣是一個方陣時，這個系數(shù)矩陣存在行列式為0，即有非零解，從而線性相關(guān)。16、極極問題反饋【教師釋疑】在數(shù)學(xué)中，極線通常是一個適用于圓錐曲線的概念，如果圓錐曲線的切于A,B兩點的切線相交于P點，那么P點稱為直線AB關(guān)于該曲線的極點(pole)，直線AB稱為P點的極線(polar)17問題反饋【教師釋疑】無窮小量是極限為0的變量而不是數(shù)量0，是指自變量在一定變動方式下其極限為數(shù)量0，稱一個函數(shù)是無窮小量，一定要說明自變量的變化趨勢。例如在時是無窮小量，而不能籠統(tǒng)說是無窮小量。也不能說無窮小是是無窮小量。也不能說無窮小是，是指負無窮大。18、請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。問題反饋y=c(c0,但是在任意一點處都不是極值點.19、最大值與極大值是一回事嗎？問題反饋：不是一回事.連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值,但是最大值和最小值卻各有一個.20、求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個步驟？問題反饋答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點來,并計算出這些點的函數(shù)值；（2）計算出比區(qū)間端點處的函數(shù)值；將以上個函數(shù)值進行比較,可得到最大值與最小值.21、若x1(t),x2(t),...x3(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是21、若x1(t),x2(t),...x3(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是 問題反饋【教師釋疑】w22、方程組x//A(t)x的 稱之為x//A(t)x的一個基本解組。問題反饋【教師釋疑】n個線性無關(guān)解1(t)(0)l23、若若(t)是常系數(shù)線性方程組x//Ax的基解矩陣，則expAt= 問題反饋【教師釋疑】Φ(t)Φ24、滿足 稱為方程組的奇點問題反饋【教師釋疑】X(x,y)=0,Y(x,y)=025問題反饋【教師釋疑】可變成本(VariableCosts)，又稱變動成本，是指在總成本中隨產(chǎn)量的變化而變動的成本項目，主要是原材料，燃料，動力等生產(chǎn)要素的價值，當(dāng)一定期間的產(chǎn)量增大時，原材料，燃料，動力的消耗會26問題反饋【教師釋疑】在經(jīng)濟學(xué)和金融學(xué)中，邊際成本指的是每一單位新增生產(chǎn)的產(chǎn)品（或者購買的產(chǎn)品）帶來的總成本的增量。這個概念表明每一單位的產(chǎn)品的成本與總產(chǎn)品量有關(guān)。比如，僅生產(chǎn)一輛汽車的成本是極其巨大的，而生產(chǎn)第101輛汽車的成本就低得多，而生產(chǎn)第10000輛汽車的成本就更低了（這是因為規(guī)模經(jīng)濟帶來的效益）。但是，考慮到機會成本，隨著生產(chǎn)量的增加，機會成本也可能會增加。還是這個例子，生產(chǎn)新的一輛車時，所用的材料可能有更好的用處，所以要盡量用最少的材料生產(chǎn)出最多的車，這樣才能提高邊際收益。邊際成本簡寫為MC或MPC27、長期總成本27、長期總成本問題反饋長期總成本是長期中生產(chǎn)某一產(chǎn)量所花費的最低短期總成本。人們可以用這個來總結(jié)自己的