微分方程例題

微分方程例題第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.求下述微分方程的通解:解:令則故有即解得(C為任意常數(shù))所求通解:第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例:解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解:第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說(shuō)明:顯然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了.第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.求方程的通解.解:注意x,y同號(hào),由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成上例的方程.但若在方程兩邊同乘第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六備用題解方程解法1積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解法2化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解法3化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.

解:

第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六對(duì)于型方程(n≥2)，可以令得如果能求出其通解逐次積分n-1次，就可得到原方程的通解其中C1,C2...,Cn為任意常數(shù).第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.解初值問(wèn)題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.解:特征方程:即其根為方程通解:第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六備用題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān).(反證法可證)(89考研)第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.

已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.的通解為的通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:積分得故所求通解為第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例.的通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡(jiǎn)得此題不需再作變換.特征根:設(shè)⑦的特解為于是得⑦的通解:故原方程通解為(二階常系數(shù)非齊次方程)⑦代入⑦可得:第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2.

求解定解問(wèn)題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六于是所求解為解得第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例5.

的通解.解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為第30頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①第31頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期六①的通解為換回原變量,