模糊數(shù)學(xué)教學(xué)課件

2011年夏模糊數(shù)學(xué)教學(xué)課件第一頁，共188頁。年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強(qiáng)、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點(diǎn)：模糊概念的外延不清楚。模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學(xué)——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。模糊數(shù)學(xué)緒論2第二頁，共188頁。產(chǎn)生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發(fā)表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個(gè)人屬于禿子的程度為0.8,另一個(gè)人屬于禿子的程度為0.3等.模糊數(shù)學(xué)緒論3第三頁，共188頁。模糊代數(shù)，模糊拓?fù)?，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支涉及學(xué)科分類、識(shí)別、評(píng)判、預(yù)測、控制、排序、選擇；模糊產(chǎn)品洗衣機(jī)、攝象機(jī)、照相機(jī)、電飯鍋、空調(diào)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟(jì)、文學(xué)、音樂模糊數(shù)學(xué)緒論4第四頁，共188頁。模糊數(shù)學(xué)緒論課堂主要內(nèi)容一、基本概念二、主要應(yīng)用1.模糊聚類分析——對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣?yán)?，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機(jī)質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對(duì)土壤進(jìn)行分類。5第五頁，共188頁。2.模糊模式識(shí)別——已知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，給出一個(gè)具體的對(duì)象，確定把它歸于哪一類模型。模糊數(shù)學(xué)緒論例如：蘋果分級(jí)問題蘋果，有{I級(jí)，II級(jí)，III級(jí)，IV級(jí)}四個(gè)等級(jí)。現(xiàn)有一個(gè)具體的蘋果，如何判斷它的級(jí)別。6第六頁，共188頁。3.模糊綜合評(píng)判——從某一事物的多個(gè)方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)模糊數(shù)學(xué)緒論例如：某班學(xué)生對(duì)于對(duì)某一教師上課進(jìn)行評(píng)價(jià)從{清楚易懂，教材熟練，生動(dòng)有趣，板書清晰}四方面給出{很好，較好，一般，不好}四層次的評(píng)價(jià)最后問該班學(xué)生對(duì)該教師的綜合評(píng)價(jià)究竟如何。4.模糊線性規(guī)劃——將線性規(guī)劃的約束條件或目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個(gè)新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解7第七頁，共188頁。模糊數(shù)學(xué)一模糊集合及其運(yùn)算二模糊聚類分析三模糊模式識(shí)別四模糊綜合評(píng)判五模糊線性規(guī)劃8第八頁，共188頁。一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)集合：具有某種特定屬性的對(duì)象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對(duì)局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行討論的對(duì)象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個(gè)對(duì)象u稱為U的元素。模糊集合及其運(yùn)算9第九頁，共188頁。.uAA.u模糊集合及其運(yùn)算10第十頁，共188頁。在論域U中任意給定一個(gè)元素u及任意給定一個(gè)經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱為集合A的特征函數(shù)。模糊集合及其運(yùn)算非此及彼11第十一頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的內(nèi)部，則用1來記錄，若x位于A的外部，則用0來記錄，若x一部分位于A的內(nèi)部，一部分位于A的外部，則用x位于A內(nèi)部的長度來表示x對(duì)于A的隸屬程度。12第十二頁，共188頁。{0,1}[0,1]特征函數(shù)隸屬函數(shù)二、模糊子集定義：設(shè)U是論域，稱映射確定了一個(gè)U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數(shù)，稱為對(duì)的隸屬程度，簡稱隸屬度。13第十三頁，共188頁。模糊子集由隸屬函數(shù)唯一確定，故認(rèn)為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。模糊集合及其運(yùn)算越接近于0,表示x隸屬于A的程度越??；越接近于1,表示x隸屬于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，過渡點(diǎn)14第十四頁，共188頁。模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對(duì)模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個(gè)小數(shù)的集合”可表示為可省略模糊集合及其運(yùn)算15第十五頁，共188頁。（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊集合及其運(yùn)算16第十六頁，共188頁。例1.有100名消費(fèi)者，對(duì)5種商品評(píng)價(jià)，結(jié)果為：81人認(rèn)為x1質(zhì)量好，53人認(rèn)為x2質(zhì)量好，所有人認(rèn)為x3質(zhì)量好，沒有人認(rèn)為x4質(zhì)量好，24人認(rèn)為x5質(zhì)量好則模糊集A（質(zhì)量好）17第十七頁，共188頁。例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一個(gè)年齡集，u=20?A，40呢？…札德給出了“年老”集函數(shù)刻畫:10U5010018第十八頁，共188頁。再如，Y=“年輕”也是U的一個(gè)子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：

102550UB（u）19第十九頁，共188頁。則模糊集O（年老）則模糊集Y（年輕）20第二十頁，共188頁。2、模糊集的運(yùn)算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集合及其運(yùn)算21第二十一頁，共188頁。例3.模糊集合及其運(yùn)算則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.522第二十二頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算并交余計(jì)算的性質(zhì)1.冪等律2.交換律3.結(jié)合律4.吸收律23第二十三頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算6.0-1律7.還原律8.對(duì)偶律5.分配律24第二十四頁，共188頁。幾個(gè)常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊集合及其運(yùn)算25第二十五頁，共188頁。（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集合及其運(yùn)算26第二十六頁，共188頁。三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計(jì)法模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：（1）論域U；（2）U中的一個(gè)固定元素（3）U中的一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)集合（4）U中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運(yùn)動(dòng)。可以覆蓋也可以不覆蓋致使對(duì)A的隸屬關(guān)系是不確定的。模糊集合及其運(yùn)算27第二十七頁，共188頁。特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中，是固定的，而在隨機(jī)變動(dòng)。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過程：（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對(duì)A的隸屬度：模糊集合及其運(yùn)算28第二十八頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算對(duì)129人進(jìn)行調(diào)查,讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28問年齡27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。29第二十九頁，共188頁。對(duì)年齡27作出如下的統(tǒng)計(jì)處理：A(27)=0.78(變動(dòng)的圈是否蓋住不動(dòng)的點(diǎn))n10203040506070隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數(shù)6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

30第三十頁，共188頁。2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。模糊集合及其運(yùn)算一般會(huì)有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。例如：在論域中，確定A=“靠近5的數(shù)”的隸屬函數(shù)中間型31第三十一頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù)先確定一個(gè)簡單的，比如此時(shí)有不太合理，故改變?chǔ)?2第三十二頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算取此時(shí)有有所改善。33第三十三頁，共188頁。3、其它方法德爾菲法：專家評(píng)分法；二元對(duì)比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對(duì)比較法、擇優(yōu)比較法和對(duì)比平均法等。模糊集合及其運(yùn)算34第三十四頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算四、模糊矩陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時(shí)，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對(duì)角線上的元素都為1時(shí)，稱R為模糊單位矩陣。例如：35第三十五頁，共188頁。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊集合及其運(yùn)算并：交：余：36第三十六頁，共188頁。例4：模糊集合及其運(yùn)算37第三十七頁，共188頁。（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。模糊集合及其運(yùn)算即：定義：設(shè)A為階，則模糊方陣的冪定義為38第三十八頁，共188頁。例5：模糊集合及其運(yùn)算39第三十九頁，共188頁。（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。模糊集合及其運(yùn)算性質(zhì)：40第四十頁，共188頁。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對(duì)任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。模糊集合及其運(yùn)算41第四十一頁，共188頁。例6：模糊集合及其運(yùn)算42第四十二頁，共188頁。截矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.模糊集合及其運(yùn)算43第四十三頁，共188頁。（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對(duì)稱矩陣。例如是模糊對(duì)稱矩陣。模糊集合及其運(yùn)算44第四十四頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。45第四十五頁，共188頁。模糊集合及其運(yùn)算定義：若模糊方陣Q，S，A滿足則稱S為A的傳遞閉包，記為t(A)。46第四十六頁，共188頁。模糊聚類分析一、基本概念及定理47第四十七頁，共188頁。模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價(jià)矩陣是等價(jià)的Boole矩陣。意義：將模糊等價(jià)矩陣轉(zhuǎn)化為等價(jià)的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價(jià)關(guān)系，而等價(jià)關(guān)系是可以分類的。因此，當(dāng)λ在[0,1]上變動(dòng)時(shí)，由得到不同的分類。48第四十八頁，共188頁。模糊聚類分析49第四十九頁，共188頁。例6：設(shè)對(duì)于模糊等價(jià)矩陣模糊聚類分析50第五十頁，共188頁。模糊聚類分析畫出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：0.80.60.50.4151第五十一頁，共188頁。模糊聚類分析52第五十二頁，共188頁。例7：設(shè)有模糊相似矩陣模糊聚類分析53第五十三頁，共188頁。二、模糊聚類的一般步驟１、建立數(shù)據(jù)矩陣模糊聚類分析54第五十四頁，共188頁。（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化模糊聚類分析55第五十五頁，共188頁。（2）極差正規(guī)化（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊聚類分析56第五十六頁，共188頁。２、建立模糊相似矩陣（標(biāo)定）（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法模糊聚類分析57第五十七頁，共188頁。（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊聚類分析58第五十八頁，共188頁。（3）貼近度法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類分析59第五十九頁，共188頁。3、聚類并畫出動(dòng)態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法步驟：模糊聚類分析（2）boole矩陣法（略）60第六十頁，共188頁。（3）直接聚類法模糊聚類分析①取作相似類當(dāng)不同相似類出現(xiàn)公共元素時(shí)，將公共元素所在類合并。②取找出的元素對(duì)將對(duì)應(yīng)于的等價(jià)分類中所在類與所在類合并，所有情況合并后得到相應(yīng)于的等價(jià)分類。③依次類推，直到合并到U成為一類為止。（4）最大樹法（5）編網(wǎng)法61第六十一頁，共188頁。模糊聚類分析62第六十二頁，共188頁。解：由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類分析63第六十三頁，共188頁。用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析64第六十四頁，共188頁。用平方法合成傳遞閉包65第六十五頁，共188頁。取，得模糊聚類分析66第六十六頁，共188頁。取，得取，得模糊聚類分析67第六十七頁，共188頁。取，得取，得模糊聚類分析68第六十八頁，共188頁。畫出動(dòng)態(tài)聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析69第六十九頁，共188頁。若利用直接聚類法模糊相似矩陣取λ＝1,此時(shí)為單位矩陣，故分類自然為{x1}，{x2}，{x3}，{x4}，{x5}。取λ＝0.70,此時(shí)70第七十頁，共188頁。故分類應(yīng)為{x1}，{x3}，{x2,x4}，{x5}。{x2,x4}為相似類取λ＝0.63,此時(shí){x2,x4}，{x1,x4}為相似類，有公共元素x4的相似類為{x1,x2,x4}故分類應(yīng)為{x1,

x2,x4}，{x3}，{x5}。71第七十一頁，共188頁。取λ＝0.62,此時(shí){x2,x4},{x1,x4},{x1,x3}為相似類，有公共元素x4的相似類為{x1,x2,x3,x4}故分類應(yīng)為{x1,x2,x3,x4}，{x5}。72第七十二頁，共188頁。取λ＝0.53,此時(shí)故分類應(yīng)為{x1,x2,x3,x4,x5}。73第七十三頁，共188頁。模糊聚類分析的簡要流程:YN74第七十四頁，共188頁。4、最佳閾值的確定模糊聚類分析（1）按實(shí)際需要，調(diào)整λ的值，或者是專家給值。（2）用F

-統(tǒng)計(jì)量確定最佳λ值。針對(duì)原始矩陣X，得到其中，設(shè)對(duì)應(yīng)于λ的分類數(shù)為r,第j類的樣本數(shù)為nj,第j類的樣本記為：75第七十五頁，共188頁。則第j類的聚類中心為向量：其中，為第k個(gè)特征的平均值作F

-統(tǒng)計(jì)量模糊聚類分析76第七十六頁，共188頁。模糊聚類分析若是則由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論知道類與類之間的差異顯著若滿足不等式的F值不止一個(gè)，則可進(jìn)一步考察差值的大小，從較大者中選擇一個(gè)即可。其中77第七十七頁，共188頁。模糊模式識(shí)別模式識(shí)別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模式，稱為標(biāo)準(zhǔn)模式庫；二是有待識(shí)別的對(duì)象。所謂模糊模式識(shí)別，是指在模式識(shí)別中，模式是模糊的，或說標(biāo)準(zhǔn)模式庫中提供的模式是模糊的。78第七十八頁，共188頁。模式識(shí)別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標(biāo)準(zhǔn)類型(數(shù)學(xué)形式化了的類型)的前提下，判斷識(shí)別對(duì)象屬于哪個(gè)類型？對(duì)象也要數(shù)學(xué)形式化，有時(shí)數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時(shí)識(shí)別就要運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)方法。模糊模式識(shí)別79第七十九頁，共188頁。在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當(dāng)我們?nèi)〉揭粋€(gè)新的樣本時(shí)，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個(gè)新的類型呢？這就是所謂的模式識(shí)別問題。在經(jīng)濟(jì)分析，預(yù)測與決策中，在知識(shí)工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。本節(jié)介紹兩類模式識(shí)別的模糊方法。一類是元素對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題——點(diǎn)對(duì)集；另一類是模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題——集對(duì)集。模糊模式識(shí)別80第八十頁，共188頁。例1.蘋果的分級(jí)問題設(shè)論域X={若干蘋果}。蘋果被摘下來后要分級(jí)。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級(jí)。于是可以將蘋果分級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)模型庫規(guī)定為={Ⅰ級(jí)，Ⅱ級(jí)，Ⅲ級(jí)，Ⅳ級(jí)}，顯然，模型Ⅰ級(jí)，Ⅱ級(jí)，Ⅲ級(jí)，Ⅳ級(jí)是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個(gè)蘋果x0后，到底應(yīng)將它放到哪個(gè)等級(jí)的筐里，這就是一個(gè)元素（點(diǎn)）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。模糊模式識(shí)別81第八十一頁，共188頁。例2.醫(yī)生給病人的診斷過程實(shí)際上是模糊模型識(shí)別過程。設(shè)論域X={各種疾病的癥候}(稱為癥候群空間)。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗(yàn)可得標(biāo)準(zhǔn)模型庫={心臟病，胃潰瘍，感冒，…}，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個(gè)模糊識(shí)別過程，也是一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。模糊模式識(shí)別82第八十二頁，共188頁。點(diǎn)對(duì)集——1.問題的數(shù)學(xué)模型

(1)第一類模型：設(shè)在論域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，將這些模糊集視為n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式，x0X是待識(shí)別的對(duì)象，問x0應(yīng)屬于哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式Ai(i=1，2，…，

n)?(2)第二類模型：設(shè)AF(X)為標(biāo)準(zhǔn)模式，x1,x2,…,xnX為n個(gè)待選擇的對(duì)象，問最優(yōu)錄選對(duì)象是哪一個(gè)xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式識(shí)別83第八十三頁，共188頁。一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識(shí)別84第八十四頁，共188頁。按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識(shí)別85第八十五頁，共188頁。例選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門x1：政治x2：語文x3：數(shù)學(xué)x4：理、化x5：史、地x6：外語考生為y1，y2，…，yn，組成問題的論域Y={y1,y2,…,yn}。設(shè)A=“優(yōu)秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第i個(gè)學(xué)生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定A(yi)的計(jì)算方法如下：模糊模式識(shí)別86第八十六頁，共188頁。式中i=1,2,…,n是考生的編號(hào)，j=1,2,…,6是考試科目的編號(hào)，j是第j個(gè)考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則Ⅱ，就可根據(jù)計(jì)算出的各考生隸屬于“優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四個(gè)考生y1,y2,y3,y4，其考試成績分別如表3.4模糊模式識(shí)別87第八十七頁，共188頁。表3.4考生成績表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式識(shí)別88第八十八頁，共188頁。則可以計(jì)算出于是這四個(gè)考生在“優(yōu)秀”模糊集中的排序?yàn)椋簓2,y4,y1,y3.模糊模式識(shí)別89第八十九頁，共188頁。閾值原則：模糊模式識(shí)別有時(shí)我們要識(shí)別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個(gè)模糊集（第一類模型），也不是已知一個(gè)模糊集，對(duì)論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個(gè)模糊集，問論域中的元素，能否在某個(gè)閾值的限制下隸屬于該模糊集對(duì)應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下：90第九十頁，共188頁。模糊模式識(shí)別91第九十一頁，共188頁。例如

已知“青年人”模糊集Y，其隸屬度規(guī)定為對(duì)于x1=27歲及x2=30歲的人來說，若取閾值模糊模式識(shí)別92第九十二頁，共188頁。1=0.7，模糊模式識(shí)別故認(rèn)為27歲和30歲的人都屬于“青年人”范疇。則因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故認(rèn)為27歲的人尚屬于“青年人”，而30歲人的則不屬于“青年人”。若取閾值2=0.5，則因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，93第九十三頁，共188頁。模糊模式識(shí)別集對(duì)集——例如：論域?yàn)椤安枞~”，標(biāo)準(zhǔn)有5種待識(shí)別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個(gè)指標(biāo)為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.394第九十四頁，共188頁。在實(shí)際問題中，我們常常要比較兩個(gè)模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個(gè)模糊集的差異程度，后者則表示兩個(gè)模糊集相互接近的程度，這是一個(gè)事情的兩個(gè)方面。如果待識(shí)別的對(duì)象不是論域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么問A屬于哪個(gè)Ai(i=1,2,…,n)？就是另一類模糊模式識(shí)別問題—集對(duì)集。解決這個(gè)問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。95第九十五頁，共188頁。1.距離判別分析定義

設(shè)A、BF(X)。稱如下定義的dP(A,B)為A與B的Minkowski(閔可夫斯基)距離(P≥1)：ⅰ)當(dāng)X={x1,x2,…,xn}時(shí)，ⅱ)當(dāng)X=[a,b]時(shí)，模糊模式識(shí)別96第九十六頁，共188頁。特別地，p=1時(shí)，稱d

1(A,B)為A與B的Hamming(海明)距離。p=2時(shí)，稱d2(A,B)為A與B的Euclid(歐幾里德)距離。有時(shí)為了方便起見，須限制模糊集的距離在[0,1]中，因此定義模糊集的相對(duì)距離dp’(A,B)，相應(yīng)有(1)相對(duì)Minkowski距離模糊模式識(shí)別97第九十七頁，共188頁。

(2)相對(duì)Hamming距離模糊模式識(shí)別98第九十八頁，共188頁。(3)相對(duì)Euclid距離模糊模式識(shí)別99第九十九頁，共188頁。有時(shí)對(duì)于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重W(x)≥0，此時(shí)就有加權(quán)的模糊集距離。一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件：當(dāng)X={x1，x2，…，xn}時(shí)，有當(dāng)X=[a,b]時(shí)，有加權(quán)Minkowski距離定義為模糊模式識(shí)別100第一百頁，共188頁。加權(quán)Hamming距離定義為加權(quán)Euclid距離定義為模糊模式識(shí)別101第一百零一頁，共188頁。例

欲將在A地生長良好的某農(nóng)作物移植到B地或C地，問B、C兩地哪里最適宜？氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而A、B、C三地的情況可以表示為論域

X={x1(氣溫)，x2(濕度)，x3(土壤)}上的模糊集，經(jīng)測定，得三個(gè)模糊集為模糊模式識(shí)別102第一百零二頁，共188頁。由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，說明A，B環(huán)境比較相似，該農(nóng)作物宜于移植B地。模糊模式識(shí)別設(shè)權(quán)重系數(shù)為W=(0.5,0.23,0.27)。計(jì)算A與B及A與C的加權(quán)Hamming距離，得103第一百零三頁，共188頁。2、貼近度模糊模式識(shí)別按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個(gè)實(shí)數(shù)。A⊙B=定義設(shè)A，B

F(U)，稱為A與B的內(nèi)積，稱為A與B的外積。104第一百零四頁，共188頁。比較，可以看出A°B與a·b十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運(yùn)算的加“+”與乘“?”換成取大“”與取小“”運(yùn)算，就得到A°B。模糊模式識(shí)別若X={x1,x2,…xn}，記A(xi)=ai，B(xi)=bi，則與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量a={a1,a2,…an}與向量b={b1,b2,…bn}的內(nèi)積105第一百零五頁，共188頁。例

設(shè)X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},則

A⊙

B模糊模式識(shí)別106第一百零六頁，共188頁。例

設(shè)A，BF(R)，A、B均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖3.33ABCDE0ax*bx圖3.33正態(tài)型模糊集A、Bμ模糊模式識(shí)別107第一百零七頁，共188頁。由定義知A°B應(yīng)為max(A∩B)

，隸屬度曲線CDE部分的峰值，即曲線A(x)與B(x)的交點(diǎn)x*處的縱坐標(biāo)。為求x*，令解得于是類似地，由于故A⊙B=0。模糊模式識(shí)別108第一百零八頁，共188頁。模糊模式識(shí)別表示兩個(gè)模糊集A，B之間的貼近程度?；颚襆(A，B)=(A°B)(A⊙

B)C109第一百零九頁，共188頁。⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識(shí)別110第一百一十頁，共188頁。模糊模式識(shí)別111第一百一十一頁，共188頁。模糊模式識(shí)別112第一百一十二頁，共188頁。二、擇近原則模糊模式識(shí)別113第一百一十三頁，共188頁。模糊模式識(shí)別例如：論域?yàn)椤安枞~”，標(biāo)準(zhǔn)有5種待識(shí)別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個(gè)指標(biāo)為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3⊙B)]，

114第一百一十四頁，共188頁。模糊模式識(shí)別計(jì)算得故茶葉B為A1型茶葉。115第一百一十五頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判一、一級(jí)模糊綜合評(píng)判116第一百一十六頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判117第一百一十七頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判118第一百一十八頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判119第一百一十九頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判120第一百二十頁，共188頁。根據(jù)運(yùn)算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評(píng)判121第一百二十一頁，共188頁。例如有單因素評(píng)判矩陣則B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)122第一百二十二頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判123第一百二十三頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判124第一百二十四頁，共188頁。其中：模糊綜合評(píng)判125第一百二十五頁，共188頁。實(shí)例：某平原產(chǎn)糧區(qū)進(jìn)行耕作制度改革，制定了甲(三種三收)乙(兩茬平作),丙(兩年三熟)3種方案,主要評(píng)價(jià)指標(biāo)有：糧食畝產(chǎn)量，農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量，每畝用工量，每畝純收入和對(duì)生態(tài)平衡影響程度共5項(xiàng)，根據(jù)當(dāng)?shù)貙?shí)際情況，這5個(gè)因素的權(quán)重分別為0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其評(píng)價(jià)等級(jí)如下表分?jǐn)?shù)畝產(chǎn)量/kg產(chǎn)品質(zhì)量/級(jí)畝用工量/工日畝純收入/元生態(tài)平衡影響程度/級(jí)5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下6126第一百二十六頁，共188頁。經(jīng)過典型調(diào)查，并應(yīng)用各種參數(shù)進(jìn)行謀算預(yù)測，發(fā)現(xiàn)3種方案的5項(xiàng)指標(biāo)可達(dá)到下表中的數(shù)字，問究竟應(yīng)該選擇哪種方案。方案甲乙丙畝產(chǎn)量/kg592.5529412產(chǎn)品質(zhì)量/級(jí)321畝用工量/工日553832畝純收入/元7210585生態(tài)平衡影響程度/級(jí)532過程：因素集權(quán)重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）評(píng)判集127第一百二十七頁，共188頁。建立單因素評(píng)判矩陣：因素與方案之間的關(guān)系可以通過建立隸屬函數(shù)，用模糊關(guān)系矩陣來表示。128第一百二十八頁，共188頁。129第一百二十九頁，共188頁。130第一百三十頁，共188頁。131第一百三十一頁，共188頁。132第一百三十二頁，共188頁。二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判（以二級(jí)為例）問題：對(duì)高等學(xué)校的評(píng)估可以考慮如下方面模糊綜合評(píng)判133第一百三十三頁，共188頁。二級(jí)模糊綜合評(píng)判的步驟：模糊綜合評(píng)判134第一百三十四頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判135第一百三十五頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判136第一百三十六頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判137第一百三十七頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判138第一百三十八頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判139第一百三十九頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判140第一百四十頁，共188頁。模糊綜合評(píng)判141第一百四十一頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃一、模糊約束條件下的極值問題例：某人想買一件大衣，提出如下標(biāo)準(zhǔn)：式樣一般，質(zhì)量好，尺寸較全身，價(jià)格盡量便宜，設(shè)有5件大衣X＝{x1,x2,x3,x4,x5}供選擇，經(jīng)調(diào)查結(jié)果如表大衣x1x2x3x4X5式樣過時(shí)較陳舊時(shí)髦較新一般質(zhì)量好較好好較差一般尺寸合身較合身合身合身較合身價(jià)格40801008575問他應(yīng)該購買哪一件大衣？142第一百四十二頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃該類問題的解題過程：2.目標(biāo)函數(shù)f(x)模糊化1.將語言真值(評(píng)價(jià)結(jié)果)轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度3.定義模糊判決：加權(quán)型：對(duì)稱型：4.由最大隸屬原則求出x*,則x*為模糊條件極大值點(diǎn)。143第一百四十三頁，共188頁。解：將式樣，質(zhì)量，尺寸化為三個(gè)模糊約束A1,A2,A3,價(jià)格化為模糊目標(biāo)G：大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5將表中的評(píng)價(jià)結(jié)果轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度其中模糊目標(biāo)144第一百四十四頁，共188頁。總約束集模糊目標(biāo)集約束與目標(biāo)對(duì)等時(shí)，用對(duì)稱型模糊判決由最大隸屬原則，應(yīng)該買x5.145第一百四十五頁，共188頁。如果要求價(jià)格更便宜，則放松約束，令a=0.4,b=0.6加權(quán)型判決為由最大隸屬原則，應(yīng)該買x1.146第一百四十六頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃實(shí)例：采區(qū)巷道布置是礦井開拓中的重要內(nèi)容，其目的就是建立完善的礦井生產(chǎn)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)采區(qū)合理集中生產(chǎn)，改善技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo).因此，合理地選擇最優(yōu)巷道布置方案，對(duì)于礦井生產(chǎn)具有十分重要的意義.根據(jù)煤礦開采的特點(diǎn)和采區(qū)在礦井生產(chǎn)的作用，在選擇最優(yōu)巷道布置方案時(shí)，要求達(dá)到下列標(biāo)準(zhǔn)：(1)生產(chǎn)集中程度高；(2)采煤機(jī)械化程度高；(3)采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)十分完善；(4)安全生產(chǎn)可靠性好；(5)煤炭損失率低；(6)巷道掘進(jìn)費(fèi)用盡可能低.上述問題,實(shí)際上就是一個(gè)模糊約束下的條件極值問題，我們可以把(1)～(5)作為模糊約束，而把(6)作為目標(biāo)函數(shù).設(shè)某礦井的采區(qū)巷道布置有六種方案可供選擇，即=｛(方案Ⅰ),(方案Ⅱ),(方案Ⅲ),(方案Ⅳ),(方案Ⅴ),(方案Ⅵ)｝.147第一百四十七頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃經(jīng)過對(duì)六種方案進(jìn)行審議，評(píng)價(jià)后，將其結(jié)果列于表163.6044.2034.5078.8069.1059.40G：巷道掘進(jìn)費(fèi)用(萬元)很低一般一般一般較高高:煤炭損失率低高一般高較低一般較低:安全生產(chǎn)可靠度高較高高很高較低較低一級(jí):采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)完善高很高高較高較高高:采煤機(jī)械化程度高較高較高很高較高高較低:生產(chǎn)集中程度高方案評(píng)價(jià)項(xiàng)目略148第一百四十八頁，共188頁。普通線性規(guī)劃的一般形式為

目標(biāo)函數(shù)約束條件矩陣表達(dá)形式模糊線性規(guī)劃二、模糊線性規(guī)劃問題(1)149第一百四十九頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃是將約束條件和目標(biāo)函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個(gè)新的線性規(guī)劃問題，它的最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解.普通線性規(guī)劃其約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是確定的，但在一些實(shí)際問題中，約束條件可能帶有彈性，目標(biāo)函數(shù)可能不是單一的，可以借助模糊集的方法來處理.150第一百五十頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃，其模型為為了體現(xiàn)這個(gè)近似小于等于，我們引入伸縮指標(biāo)di,151第一百五十一頁，共188頁。模型又可寫成當(dāng)時(shí)，

當(dāng)取內(nèi)某一值。

（2）152第一百五十二頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃153第一百五十三頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃154第一百五十四頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃155第一百五十五頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃156第一百五十六頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃157第一百五十七頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃158第一百五十八頁，共188頁。模糊線性規(guī)劃159第一百五十九頁，共188頁。實(shí)例1：飲料配方問題某種飲料含有三種主要成份A1,A2,A3,每瓶含量分別為75±5mg,120±5mg,138±5mg,這三種成份主要來自于五種原料B1,B2,B3,B4,B5.各種原料每千克所含成分與單價(jià)如下表所示，若生產(chǎn)此種飲料一萬瓶，如何選擇原料成本最?。吭螧1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200單價(jià)/元1.31.51.61.71.8160第一百六十頁，共188頁。多目標(biāo)線性規(guī)劃在相同的條件下,要求多個(gè)目標(biāo)函數(shù)都得到最好的滿足,這便是多目標(biāo)規(guī)劃.若目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的,則為多目標(biāo)線性規(guī)劃.一般來說,多個(gè)目標(biāo)函數(shù)不可能同時(shí)達(dá)到其最優(yōu)值,因此只能求使各個(gè)目標(biāo)都比較“滿意”的模糊最優(yōu)解.模糊線性規(guī)劃161第一百六十一頁，共188頁。例2解多目標(biāo)線性規(guī)劃問題模糊線性規(guī)劃162第一百六十二頁，共188頁。⑴解普通線性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=0,x2=2,x3=2,最優(yōu)值為2，此時(shí)

f2=8.模糊線性規(guī)劃163第一百六十三頁，共188頁。⑵解普通線性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=10,x2=0,x3=0,最優(yōu)值為20，此時(shí)f1=10.模糊線性規(guī)劃164第一百六十四頁，共188頁。⑴的最優(yōu)解為x1=0,x2=2,x3=2,最優(yōu)值為2,此時(shí)f2=8.⑵的最優(yōu)解為x1=10,x2=0,x3=0,最優(yōu)值為20，此時(shí)f1=10.同時(shí)考慮兩個(gè)目標(biāo)，合理的方案是使f1∈[2,10],f2∈[8,20],

可取伸縮指標(biāo)分別為d1=10-2=8,d2=20-8=12.如果認(rèn)為目標(biāo)

f1更重要,可單獨(dú)縮小d1;如果認(rèn)為目標(biāo)

f2更重要，可單獨(dú)縮小d2.165第一百六十五頁，共188頁。⑶再分別將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)模糊化,變?yōu)榻馄胀ň€性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=6.29,x2=0.29,x3=1.43,

=0.57.此時(shí)f1=5.43,f2=14.86.166第一百六十六頁，共188頁。實(shí)例2：風(fēng)險(xiǎn)投資問題某人計(jì)劃將自己的資金的20%±3%作為機(jī)動(dòng)資金，其余用于投資5種證券：A1,A2,A3,A4,A5,已知它們的投資收益率和風(fēng)險(xiǎn)損失率如下表，問如何投資才能使收益最大，風(fēng)險(xiǎn)最小。證券A1/%A2/%A3/%A4/%A5/%收益率510203040風(fēng)險(xiǎn)率3581618167第一百六十七頁，共188頁。(1)偏大型(S型)：這種類型的隸屬函數(shù)隨x的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為：

1）升半矩形分布（圖3.7）

2）升半分布（圖