大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）賽前加強訓(xùn)練題集（高代與解幾）

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高等代數(shù)與解析幾何篇

一、向量空間與矩陣

1.1向量空間

1.(北大2023).回復(fù)以下問題：

(1)是否存在n階方陣A,B,滿足AB?BA?E(單位矩陣)？又,是否存在n維線性空間上的線性變換A,B,滿足AB?BA?E(恒等變換)？若是,給出證明;若否,舉出例子.

(2)n階行列式A各行元素之和為常數(shù)c,則A的各行元素之和是否為常數(shù)？若是,是多少？說明理由.

(3)m?n矩陣秩為r,取r個線性無關(guān)的行向量,再取r個線性無關(guān)的列向量,組成的r階子式是否一定為0？若是,給出證明;否,舉出反例.

(4)A,B都是m?n矩陣.線性方程組AX?0與BX?0同解,則A與B的列向量是否等價？行向量是否等價？若是,給出證明;否,舉出反例.

32(5)把實數(shù)域R看成有理數(shù)域Q上的線性空間,b?pqr,這里的p,q,r是互不一致的素數(shù).判斷

3向量組1,nb,nb2,?,nbn?1是否線性相關(guān)？說明理由.

2.(北大2023).向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān),且可以由向量組?1,?2,?,?l線性表出.證明必存在某個向量?j(j?1,2,?,l)使得向量組?j,?1,?2,?,?s線性無關(guān).

3.(北大2023).設(shè)A是n階正定矩陣,向量組?1,?2,?,?s滿足?iA?j?0(1?i?j?n).問

'向量組?1,?2,?,?s的秩可能是多少？證明你的結(jié)論.

1.2線性方程組

1.(北大1997).設(shè)A,B是數(shù)域K上的n階方陣,X是未知量x1,x2,?,xn所成的n?1矩陣.已知齊次線性方程組AX?0和BX?0分別有l(wèi),m個線性無關(guān)解向量,這里l?0,m?0.(1)證明

(AB)X?0至少有max(l,m)個線性無關(guān)解向量.(2)假使l?m?n,證明(A?B)X?0必有非

n零解.(3)假使AX?0和BX?0無公共非零解向量,且l?m?n,證明K中任一向量?可唯一

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表成?????,這里?,?分別是AX?0和BX?0的解向量.

2.(北大1998).探討a,b滿足什么條件時,數(shù)域上的下述線性方程組有唯一解,有無窮多個解,無解？當(dāng)有解時,求出該方程組的全部解.

?ax1?3x2?3x3?3,??x1?4x2?x3?1,?2x?2x?bx?2.23?1l3.(北大2023).設(shè)?是復(fù)數(shù)域C上的本原次單位根(即,?n?1,而當(dāng)0?l?n時,??1),

s,b都是正整數(shù),而且s?n.令

?1?b?2b??2(b?1)?1?b?1A???????1?b?s?1?2(b?s?1)????.???(n?1)(b?s?1)?????(n?1)b??(n?1)(b?1)??任取??Cs判斷線性方程組AX??有無解？有多少解？寫出理由.

4.(北大2023).(1)設(shè)A,B分別是數(shù)域K上s?n,s?m矩陣.表達矩陣方程AX?B有解的充分必要條件,并給予證明.(2)設(shè)A是數(shù)域K上s?n列滿秩矩陣,試問：方程XA?En是否有解？若有解,寫出它的解集：若無解,說明理由.(3)設(shè)A是數(shù)域K上s?n列滿秩矩陣,試問：對于數(shù)域K上

s?m矩陣,矩陣方程AX?B是否一定有解？當(dāng)有解時,它有多少個解？求出它的解集,要求說明理由.

5.(北大2023).回復(fù)以下問題：

(1)A是s?n矩陣.非齊次線性方程組AX??有解且rank(A)?r,則AX??的解向量中線性無關(guān)的最多有多少個？并找出一組個數(shù)最多的線性無關(guān)解向量.(2)AX??對于所有的s維非零向量?都有解,求rank(A).

1??1??6.(北大2023).設(shè)A,B是n階矩陣,且滿足A??B?E??B?E?.證明:對任意的n維

110??110??列向量?,方程組A(A?A)X?AT2TT?必有非零解.

n7.(中科院2023).設(shè)?1,?2,?,?k?R是齊次線性方程組AX?0的基礎(chǔ)解系,

s,t?R,?1?s?1?t?2,?,?k?1?s?k?1?t?k,?k?s?k?t?1.

試問：s,t應(yīng)當(dāng)滿足什么關(guān)系,使得

?1,?2,?,?k是方程組AX?0的基礎(chǔ)解系,反之,當(dāng)

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?1,?2,?,?k是方程組AX?0的基礎(chǔ)解系時,這個關(guān)系必需成立.

8.(中科院2023).考慮齊次線性方程組AX?0,其中A?(aij)(n?1)?n.設(shè)Mj(j?1,2,?,n)是在系數(shù)矩陣A中消去第j列所得到的n?1階子式.求證:(1)M1,?M2,?,(?1)n?1Mn是方程組的一個解;

(2)假使A的秩為n?1,那么方程組的解全是M1,?M2,?,(?1)n?1Mn的倍數(shù).

?????x1?x3?0,又知某線性齊次方程組(Ⅱ)的通解9.(中科院2023).設(shè)四元齊次線性方程組(Ⅰ)為?x?x?04?2為k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T.(1)求線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系;(2)問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有,則求出所有的非零公共解,若沒有,則說明理由.10.(中科院2023).??xn?1?xn?4yn,已知x0?1,y0?0,求x100,y100.

y?2x?ynn?n?1?2x1?7x2?3x3?x4?5?x?3x?5x?2x?3?123411.(中科大1997,2023).求線性方程組?的通解.

?x1?5x2?9x3?8x4?1??5x1?18x2?4x3?5x4?1212.(中科大1998).取哪些值時,下面的方程組有非零解:

1?1??11???????11???x1??0???????1??x2??0????.?????????????????n?1?????xn??0??1

1.3矩陣代數(shù)

1.(北大2000).設(shè)實數(shù)域上的s?n矩陣A的元素只有0和1,并且A的每一行的元素的和是常數(shù)

r,A的每兩個行向量的內(nèi)積為常數(shù)m,其中m?r.(1)求|AA'|;(2)證明s?n;(3)證明AA'的特

征值全為正實數(shù).

2.(北大2023).(1)設(shè)A,B分別是數(shù)域K上s?n,n?s矩陣,證明：

rank(A?ABA)?rank(A)?rank(En?BA).

(2)設(shè)A,B分別是實數(shù)域上n階矩陣,證明：矩陣A與矩陣B的相像關(guān)系不隨數(shù)域擴大而改變.3.(北大2023).矩陣A,B可交換,證明rank(A?B)?rank(A)?rank(B)?rank(AB).

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4.(北大2023).(1)設(shè)A,B分別是數(shù)域K上s?n,n?m矩陣,則對于所有m?l矩陣C,是否有

rank(ABC)?rank(BC)？給出你的理由.(2)A是n階矩陣,A的每一元素的代數(shù)余子式都等

于此元素,求rank(A).

5.(北大2023).設(shè)A是非零矩陣,證明A可以寫成某個列滿秩矩陣與某個行滿秩矩陣的乘積.6.(中科院2023).設(shè)A是n階實數(shù)矩陣,A?0,而且A的每個元素和它的代數(shù)余子式相等.證明A是可逆矩陣.

?/n??1?7.(中科院2023).若?為一實數(shù),試計算lim?.?n????/n1???a1???a???50100?100A8.(中科院2023).設(shè)a為實數(shù),A??求的第一行元素之和.?R,??1???a???9.(中科院2023).設(shè)A,B是n階實方陣,而I是n階單位陣,證明:若I?AB可逆,則I?BA也可逆.

n?10a???10.(中科院2023).已給如下三階矩陣：A??01b?,(1)求det(A);(2)求Tr(A);(3)證明:

?cd1???rank(A)?2;(4)為使rank(A)?2,求出a,b,c和d應(yīng)滿足的條件.

11.(中科院2023).(1)設(shè)A,B是n階方陣,A可逆,B冪零,AB?BA.證明:A?B可逆;(2)試舉例說明上述問題中A,B可交換的條件不能去掉.

12.(中科大1997).(1)設(shè)n階矩陣A????Ik?A21A12??,其中Ik是k階單位矩陣,A22是n?k階矩陣.證明:A22??k?rank(A)?n,其中rank(A)是A的秩.并證明rank(A)?k的充要條件是A22?A21A12.(2)設(shè)A是n階可逆矩陣,?和?是n維列向量,證明:n?1?rank(A???)?n,并且

Trank(A???T)?n?1的充要條件是:?TA?1??1,這里?T表示?的轉(zhuǎn)置.

?2?1?????12??13.(中科大1997).設(shè)5階3對角矩陣A??.(1)計算A的行列式det(A);????1????12???5?5

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(2)求A的逆矩陣A;(3)求A的Jordan標(biāo)準形;(4)求對稱矩陣A的正、負慣性指數(shù);(5)將階數(shù)5改為n,求n階方陣A的行列式和逆矩陣.14.(中科大1998).計算矩陣：

?1???cos7(1)???sin??7??7??cos??7?sin??1997?1??0;(2)?0??0?111??111?011??001???19.

15.(中科大1999).n?2,n階方陣A?(aij)其中aij???0,i?j,?1求det(A)及A.

?1,i?j.16.(中科大1999,2023).求證:與任意n階方陣可交換的方陣一定是純量陣.

二、行列式

2.1定義、性質(zhì)和計算方法

1.(北大2023).A是復(fù)矩陣,B是冪零矩陣,且AB?BA.證明|A?2023B|?|A|.2.(中科院2023).計算n階3對角行列式

Dn?2cos?112cos??.

??112cos????????????n?n3.(中科院2023).已知?,?,?為實數(shù),求A??的行列式的值.?R????????????4.(中科院2023).給定一單調(diào)遞減序列b1?b2???bp?0,定義????p!p?1????p?1?k?p?1?1min(