線性代數(shù)1.1 行列式定義

線

性

代

數(shù)

線

性

代

數(shù)xiesongfa126LinearAlgebra

線性代數(shù)謝松法華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院一、教學(xué)內(nèi)容線性代數(shù)是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課，線性代數(shù)的主要內(nèi)容包括：行列式、矩陣、向量代數(shù)、是工科線性代數(shù)在工程技術(shù)、科學(xué)研究本課堂僅介紹前六個(gè)方面的內(nèi)容，且其中帶“*”號(hào)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點(diǎn)在于“入門”，即如何盡快地去理解和適應(yīng)它所引入的新的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要課程之一。和各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。線性方程組、特征值與特征向量、二次型、線性空間與線性變換等。的內(nèi)容不需要掌握。二、教學(xué)及考核方式考試方式：閉卷作業(yè)：每周一次主要參考書（略）答疑：每周一次課堂教學(xué)：40學(xué)時(shí)考試成績(jī)：作業(yè)占20%，考試占80%(練習(xí)冊(cè))線性代數(shù)研究的主要問題：

解線性方程組線性方程組的幾種表示：1，標(biāo)準(zhǔn)式

三元一次方程組：N元一次方程組：2，矩陣式設(shè)3，向量式

設(shè)4，內(nèi)積式設(shè)線性代數(shù)與解析幾何的關(guān)系對(duì)于下面對(duì)象：從解析幾何看它是一個(gè)平面，它的法向量是從線性代數(shù)看它是一個(gè)方程。線性代數(shù)與解析幾何的關(guān)系對(duì)于下面對(duì)象：從解析幾何看一般情況下它是兩個(gè)平面交出的一條直線，從線性代數(shù)看它是一個(gè)方程組。線性代數(shù)與解析幾何的關(guān)系同理對(duì)于下面對(duì)象：從解析幾何看它是一個(gè)超平面，它的法向量是從線性代數(shù)看它是一個(gè)方程。線性代數(shù)與解析幾何的關(guān)系對(duì)于下面對(duì)象：從解析幾何看一般情況下它是m個(gè)平面交出的一個(gè)仿射體，從線性代數(shù)看它是一個(gè)方程組。線性代數(shù)與解析幾何的關(guān)系結(jié)論：幾何中多個(gè)平面相交的不同情況對(duì)應(yīng)著線性代數(shù)中線性方程組的解的不同情況。第一章行列式§1.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算§1.3克萊姆

(Cramer)

法則§1.1行列式的定義§1.1行列式的定義一、二階與三階行列式二、n

階行列式利用消元法求解二元線性方程組一、二階與三階行列式行列式的引入來源于求解線性方程組，求解是數(shù)學(xué)與工程中最基本的問題之一。而線性方程組的得得兩式相減消去得引例P

1方程組的解為兩式相減消去得類似地，消去得當(dāng)時(shí)，由此引入二階行列式的定義．稱下式為二階行列式

定義

對(duì)角線法副對(duì)角線主對(duì)角線一、二階與三階行列式1.二階行列式P

2

利用二階行列式求解二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組當(dāng)時(shí)，方程組的解為其中記記問題當(dāng)時(shí)，方程組的解會(huì)怎么樣？P

2解例求解二元線性方程組(惟一解)解例求解二元線性方程組(無窮多解

?

)解例求解二元線性方程組(無解

?

)2.三階行列式一、二階與三階行列式1.二階行列式利用消元法求解三元線性方程組逐步消去可得引例其中由此引入三階行列式的定義．補(bǔ)稱下式為三階行列式

定義2.三階行列式一、二階與三階行列式1.二階行列式問題三階行列式有何計(jì)算規(guī)律？它與二階行列式如何統(tǒng)一？補(bǔ)(1)對(duì)角線法

三階行列式計(jì)算規(guī)律的探討

?補(bǔ)(2)沙路法

三階行列式計(jì)算規(guī)律的探討

?補(bǔ)(3)排列法三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．為排列的逆序數(shù)

(?)．為自然數(shù)的一個(gè)排列;其中

三階行列式計(jì)算規(guī)律的探討

?補(bǔ)(4)遞推法

三階行列式計(jì)算規(guī)律的探討

?利用已定義的二階行列式來計(jì)算三階行列式，即補(bǔ)計(jì)算三階行列式例按對(duì)角線法則，有解方程左端為解例求解方程由解得或

利用三階行列式求解三元線性方程組對(duì)于三元線性方程組則三元線性方程組的解為令補(bǔ)求解線性方程組例解故方程組的解為由題意得求一個(gè)二次多項(xiàng)式使例設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為解故所求多項(xiàng)式為由有二、n階行列式前面從二元與三元線性方程組的求解問題出發(fā)，分別引出了二階與三階行列式的概念，那么，這些行列式的概念以及線性方程組的求解方法階行列式求解二元與三元線性方程組的方法。能否推廣并應(yīng)用到n

元線性方程組的求解問題呢？在對(duì)三階行列式的計(jì)算所探討的幾種規(guī)律中，到底哪一種更具有一般性呢？并給出了利用二階與三特別是P

2二、n階行列式經(jīng)過前人不懈的努力，終于摸索出了統(tǒng)一的規(guī)律。本課堂將采用遞推法來定義一般的行列式，避開諸如排列、逆序等一些概念。人們發(fā)現(xiàn)前面提到的對(duì)角線法與沙路法并不適合一般的情形，還是對(duì)排列法有所了解。而排列法與遞推法才是真正可以推廣的方法。其目的是不過有興趣的同學(xué)最好P

2并按照特定的運(yùn)算法則對(duì)應(yīng)到二、n階行列式1.余子式和代數(shù)余子式把元素

ai

j

所在的第

i

行和第

j

列劃去后，(n-1)

列元素組成

(n-1)

階行列式，剩下的

(n-1)

行即：將個(gè)數(shù)排成

n

行

n

列,一個(gè)數(shù)，（?）稱之為n

階行列式，記為P

3二、n階行列式1.余子式和代數(shù)余子式稱Ai

j為元素ai

j

的代數(shù)余子式

.稱

Mi

j為元素

ai

j

的余子式

.定義記P

3設(shè)行列式例如則為元素

a23的余子式，為元素

a23的代數(shù)余子式

.注意無論是行列式還是余子式，其結(jié)果都是“數(shù)”.那么它們到底以什么樣的運(yùn)算法則得到一個(gè)數(shù)呢？二、n

階行列式1.余子式和代數(shù)余子式2.行列式的遞推定義定義稱下式為n

階行列式

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).其中為的代數(shù)余子式

.P3定義1.1計(jì)算行列式例解定理其中為的代數(shù)余子式

.對(duì)于任意的j

都有稱此計(jì)算方式為將行列式按第j列展開

.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).

將行列式按任意列展開

證明(略)P5定理1.1計(jì)算行列式例解按第二列展開，得例計(jì)算行列式解按第二列展開，得二、n

階行列式1.余子式和代數(shù)余子式2.行列式的遞推定義3.幾個(gè)典型的行列式補(bǔ)(1)對(duì)角行列式注意：行列式不是對(duì)角行列式。3.幾個(gè)典型的行列式(2)上三角行列式啟發(fā)能否將一個(gè)