理論力學動力學部分試題及答案(非課后習題)

1物體自地球表面以速度V。鉛直上拋.試求該物體返回地面時的速度VL假定空氣阻力

R=mkv2,其中k是比例常量，按數(shù)值它等于單位質量在單位速度時所受的阻力.m是物體質

量，v是物體速度，重力加速度認為不變.

答：為%

得

解：阻力方向在上升與下降階段不同(其方向與速度P相反)，故分段考慮

(2)下落階段:

2.靜止中心0以引力F=-妙mr吸引質量是m的質點M,其中k是比例常量，r=OM是

點M的矢徑.運動開始時OMo=b,初速度時即并與0M成夾角a.求質點M的運動方程.

答.V

x=i>costo+—cosasinfe

k

y--sinasin

」k

解：取坐標如圖，質點M在任意位置。將我萬=F

沿工、」軸投影，得

mx=-Fcos0=-k'mrc4s(p--k2mx

my=-Fsin(p--k^mrsincp=-k^my

即￡+/x=0,y+k2y=0

微分方程得通解為：x=c1cosAr/+c2sinkt,y=c3cos+sinkt(1)

求導得x=sinkt+kc2coskt,y=-kc3sinkt+kc^coskt(2)

已知初始條件t=0zx0=b,7o=O，x0=v0sina,yQ=v0sina

、、vV

代入方程(1),(2)得c,1=b,c,2=—cos>c,=0>c.=—sina質

R3k

點〃的運動方程為

x=-—cosasinkt

^y=—sinasinkt

3單擺M的懸線長/,擺重G,支點B具有水平向左的均加速度a.如將擺在6=0處靜止

釋放，試確定懸線的張力T（表示成9的函數(shù)）.

答；T=G(3sine+3gcos0-2g)

gg

解：質點的相對微分方程為

ma,,=mg+T+Qe

投彩到切線方向

G■■

—10=Geos9—Qesin0(1)

g

投影到法線方向

Gv2

----=T—Gsin9—Qecos0(2)

g/

由式(1)得=gcos0—asin0

分離變量并積分=|geos[asin田9

v2=2Agsin0+acos0-a)(3)

GG

由式（2）得T=Gsin6d—acos5H---v2

gg?

將式（3）代入上式T=G|3sin^+3-cos6?-2-|

1gg)

4.水平面內(nèi)彎成任意形狀的細管以勻角速度。繞點0轉動。光滑小球M在管內(nèi)可自由

運動.設初瞬時小球在MQ處，OMo=r0,相對初速度的=。，求小球相時速度大小v,與極徑r

的關系.

答：V,=0爐一,

解：取小球為研究時象，動系固連細管，動系

以勻角速度。繞點。轉動，玲、佐、4如圖所示.

幽訪=徵亙+網(wǎng)+用+◎+。（1）

其中腔與M沿鉛直方向自行平衡.

式（1）沿切線方向投彩得

dv_2

m-r-=U^cosOf=mro）cosa（2）

dte

由圖中可知?=%+生上，且

dtr

4)

drcosa=4-,

=vrcosa

dt4

代入式（2）得

?vz0*r

積分得|?/八=3|Hr

?，

vr=CD-

5.一重量為P的重物IA,沿與水平面成or角的棱柱的斜面下滑.棱柱沿水平面以加速度

a向右運動.試求重物相對于棱柱的加速度和重物對棱柱斜面的壓力，假定重物對棱柱斜面的

滑動摩擦系數(shù)為九.

答:%=gisin/cos0i-aicos6+/sin9?

解：取A為研究對冢，動系固連棱柱。

ma^=W+F?）+F+Q6

沿r軸投影一ar=Wsra0-Qecos0-F(1)

g

沿J軸投影0=氐-Wcosd-Qesin9(2)

(3)

/\

由(2)得=Wcos6+Qsin9—Wcos54-—sin6

\SJ

由（1）得以＞=gisin。一/cos6)一?icose+/sin?

1.在圖示質量彈簧系統(tǒng)中，質量是m的物塊M可以沿光滑水平導桿運動。已知：m=

10g,Ci=c：=2N/m0求系統(tǒng)的固有頻率。設振幅是2cm,求M的最大加速度。

解：（1）取物塊M為研究對象。

（2）運動分析：M沿水平導桿自由振動，取靜平衡位置為坐標原點，x軸方向水平

向右,

（3）受力分析，重力與桿支持力平衡，受水平彈力A、正。

（4）列方程求解：物塊在任意位置運動微分方程。

?nx=一及一居=一（5+c?q=-ex(1)

其中匕=%+。2=4%

可見圖示相當于兩彈簧并聯(lián)。由（1）式得物塊M振動規(guī)律

x=上siniH+Qi

其中固有圓頻率上$=島=2。皿

由式⑵得a1m=//=002x202=8%2

2.彈簧的上端固定，下端懸掛兩個質量相等的重物Mn心當系統(tǒng)處于靜平衡時，彈簧

被拉長6,=4cm.現(xiàn)在突然把此除去，求以后M的振動規(guī)律.

解：振動系統(tǒng)由重物Mi和彈簧組成，在重物Mi作一f

用下，彈簧的靜伸長==2。加J：

取重物Ml的靜平衡位置為坐標原點0軸x鉛直向下3|：

由ma=F,投影x軸[

mx=mxg-Fx=mxg-c\651+xi=-ex

Mi的振動方程x=A^kt+a^

初始條件t=0,x0=6S-=2cm,x0=0

則

相角

所以x=2sinI22.1/+—I=2cos22.\tcm

3.質量m=2000kg的重物在吊索上以勻速V=5m/s下

降.由于吊索突然嵌入滑輪的夾子內(nèi)，其上端被卡住不動.

試求以后重物振動時吊索的最大拉力.假定吊索上端被卡住

以后，下端吊索的彈簧剛度系數(shù)c=3920kN/m,又吊索質量

不計.

解：取重物為研究時冢，靜平衡位置為坐標原點0,x軸

鉛直向下

mx=mg-c(d3-x)=-ex

x-k2x=0

其中丁辱快黑=442md/s

x=工sinkE+ai

因為運動初始條件RO,Jtb=O,x0=v=5

所以4=x；+"=ya=arctg^-=0

因為振動方程為X=-sinkt

k

吊索最大拉力％=c，（5,+^?=wg+—=2000x9.8+-392°--5=462.6kN

Jk44.2

4.在彈簧上懸掛質量m=6kg的物塊.當無阻力時，物塊的振動周期是T=0.4”s；而在有

正比于速度一次方的阻力時，振動周期Ti=0.5%s.現(xiàn)在把物塊從靜平衡位置下拉4cm,然

后無初速度的釋放，求以后物體的振動規(guī)律.

解：先求阻尼系數(shù)n.

因為耳=k2-n2即制售）1

n=3

有阻尼自由振動規(guī)律是

x=ef*j4sini/iZ+ai

運動初始條件t=0時，即=0.04m,=0

.(A44

所以x=0.05e~5tsinI4/+arctg—5esinI+arctg—lew

5.硅碼M懸掛在彈簧CB上，彈簧的上端沿鉛直方向作簡諧運動，歲=2sin7。cm（時間

以s計，角度以rad計）.底碼質量m=0.4kg,彈簧剛度系數(shù)c=39.2N/m.求M對固定坐標

的強迫振動.

答x=4sin7tcm

解：取彈簧上端不動時物塊的平行位置作為固定坐標軸系的原點，令Ox軸鉛直向下.

在任意瞬時t物塊m的坐標為x

彈簧變形量：<5=%+瓦+X=瓦+X-f

附方=^g-（a+R一^）

2

其中C6=wg?令k=—,則上式為

5m

光+上。=/rsinpt這是無阻尼強迫振動標準微方程。

強迫振動部分為3=李丁smpt

k-p

其中k2=—=—=98尸7,，=2,代入上式

m0.4

98x2.r

得=------sin7/=4Asinr"cm

98-72

6.質量m=20g的小物塊，懸在剛度系數(shù)c=3.92N/m的彈簧上，并受到干擾力

5=0.0125如0t+<5）和線性阻力1<=0.098底的作用，其中S、R以N計，t以s計，pt和<5以

rad計，v以m/s計，試間圓頻率p等于何值時強迫振動獲得最大振幅？該振幅是多少？

解：小物塊的運動方程I

mx=mg_F-R+sW

V

一加+

=mg-ciS5+xi0.012sin|R+<5iV

W

即x=2nx+k2x=&sin?R+3?W

^

HFKU98CM.c3.92V

其中n-——=-------=2.45k2--=----------

2胸2xwm2x10-3Q

—

0.0120.012

=0.6*

20x1O-3

radxIS

共振頻率Pt="2-2>=J196-2x2145、=13.6/s

共振振幅=—.=----------1

2T爐2x2.45x4196-2.45之

=0.00887m=0.887cm

7.質量m=2kg的質點在恢復力和正弦形擾力作用下沿X軸運動?；謴土?二-8工N,擾

力S.=0.4costN-已知：當t=0時，xo=O,試求質點的運動規(guī)律。

f

解：質點運動微分方程一w

w

wx=tng一F+S》iow

w

v

=mg-c[8+工)+0.4costj

5v

即x-{-k2x=kcosPt(1)xv

="="=0.28=上="」

m2k2-p24-115

式(1)通解工=々+才2=qcos比+勺sin+---------cospt

即x=qcos2+與sin2t+—cosZ

而

x=-2cy1sin2z4-cos2/--sin/

215

把初始條件t=o,即=0,分=0帶入上兩式，得

得ci=-^>勺=0

故質點的運動規(guī)律

x=—(cos/-cos2z?m

15

1.彈簧的剛度系數(shù)是c,其一端固連在鉛直平面的圓環(huán)頂點0,另一端與可沿圓環(huán)滑動的

小套環(huán)A相連.設小套環(huán)重G.彈簧的原長等于同環(huán)的半徑r；試求下列各情形中重力和彈性

力的功：

(1)套環(huán)由4到(2)套環(huán)由4到A3；

(3)套環(huán)由義到4；(4)套環(huán)由4到

解：

31,

(1)W=-rG,W=--cr2

P2e2

(2)Wf=Gr,

r2=cr2|l--/2'=-0.4cr

(3)Wf=Gr,明=c/i夜-「=0.4c/

⑷畋=0,勺=0

2.圖(a)^(b)^(c)中的各句質物體分別繞定軸0轉動，圖(d)中的勺質圓盤在水平上

流動而不滑動.設各物體的質量都是M,物體的角速度是。.桿子的長度是,,扇盤的半徑是

r;試分別計算物體的動能.

(2)T=g(切/

T171I12.2I2322

(3)Z=—L0a)=—I—mr+rm\a)=

(4)T=+//卜

4

3.質細桿AB的質量是m,長度是/,放在鉛直平面內(nèi)，桿的一端A靠墻壁，另一端沿

地面運動.已知當桿對水平面的頤角。=60?時B端的速度為丫或求桿在該瞬時動能?

答：T=

解：勻質細桿作平面運動，尸為速度瞬心

v52

以=方=而也

S1,21

T=_wv?1.。北

22

=左僧%+得加耳

=

也可以用下面方法計算：

T=^=T^2[^V^\=1^

4.長為人質量為m的句質桿以球銀鏈0固定，并以勻角速度。繞鉛直線轉動,如圖所

示.如桿與鉛直線的夾角為8,求桿的動能.

答：T=-ml2a>2sin25

6

解：先計算桿對軸z的轉動慣量.

xsinJ)?dx=g活尸sin*@

桿的動能叫紜/獷一吶［?6

5.托架ABC緩慢地繞水平軸B轉動，當角比=15”時，托架停止轉動，質量m=6kg的物

塊D開始沿斜面CB下滑，下滑距離s=250mm時壓到剛度系數(shù)c=1.6N/m的彈簧上.已測得

彈簧最大變形4=50施利.試求物塊與斜面間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù).

答；/=0,268/(=0,151

解：1、求靜摩擦系數(shù).

當a=15?時，物塊開始下滑，所以

/=吆。=坦15°=0.268

2、求動摩擦系數(shù)。

取物塊D為研究對象，ri=T2=0.

%=wg's+/l*sin15°

Wn=一用is+41=-/'?」is+N)=-/%gcosl5?(s+N)

2

Wc=-1c^,力N不作功.

由冬-4=￡取

得0-0=mg(s+處sin15°-/}?gcosl5'?s+^i--^c^2

尹1f.1S.c；l11fn_1600x0,05,1

J=---------sin15-----------=----------0.259-------------------

cosl5?(0,6^g)0.96010.6x6x98)

=0.151

6.滑輪的質量為m1，半徑為r,可繞光滑水平軸。轉動，它對轉軸的回轉半徑為Q.滑輪

上套著不可伸長的柔繩，繩的一端掛著質量為52的重A,而另一端則用剛度為k的鉛直彈簧

BD系在固定點D.假設繩與滑輪之間無相時滑動，繩和彈簧的質量忽略不計，試求物塊A的

運動微分方■程.答：（的芻?+的）元+日=0

r

解：設滑輪順時針轉過的角度為防

系統(tǒng)的動能

+^w2rV=1(??1^-+?M2)rV?(1)

222r

用微分形式的動能定理dT=￡/?。ɑ驒C械能守恒定理）求解.

由式（1）可得祀?

又￡dW=[w2g-k{6t4-r<p)]r-dq>-kr2cpdcp

根據(jù)微分形式的動能定理，得（n=+次2）戶加0=-兀戶/中

r

化簡后即得（%冬+加2）產(chǎn)。一°二-kP（p,（2）

r

即：（加1與-+加2）￡+京=0

7,在曲柄滑桿機構中，曲柄0A受常值轉矩作用.初瞄時機構處于靜止且角@=物；試

求曲柄轉過一整轉時的角度。假設曲柄長r,對軸。的轉動慣量是滑塊A的重量是5；

滑道桿的重量是G2；滑塊與滑槽間的摩擦力可認為是常力并等于F.

K~J（7^0-2Fr）g

Wog+G1戶+5戶sin?用

解：取整體為研究對象，只有轉矩〃和滑動摩爆

力作功.曲柄轉動一周，角位移為2n,滑塊在滑道

中行程為s=2rx2=4r

2開一?4r

初瞬時Zi=0

末瞬時，曲柄角速度為s滑塊4速度％=rs.

滑道速度v=p?=PASin=r<?sin

222222

T2=—Ztf<z?+--r?+——r<2Jsin

22g2g

2

22

=——1+Gp+G2rsinI

2g

由馬-看=￡取

—(1,g+5,+G2r2sin2?=2._ArF

2g

_Ig(^zA/-2Fr)

0=2

[0g+G1戶+5戶sm義0

8.已知輪子半徑是r,對轉軸0的轉動慣量是1。；連桿AB長？，質量是閉1，并可看成句

質細桿；滑塊A質量是演2,可沿光滑直導軌滑動，滑塊在最高位置（6=0"）受到微小擾動

后，從靜止開始運動.求當滑塊到達最低位置時輪子的角速度.各處的摩僚不計.

prg(^t4-mJ

答：。=2寸微1戶+31。

解：取整體為研究對象，系統(tǒng)受理想約束，其反力不作功,

只有mig與m2g作功，當滑塊在最低位置時，A是桿的瞬心.

v1

p0，%=口n，y,=—3——rG），

6_VB_ra>

“T=T

71=0

乙乙\，乙/\/乙乙

=7-%戶+31/

0

￡印=?也］+加2?gx2r

由4一方二￡取

涼O\

得——胸/2+31,1=2阻僧1+防2I

6

13rgi加1+的)

0=2I------A-----------

y的,+31。

9.橢圓規(guī)機構由曲柄0A、規(guī)尺BD以及滑塊B、D組成。已知曲柄長八質量是m1；

規(guī)尺長2,，質量是2加1，且兩者都可以看成句質細桿；兩滑塊的質量都是活y整個機構被

放在水平面上，并在曲柄上作用著常值轉矩試求曲柄的角加速度，各處的摩爆不計.

（3%+4%）?

人

解：取整體為研究對象，只有轉矩作功。應用微分、以

形式動能定理。

dT=dW（1）

系統(tǒng)動能7=T0A+T曲+4+7^）

1100

%二2（可知）。，

%二g.2的（，0尸\x2wi(2?)2<2?2

1&12

（cp⑦）,&=2咫⑵Sin(p-0)

TB=—W22ZCOS

T=（尸02（3利1+4m2）

元功d'W=Mod(p

@竽/(.1+4加2)=舷0?

代入式（1）得

一、，dodcp

因為畔:=E9--=0

dtdt

%

所以￡=

(3掰］+4.2)，2

10.圖示機構中，直桿AB質量為m,楔塊C的質量為m1，項角為6L當AB桿鉛垂下降

時，推動楔塊水平運動，不計各處摩擦，求楔塊C與AB桿的加速度.

次mgtgdmgtgid

aac=z，a二2

mtg9+mtg9+

解：取整體為研究對象.任一瞬時

丁12J2

T=2mv^+2miVc

由七=%+，，得vAJS=v+vr

Vc="tg0(1)

所以T=g加吮+gWi^ctg20=g(活+.Ftg20)V%

二dW=mgds

由dT=Yd'W^,

1

(m+9)vAsdvj1s=mgds)兩邊同除以dX,得

mg

aA￡=m+m^d

2

式（1）在任何時刻都成立，對式（1）求導得：ac=aj^tgd

1L在礦井提升設備中，鼓輪由兩個固連在一起的滑輪組成，總質量是m,對轉軸。的回

轉半徑是p.在半徑是0的滑輪上用鋼繩懸掛質量等于a1的平衡錘A,而在半徑是々的滑輪

上用鋼繩牽引小車B沿斜面運動.小車的質量是m2,斜面與水平面的傾角是a.已知在鼓輪

上作用著轉矩m，求小車上運動的加速度和兩根鋼繩的拉力.鋼繩的質量和摩擦都不計.

M)+(的八一啊勺sina)g勺、丁,?八、

r

答：a=------j-----J-----J——2Tx=的出----a)，＜8=w2(gsina+a)

mp+n勺+w2r2r2

解：1、由動能定理求小車加速度.取整體為研究對

象，應用微分形式定理.

dT=YdW(1)

T=+1(W？2)02+g陽宕

￡dW=M0d@+啊gdS1一搐2gds2sina

考慮到巨=",d(p=&=8,代入式(1)得

也/P]、也.M勺

P2T(也2+加方+的-y)=—(—+W]g—+的gsina)

dtr；r；d￡、r2

dvds)

由于---2=Cl，---=Vo

dtdt

dv2_Mo+伽1勺-加2勺sina)g

所以—222「

dtmp+演1勺+根20

2、應用質點運動微分方程求繩的拉力。

(1)取A為研究對冢。根1'=鈾g-TA

北二根追一加必1=也1他一一")

弓

(2)取小車為研究對冢。fn2a=TB-w2gsina

TB=w2a+w2gsina=(a+gsina)

12.句質輪A的半徑？質量是施】，可在傾角為8的固定斜面上純滾動.勺質輪B的半

徑是勺，質量是也2。水平剛度系數(shù)是c.假設系統(tǒng)從彈簧未變形的位置靜止釋放，繩與輪B

不打滑，繩的傾斜段與斜面平行，不計繩重和軸承摩擦；求輪心C沿斜面向下運動的最大距

離以及這瞬時輪心C的加速度。

答：ac=^^（沿斜面向上）

c融］+%

由,得

T2-TX=I.WO-O=/gs1Mxsm

2?2igsin&

1、求輪心C的加速度ac

設輪心C沿斜面向下運動的距離為s.

八

=0,T2=1W1VC+1

匕

「I

T2=9立+烏+3)-T

24外4r2

3212

二不F,十產(chǎn)匕

Z印=fn】gs?sin6-

、v2c

2

所以；14-w2?=Wjgssin-s

視s為變量，兩邊對時間t求導

V2

0/3ml+fn1=ngsin&v-csv

~22ce

/B2］加］gsin6-csi將S=M空吧代入得,

特

ac=----------------------

3%+%C

久=萼吧（沿斜面向上）

3m、+

13物體A質量物i，掛在不可伸長的繩索上；繩索跨過定滑輪B,另一端系在滾子C的

軸上，滾子C沿固定水平面流動而不滑動.已知滑輪B和滾子C是相同的勻質圓盤，半徑都

是r,質量都是加2。假設系統(tǒng)在開始處于靜止，試求物塊A在下降高度h時的速度和加速度.

繩索的質量以及滾動摩阻和軸承摩瘵都不計.

猿3約gh㈣

答：y=-------,a=------g

、幽1+2的+2加2

解：取整體為研究對象。

?!=0

T2=TA+T￡+TC

=；I%+2活2/

￡取=

由T「T\=￡W

得-(附1+2冽2*2=僧igh，V2=2加1旗(1)

2%+2%

2%g以

1%+2m

對式（1）兩邊求導得

mx+2m,

14.外嚙合的行星齒輪機構放在水平面內(nèi)，在曲柄0A上作用著常值轉矩弧，來帶動齒

輪1沿定齒輪2流動而不滑動。已知齒輪1和2分別具的質量洶］和52,并可看成半徑是勺和

「2的句質圖盤；曲柄具有質量m,并可看成句質細桿.已知機構由靜止開始運動，試求曲柄

的角速度和轉角*之間的關系.摩擦不計.

答:2SE

勺+巳)2m+9搐1

解：取整體為研究對象。

由運動學得知vA=力+々。

看二0

=*?勺+々再9活］+2m?

在水平面重力與支承力不作功，有

二甲=川加

由心一看=工用

得—(/j+々139ml+2/i=M。。

勺+0'2m+9%

15.小球具有質量m=0.2kg,在位置A時彈簧被壓縮4=75mm.小球從位置A無初速

地釋放后沿光滑軌道ABCD運動.已知r=150MM,求彈簧剛度系數(shù)的容許最小值.

答：c=366N/m

解：1.先求小球能沿軌道ABCD運動時在C點的最小速度vc.

在C點寫出小球的動力學方程

53

v2

mg+/=man=w—,

r5

小球不脫離軌道的條件是反力外出，即

v2

m--mg>0,

在FN=O的極限情況下，有mg=w—

r

匕=病

2,再應用機械能守恒定理求解.

取彈簧不變形位置為彈性力場的零點位置，取A點為重力場的零點位置。

&=。，匕1=5?簫;方=5mT=mgx3r

乙乙

由普+囁=%+%

得0+-c?=gmv^+mgx3r

c=366

1.已知條件和動能定理題1相同，試分別計算各物體的動量。

(a)a>/2,(b)K=muo=0

(c)K=mvc=mra>,(d)K=mvc=mra>

2,試求下列各物體系的動量：

(1)物體A和B各重％和GB,GA>GB,滑輪重G,并可看作半徑為r的勺質圓盤.

不計繩索的質量，試求物體A的速度是v時整個系統(tǒng)的動量.

⑵正方形框架ABCD的質量是邊長為L以角速度電繞定軸轉動；而勺質圓盤的

質量是取“半徑是r，以角速度町繞重合于框架的對角線BD的中心軸轉動.試求這物體系

的動量

B

V工

n____

解：(1)K=KA^KB,K=^V-馬"上9廠GB?方向向下.

ggg

II,

(2)K.=掰]，—電+Wa?萬⑦]=5'"5+%d。］

方向為垂直框架平面，順著a”前進方向。

3.物體A和B的質量分別是酒i和a2,借一繞過滑輪C的不可伸長的繩索相連，這兩個

物體可沿直角三棱柱的光滑斜面滑動，而三棱柱的底面DE則放在光滑水平面上,試求當物體

A落下高度h=10cm時，三棱柱沿水平面的位移。設三棱柱的質量搐==16根2，繩索和

滑輪的質量都不計。初瞄時系統(tǒng)處于靜止。

答：向右移動3.77m

解：取整個系統(tǒng)為研究對象.系統(tǒng)的外力只有鉛直方向的重力mig、igg、mg和法向反

力N.又因系統(tǒng)在初瞬時處于靜止，故整個系統(tǒng)的質心在水平方向x的位置守恒，即

三棱柱移動前系統(tǒng)質心的橫坐標

mx+mx+mx

x=-------=----l---1-------2---2--------,

c羽］+加？+也

設三棱柱沿水平面的位移是s,則移動后系統(tǒng)質心的橫坐標

冽151一%cot300+s1+冽JX】-----------sin30°+s+wix+si

j_\sin30")

=

啊+用2+也

由得三棱柱沿水平面向右的位移

島l\+f?2^x4+l

s=------!--------=-------------xlO=3.17cm<>

孫+咻+根4=1+16

4.圖示機構中，鼓輪A質量為加J轉軸0為其質心.重物B的質量為徵“重物C的質

量為切3?斜面光滑，傾角為6.已知B物的加速度為如求軸承。處的約束反力.

R

答：M*=%一ac°sd+啊gcosdsin6

r

r2R

%.=伽］+加2+w3)g-w3gcos6+冽3—asm6-m^a

解；取系統(tǒng)為研究對冢.

氣r

—=—所以

ac=-a

aR

由質心運動定理

二昭3=R

mzaccos9--JVsin9,其中2v'n^gcose

m3acsinQ-m^a-N0y—(也1+也2+^)g+Nc4sB

R

解得N°x-叫一acos0=m3gcos6sin9

r

2R

N0y=伽］+加2+切3)-w?gcos9-mz—asin9-m^a

5.勻質圓盤質量是n半徑是r,可繞通過邊緣。點且垂直于盤面的水平軸轉動.設國盤

從最高位苴無初速地開始繞軸。轉動,試求當圓盤中心C和軸。的連線經(jīng)過水平位置的隨時,

軸承0的總反力的大小.

膠"而

答:No=~^~tng

解一：設圓盤的中心C'與軸。的連線與鉛垂線成任意角度/,園

盤所受的外力和質心的加速度如圖(b).

由質心運動定理，有

ma0=mrq^=Nx+mgcos(p(1)

(0s

由積分形式的動能定理，有

*-。=

mgri1-cosqi

即mgr'l-cos(p)8)

故/■/=ggtl-COS0

(3)

把上時兩端對時間t求導.得

故

也可由微分形式的動能定理求出。，通過積分得。.

當e=工時，把式(3)和(4)分別代入式(1)和(2),得

2

“4

M=Jg，

11r21

Jv2=mg--mg=-mgo

總反力N的大小為

N=+咫=wg?

解二：可由剛體定軸轉動微分方程1,0=Z也,(20求。和0

(5用戶+wr2J^=wgrsin(p

，.2g

故<p=—sin<p,

3r

因為。=絲.竺=史空，積分有

dtdtpd(p

(和。二,1：smR。

福

02=—'1-COS<Z>I?

把式(5)和(6)分別代入式(1)和(2),可求出反力N1和Nm

解三可分別應用動能定理由式(3)求出角速度。，應用剛體定軸轉動微分方程由式(5)

求出角加速度“，再根據(jù)質心運動定理由式(1)和(2)求反力Ni和N?.

解四：根據(jù)達朗伯原理，在質心C'上加慣性力0〈=一網(wǎng)先，

6=一?J火以及矩為的慣性力偶(圖0,有

EF*=O,N、=-tngcos@

g%=0,憶=mrip-mgsin(p,

Zm0(F)=0,Zc^?+mrcfr-mgrsin0=0,

即

-2g

r0=—sin6

顯然，以上三式分別與式(l)s(2)s(4)相同.

也可以在點。上加慣性力0%=一池上和。,=一切以及矩為一/源的慣性力偶(圖4,

仍可得到相同的結果.

6.勻質曲柄0A重5,長r,受力偶作用以角度。轉動，并帶動總重色的滑槽、連桿和

活塞B作水平往復運動。已知機構在鉛直面內(nèi)，在活塞上作用著水平常力F.試求作用在曲

柄0上的最大水平分力?；瑝K質量和摩擦都不計.

2

答：叫=尸+受(G+2G?)

2g

解一:取整個系統(tǒng)為研究對象,受力如圖a所示。

將質心運動定理的方程投影到水平軸x上,可得

(1)

其中

二mx_GJ0.5/CQSa)t)4-G2+rco

G]+G.

——?——叵+2弓

rcos0r4-2G2Z>]

f

2(G1+G2r

故x=----------?5+2G202cos(Dt,(2)

c2iG]+G?)

:寸..cacos魏(r2,2)COSa

k爾=-IGg+GA)-------=-Gx—ar+G2xr(D--------

12gI