電磁場(chǎng)與電磁波（第4版）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——電磁場(chǎng)與電磁波（第4版）2.3電荷q均勻分布在半徑為a的導(dǎo)體球面上，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度?繞通過球心的z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，試計(jì)算導(dǎo)體球面上的面電流密度。

解導(dǎo)體球上的面電荷密度為

?S?q4?a2球面上任一點(diǎn)的位置矢量為r?era，當(dāng)導(dǎo)體球以角速度?繞通過球心的z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，該點(diǎn)的線速度為

v???r?ez??era?e??asin?

則得導(dǎo)體球面上的面電流密度為

JS??Sv?e?

q?sin?4?a42??432.6平行板真空二極管兩極板間的電荷體密度為????0U0dx3，陰極板位于x=0處，陽極板位于x=d

9處，極間電壓為U0；假使U0?40V,d?1cm，橫截面s?10cm2，求：（1）x=0至x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）

x=d/2至x=d區(qū)域的總電荷量。

解（1）q1??V1?dV??(??0U0d?43x?23)Sdx?

0d494?0U0S??4.72?10?11C3dd4?43?23（2）q2???dV??(??0U0dx)Sdx?

V2d2941?(1?3)?0U0S??0.97?10?11C3d2?

2.7在真空中，點(diǎn)電荷q1??0.3?c位于點(diǎn)A(25,-30,15)cm；點(diǎn)電荷q2?0.5?c位于點(diǎn)B(-10,8,12)cm。求：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）點(diǎn)P(15,20,50)cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解（1）源點(diǎn)的位置矢量及其大小分別為

r1??ex25?ey30?ez15cm,r2???ex10?ey8?ez12cm,E0?1[q1r1??252?302?152?41.83cmr2??10?8?12?17.55cmq2r0?r2?3222

而場(chǎng)點(diǎn)O的位置矢量r0?0，故坐標(biāo)原點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

4??0r0?r1?(r0?r?)?3(r0?r?)]

1??0.3?10?6?(?ex25?ey30?ez15)?10?2???234??0?(41.83?10)0.5?10?6?2?(e10?e8?e12)?10xyz?(17.55?10?2)3??ex92.37?ey77.62?ez94.37KV/m

（2）場(chǎng)點(diǎn)P的位置矢量為

rP?ex15?ey20?ez50cm

故

2－1

rP?r1???ex10?ey50?ez35rP?r2??ex25?ey12?ez38則

1??0.3?10?6?2Ep?(?e10?e50?e35)?10??xyz34??0??rP?r1??0.5?10?6?2(ex25?ey12?ez38)?10?3rP?r2????ex11.94?ey0.549?ez12.4KV/m

2.9無限長線電荷通過點(diǎn)（6，8，0）且平行于z軸，線電荷密度為?l；試求點(diǎn)P(x,y,z)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E。解線電荷沿z方向?yàn)闊o限長，故電場(chǎng)分布與z無關(guān)。設(shè)點(diǎn)P位于z=0平面上，如題2.9圖所示，線電荷與點(diǎn)P的距離矢量為

R?ex?x?6??ey?y?8?R?eR??x?6???y?8?

Rex?x?6??ey?y?8??22R?x?6???y?8??l?l?ex(x?6)?ey(y?8)R???l?

2??0RR2??0R2??0(x?6)2?(y?8)222根據(jù)高斯定律得點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E?eR

2.11三根長度均為L、線電荷密度分別為?l1、?l2和?l3的線電荷構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，設(shè)?l1?2?l2?2?l3，試求三角形中心的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解根據(jù)題意建立題2.11圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為

d?L3tan30?L26y直接利用有限長直線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式

Er?得

?l1(cos?1?cos?2)4??0rE1?l3E2?l2E3?l13?l1(cos30?cos150)?ey4??0d2??0L3?3?l1E2??(excos30?eysin30)l2??(ex3?ey)

2??0L8??0L3?3?E3?(excos30?eysin30)l3?(ex3?ey)l1

2??0L8??0LE1?ey故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E?E1?E2?E3?

o?l1題2.11圖

x

ey

3?l13?l13?l13?l1?(ex3?ey)?(ex3?ey)?ey

2??0L8??0L8??0L4??0L2－2

2.13自由空間有三個(gè)無限大的均勻帶電平面：位于點(diǎn)(0,0,-4)處的平面上?S1?3nC/m，位于點(diǎn)(0,0,1)處的平面上?S2?6nC/m，位于點(diǎn)(0,0,4)處的平面上?S3??8nC/m。試求以下各點(diǎn)的E：（1）P（2）1?2,5,?5?；

222P,?5,2?。（3）P2??2,4,5?；3??1解無限大的均勻面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為均勻場(chǎng)，利用前面的結(jié)果得（1）E1??ez?S1??1?ezS2?ezS3??ez?3?6?8??10?9?2?02?02?02?01?10?9??ez56.49V/m?122?8.85?10?S1?S2?S31?9E?e?e?e?e3?6?8?10?ez56.49V/m??（2）2zzzz2?02?02?02?0?S1?S2?S31E?e?e?e?e?3?6?8??10?9?ez960.5V/m（3）3zzzz2?02?02?02?0?ez

2.15半徑為a的球形體積內(nèi)充滿密度為??r?的體電荷。若已知球形體積內(nèi)外的電位移分布為

?er?r3?Ar2?,0?r≤a?D?erDr??a5?Aa4

,r≥a?er2?r式中A為常數(shù)，試求電荷密度??r?。

解由?D??，得

1d2?(r)??D?2(rDr)

rdr故在0?r?a區(qū)域，有

1d23?(r)?2[r(r?Ar2)]?5r2?4Ar

rdr在r?a區(qū)域

1d2(a5?Aa4)?(r)?2[r]?02rdrrz?ddIoba?題2.16圖

2.16一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為q,當(dāng)球體以均勻角速度?繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)（如題2.16圖所示），試求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B

解導(dǎo)體球面上的面電荷密度為?S?q?繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量2，當(dāng)球體以均勻角速度

4?ar?era點(diǎn)處的電流面密度為

JS??Sv??Sω?r??Sez??era

?q?e???Sasin??e?sin?

4?a將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為dl?ad?的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為dl?ad?細(xì)圓環(huán)的電流為

?qdI?JSdl?sin?d?

4?該細(xì)圓環(huán)的半徑為b?asin?，細(xì)圓環(huán)平面到球心的距離d?acos?，利用電流圓環(huán)的軸線上任一點(diǎn)的磁場(chǎng)公式，

可得到該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

dB?ez

?0b2dI2(b2?d2)32?0?qa2sin3?d??0?qsin3?d??ez?ez2222328?(asin??acos?)8?a2－3

故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為

B??dB???0?0?qsin3???qezd??ez0

8?a6?a

2.18一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬度為2a，中心線與z軸重合，通過的電流為I。試證明在第一象限內(nèi)任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

Bx???0I?4?a?IrBy?0ln(2)

4?ar1Idx?。根據(jù)安培環(huán)路定理，可2a式中的?、r1和r2如圖2.18圖所示。

解將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個(gè)寬度為dx?的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流dI?得到位于x?處的細(xì)條帶的電流dI在點(diǎn)處的磁場(chǎng)為

dB?e?故

?0dI?Idx??0Idx??e?0?e?2?R4?aR4?a[(x?x?)2?y2]124?a[(x?x?)2?y2]?0I(x?x?)dx?dBy?dBcos??

4?a[(x?x?)2?y2]則得

dBx??dBsin????0Iydx?y

dB?2?P(x,y)

r2?aIRr1?1?x?ax

Bx???a?0Iydx?4?a[(x?x?)2?y2]?0Ix??xa??arctan()

4?ay?a?a

題2.18圖（附）

?0I?a?x?a?x?arctan()?arctan()?4?a?yy???I?x?ax?a???0?arctan()?arctan()?

4?a?yy??I?I??0(?2??1)??0?

4?a4?aa?0I(x?x?)dx??0I22?By????ln[(x?x)?y]?a4?a[(x?x?)2?y2]8?a?0I(x?a)2?y2?0Ir2?ln?ln228?a(x?a)?y4?ar1??

2.21下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場(chǎng)？假使是，求出其源量J。（1）H?e?a?,a

?aB??0H（圓柱坐標(biāo)系）

B??0H

（2）H?ex??ay??eyax,（3）H?exax?eyay,（4）H?e?ar,

B??0H

B??0H（球坐標(biāo)系）

2－4

解根據(jù)靜態(tài)磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，只有滿足?B?0的矢量函數(shù)才可能是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，對(duì)于磁場(chǎng)矢量，則可由方程J???H求出源分布。

（1）在圓柱坐標(biāo)中?B???1?(?B?)?0(a?2)?2a?0?0??????可見矢量H?e?a?不是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量。（2）在直角坐標(biāo)系中

?B???(?ay)?(ax)?0?x?y故矢量H?ex??ay??eyax是磁場(chǎng)矢量，其源分布為

exeyez???J???H??ez2a

?x?y?z?ayax0????B?(ax)?(?ay)?0（3）

?x?y故矢量H?exax?eyay是磁場(chǎng)矢量，其源分布為

exeyezJ???H?????0

?x?y?zax?ay0（4）在球坐標(biāo)系中

??B?1?B?1??(ar)?0

rsin???rsin???故矢量H?e?ar是磁場(chǎng)的場(chǎng)矢量，其源分布為

er1?J???H?2rsin??r0re????0rsin?e???eracot??e?2a??ar2sin?

2.22通過電流密度為J的均勻電流的長圓柱導(dǎo)體中有一平行的圓柱形空腔，其橫截面如題2.22圖所示。試計(jì)算各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并證明空腔內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的。

解將題給的非對(duì)稱電流分布分解為兩個(gè)對(duì)稱電流分布的疊加：一個(gè)是電流密度J均勻分布在半徑為b的圓柱內(nèi)，另一個(gè)是電流密度?J均勻分布在半徑為