第六章 定積分的應用

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一．基礎題

1．如圖6—1,求曲線y?lnx與x?形的面積．

解A?1，x?10及x軸所圍圖1010?101/10lnxdx???11/10lnxdx??1lnxdx

1(99ln10?81)．圖6—11010??[?xlnx?x]|11/10?[xlnx?x]|12．如圖6—2，拋物線y2?2x把圓x2?y2?8分成兩個部分，求這兩個部分的面積之比．

解

A2?2?(8?y2?0212y1y)dy?[y8?y2?8arcsin?y3222320]|?2??4，34A9??2，從而1?．3A23??2A1?8??A2?6??3．求對數螺線??ae?(??????)及射線???所圍圖形的面積．圖6—2

1?12?2?12?2?a22??2(e?e?2?)．解A??(ae)d??a?ed??a?ed2??????2??244334．求內擺線x?acost，y?asint（a?0）所圍圖形的面積．

解A?2?02?0asint?3acostsintdt?3a42322?2?0sin4tcos2tdt

?12a??/2312?3a26a23a2I(2,2)?I(0,2)?I(0,0)??a2．sintcostdt?84?22?245．求曲線??asin?，??a(cos??sin?)（a?0）所圍圖形的面積．解如圖6—3所示：聯立兩曲線的方程，解之得，兩曲線的交點為(0,0)和(?2,a)，故

S1???/21?cos2?11(asin?)2d??a2?d?0022211112/2?a2(??sin2?)|???a02248?/23?43?1?2?24[2asin(??)]d??a??sin2(??)d?2442S2???2圖6—3

1

???4?t?2a21?cos2ta?3dt?a?

?84242?a2a2?(??1)．于是所求面積為：S?S1?S2?a?a?8844?2?26．求曲線y?面圖形的面積最?。?/p>

x的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x?0，x?2所圍成的平

解設(x0,x0)為曲線上任意一點，則該點處的切線方程為

x0x1?y?x0?(x?x0)，即y?22x2x00于是，該曲線與切線l及直線x?0，x?2所圍成的平面圖形的面積為A(x0)??20(xx142?0?x)dx?x0??，x0?0

232x0x0又A?(x0)?1111，A??(x0)??，??3532x02x04x04x01?0，2令A?(x0)?0得x0?1（唯一），而A??(1)?故當x0?1，即所求切線方程為y?2x?1時，所求面積會最?。?27．假設曲線l1：y?1?x(0?x?1)，x軸和y軸所圍成區(qū)域被曲線l2：y?ax分為面積相等的兩個部分，其中a是大于零的常數，試確定a的值．

1?x?2???y?1?x?1?a(0?x?1)解由?，解得；?2??y?ax?y?a?1?a?故曲線l1與l2的交點坐標為P(11?a1a,)，從而有：1?a1?a1S1??012，[(1?x)?ax]dx?[x?(1?a)x3]01?a?331?a22102S1?S1?S2??(1?x2)dx?于是S1?

2，3121?，得a?3．，因此331?a32

8．如圖6—4：設曲線方程為y?x?21，梯形OABC的面積為D，曲邊梯形2OABC的面積為D1，點A的坐標為(a,0)，a?0，證明：

D2?．D13111a(1?a2)2解依題意，D?a(??a)?，

22221aa2D1??(x?)dx??，

0223a2D3(1?a2)3(1?a2)2于是???．圖6—422D13?2a2?2a39．拋物線y?4ax及直線x?x0（x0?0）所圍圖形繞x軸旋轉，計算所得旋轉體的體積．

解V?2?x00x0?y2dx????4axdx?[2a?x2]0?2a?x02．

0x010．設D是曲線y?sinx?1與三條直線x?0，x??，y?0所圍成的曲邊梯形，求D繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積．

解V???1?cos2x?(sinx?1)2dx???[?sinx?1]dx?(8?3?)．

022??011．求平面曲線x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（a?0），0?t?2?，繞x軸旋轉所圍成的立體的體積．

解V???2a?0ydx??a23?2?0(1?cost)3dt

2?3??a3?[1?3cost?(1?cos2t)?(1?sin2t)cost]dt

023312???a3[t?4sint?t?sin2t?sin3t]|0?5?2a3．

24312．在曲線y?x(x?0)上某點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍圖形面積為

21，試求：（1）切點A的坐標；（2）過切點A的切線方程；12（3）由上述所圍平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積．解設切點A的坐標為(x0,x02)(x0?0)，則切線方程為：

22y?x，即?2x(x?x)y?2xx?x00000；

3

依題意：

?x020y?x021(?y)dy?，則x0?1，從而2x012（1）切點A的坐標為(1,1)；（2）過A的切線方程為y?2x?1；

（3）所求旋轉體的體積為V??10?x4dx??1?(2x?1)2dx?21?5??6??30．

x2y213．求平面曲線2?2?1繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積．

aby2y3b422解V???xdy??a?(1?2)dy??a[y?2]|?b??ab．

?b?bb3b3b22b14．曲線y?(x?1)(x?2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積．

解V??0?y?)2?(?y?)2]dy???16y?dy1?[(?4?432143214014?13?4?(y?)2|01?．

4?4215．證明：由平面圖形0?a?x?b，0?y?f(x)繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為

V?2??xf(x)dx．

ab證如圖6—5，在x軸上x點處取一底邊長為dx的小曲邊梯形ABCD，則它繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為

dV?2?xf(x)dx，

于是平面圖形繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為V??ba2?xf(x)dx?2??xf(x)dx．圖6—5

ab16．求曲線y?sinx，0?x??，和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積．

解V?2??aba?2xf(x)dx?2??xsinxdx??2?[xcosx|?0?sinx|0]?2?．

0?22217．求圓盤x?y?a繞x??b(b?a?0)旋轉所成的旋轉體的體積．

解V????a(b?a?y)dy???(b?a2?y2)2dy

?a222a4

?8?b?a01a2?y2dy?8?b??422a?2?22a．b2218．求由兩個圓柱面x2?y2?a2與z?x?a所圍立體的體積．

解圖6—6所示的為該立體在第一卦限部分的圖像，對?x0?[0,a]，平面x?x0與這部分立體的截面是一個邊長為a?x0的正方形，

所以A(x)?a2?x2，x?[0,a]，從而所求體積為：

22V?8?(a2?x2)dx?0a163a．圖6—6319．如圖6—7，直橢圓柱體被通過底面短軸的斜平面所截，試求解得楔形體的體積．解如圖建立直角坐標系，此時底面邊界曲線方程是

x2y2??1，x?0

10016頂面的傾斜角為?，有tan??51?．102過?x?[0,10]，作截面垂直于x軸，與楔形體的交面是矩形，其高為h?xtan??于是所求體積為：

1x，長為2y，2V??1003210240022210h?2ydx??x100?xdx??(100?x)|0?．圖6—7

5015320．求曲線y?sinx(0?x??)繞x軸旋轉所得的旋轉曲面的面積．解S?2???0f(x)1?f?2(x)dx?2??sinx1?cos2xdx

0???2???01?cos2xdcosx???[cosx1?cos2x?ln(cosx?1?cos2x)]?0

?2?[2?ln(2?1)]．

21．求曲線x?a(t?sint),y?a(1?cost)（a?0,0?t?2?）繞x軸旋轉所得的旋轉曲面的面積．

解S?2??2?0a(1?cost)a2(1?cost)2?a2sin2tdt

5

?4?at(1?cots)sidnt?022?t1t13t?4?a2?(sin?sin?sin)dt

022222t13t2?642?4?a2[?3cos?cos]0??a．

232322?22．計算曲線y?x(3?x)相應于1?x?3的一段弧的長度．311?1?，所以所求弧長為x，故1?y?2??x??22?x?解由于y??12x?13?1?1?23/24?3．s???x?dt?x?2x|?23???1?21?233x???23．求擺線??x?1?cost的一拱(0?t?2?)的弧長s．

?y?t?sint22解由于ds?sint?(1?cost)dt?所以s?t2(1?cost)dt?2sindt

2?2?0t2sindt?8．

224．一個半球形（直徑為20米）的容器內盛滿了水，試問把水抽盡需作多少功？解如圖6—8建立坐標系，這時半球的截面半圓周方程為x?y?100，x?0．

要將區(qū)間[x,x?dx]內一段圓臺形水抽出半球面，需做功

22?W?dW??y2dx?103?g?x．于是把水抽盡需作功為

W??100?g?103xy2dx??g?103?x(100?x2)dx圖6—8

010?25?g?10?7.70?10(J)．

25．長10米的鐵索下垂于礦井中，已知鐵索每米的質量為8千克，問將此鐵索提出地面需作多少功？

解如圖6—9建立坐標系，將一段位于區(qū)間[x,x?dx]間的鐵索提出地面需做功?W?dW?8?dx?g?x

于是將此鐵索提出地面需作功W?57?1008gxdx?4?102g?3.92?106(J)．圖6—9

26．半徑為r的球體沉入水中，其比重與水一致．試問將球體從水中撈出需作多少功？

6

解如圖6—10建立坐標系，由于球的比重與水一致，故欲將位于區(qū)間[x,x?dx]的球臺提升到[x?2r,x?dx?2r]位置，其前一段位于水中時不用作功（重力與浮力一致），而作功只是從離開水面時才開始，由于圓周方程為

(x?r)2?y2?r2，

從而有

dW??y2dx?103?g?(2r?x)

于是將球體從水中撈出需作功圖6—10W??g?10??g?103?2r0(2r?x)[r2?(x?r)2]dx

3?2r0(4r2x?4rx2?x3)dx

2244r3x42rx?]|0??gr4?103．??g?10[2rx?334327．有一等腰梯形閘門，它的上，下兩條底邊各長為10米和6米。

高為20米．計算當水面與上底邊相齊時閘門一側所受的靜壓力．

解如圖6—11建立坐標系，過兩點A(20,3)，B(0,5)的直線方程為：

y?5x?01?x?5，即y??3?520?010從而，位于區(qū)間[x,x?dx]上的一段閘門條上，所受到水的靜壓力：

3dP?x?10?g?2y?dx?2?10gx(5?31x)dx10于是閘門一側所受的總靜壓力：P??32023?103gx(5?5221x)dx圖6—1110?2?10g[x??120x]|03022?9.8?105?14373.33(N)．328．設在坐標軸的原點有一質量為m的質點，在區(qū)間[a,a?l](a?0)上有一質量為

M的均勻細桿．試求質點與細桿之間的萬有引力．

M解細桿在[a,a?l]上點x處的線密度為，而從[x,x?dx]上的一段對質點的引

lkm?dMkmMdx?力（設k為引力常數）為：dF?2xlx2于是質點與細桿之間的萬有引力為：

7

F??a?lakmMdxkmM1a?lkmM?(?)|．?a2lxlxa(a?l)29．設有半徑為r的圓形導線，均勻帶電，電荷密度為?，

在圓心處有一單位正電荷．試求它們之間作用力的大?。?/p>

解如圖6—12建立坐標系，并采用半圓的參數方程

?x?rcos?,?0????．

?y?rsin?.從而對于在區(qū)間[?,??d?]?[0,?]上的小段導線，圖6—12

單位正電荷對它的作用力為：dF??k1??ds（設k為作用力常數）．r2?k??k?于是有：dFx?dF?cos??2cos?ds，dFy?dF?sin??2sin?ds．

rr由導線的對稱性，故水平分力dFx相互抵消，從而水平方向合力為零．

k??0r2sin?ds?k??k?22?sin?(?rsin?)?(rcos?)d?2?02rr?k??2k?sin?ds???．?0rr這里負號表示單位正電荷對導線的作用力與y軸方向相反．二．提高題

此時，垂直方向的合力為：Fy???1．在第一象限內求曲線y??x?1上的一點，使該點處的切線與所給曲線及兩坐標軸所圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積．

解設所求之點為(x1,y1)，于是y?|x?x1??2x，過(x1,y1)的切線方程為y?y1??2x1(x?x1)

2x12?1令x?0得切線的y軸截距b?x?1，令y?0得切線的x軸截距a?，

2x121于是所求面積為S(x1)?11112ab??(?x2?1)dx?(x13?2x1?)?，

024x13令S?(x1)?111111(3x12?2?2)?(3x1?)(x1?)?0得x1?；4x14x1x138

又S??(x1)|12?(6x?)|1?0，113x1?x1?4x133即所求點為(1212,)，此時S()?(23?3)．

93332．考慮函數y?sinx(0?x??2)，問：

（1）x取何值時，圖6—13中陰影部分面積S?S1?S2最?。浚?）x取何值時，圖6—13中陰影部分面積S?S1?S2最大？解S(t)??sinxdx??0t?2t(1?sinx)dx

?1?2cost?t??2，(0?x??2)

（1）S?(t)?2sint?1,S??(t)?2cost，令S?(t)?0得t?故當t???（唯一），又S??()??066?時，S達到最小值；圖6—136???（2）由于S(0)??1，S()?1，故當t?時，S達到最大值．

222?3．設曲線y?cosx(0?x?)與x軸和y軸所圍成區(qū)域被曲線y?asinx，

2y?bsinx(a?b?0)三等分，試確定a，b的值．

解依題意有

?arctan1ab0(cosx?asinx)dx??1?b20y1?(arccosy?arcsin)dy??2cosxdx

b301arctan?1a(sinx?acosx)|??0453?a?,b?即?，解得．b312y1?2221?b2(yarccosy?1?y?yarcsin?b?y)|0??b3?24．設直線y?ax與拋物線y?x所圍成圖形的面積為S1，它們與直線x?1所圍成的

圖形面積為S2，并且a?1．

（1）試確定a的值，使S1?S2達到最小，并求出最小值；

（2）求該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積V．

9

1a32?3a?a32解S1??(ax?x)dx?，S2??(x?ax)dx?，

0a66a22?3a?2a32a2?1（1）S(a)?S1?S2?，S?(a)?，S??(a)?2a?0；

62令S?(a)?0，故有a?222?2；即當a?時，此時S1?S2?．S1?S2達到最小，226（2）該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積為

211112222442V??()????xdx??2?xdx??2?(x)dx

0322222??30?2?1?2??．30305．已知一拋物線通過x軸上的兩點A(1,0)，B(3,0)．

（1）求證：兩坐標軸與此拋物線所圍成的圖形的面積等于x軸與此拋物線所圍圖形的

面積；

（2）計算上述兩個平面圖形繞x軸旋轉一周所得的兩個旋轉體的體積之比．

解（1）設過A，B兩點的拋物線方程為y?a(x?1)(x?3)（a?0時如圖6—14），則拋物線與兩坐標軸所圍圖形的面積為：

S1??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?00114|a|3拋物線與x軸所圍圖形的面積為：

S2??|a(x?1)(x?3)|dx?|a|?(x2?4x?3)dx?11334|a|3即得S1?S2．圖6—14（2）拋物線與兩坐標軸所圍圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積為：

V1???a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?0011382?a15162?a15拋物線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積為：

V2???a2[(x?1)(x?3)]2dx??a2?[(x?1)4?4(x?1)3?4(x?1)2]dx?1133即得

V119?．V2826．設拋物線y?ax?bx?c過原點，當0?x?1時，y?0，又已知該拋物線與x軸

10

及直線x?1所圍圖形的面積為

1，試確定a，b，c，使此圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉3體的體積V最?。?/p>

解由于曲線過原點，所以C?0；由題設有

?10(ax2?bx)dx?122ab12??，即b?(1?a)3233a2abb2?)以及V???(ax?bx)dx??(?0523a214(1?a)2]??[?a(1?a)?532712853?a?(1?a)]?0，得a??，代入b的表達式得b?；3327425453??0及實際狀況，知當a??，b?，C?0時，體積最小．又因V?(?)?413542令V?(a)??[a?7．設函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內大于零，并且滿足

253a22x（a為常數）xf?(x)?f(x)?，又曲線y?f(x)與x?1,y?0所圍的圖形S的面積2值為2，求函數f(x)，并問a為何值時，圖形S繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積最?。?/p>

解由題設，當x?0時，[的連續(xù)性得f(x)?f(x)xf?(x)?f(x)3a]???；據此并由f(x)在點x?0處2xx23a2x?Cx,x?[0,1]213a3aCaCx2?Cx)dx?(x3?x2)|1??，即C?4?a又2??(00222223a2x?(4?a)x；所求的旋轉體的體積為：因此f(x)?211116V(a)???[f(x)]2dx?(a2?a?)?

0303311令V?(a)?(a?)??0，得a??5

1531?0,，故當a??5時，旋轉體體積最?。諺??(a)?158．求由曲線x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(a?0)(0?t?2?)與直線y?0所圍成的圖形繞l軸旋轉一周所得旋轉體的體積，設軸l為（1）x軸；（2）y軸；（3）直線y?2a．

解（1）Vx??2?a0?y(x)dx???a2(1?cost)2a(1?cost)dt

202?11

??a（2）Vy?3?2?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2a3；

2a0?2a0?x(y)dy???x12(y)dy

?222????a2(t?sint)2asintdt???a2(t?sint)2asintdt

03????a（3）Vl???(t?sint)2sintdt?6?3a3；

02??2?a0?[(2a)2?(2a?y(x))2]dx

?4?a?4?a?2?a0y(x)dx??2?a0?y2(x)dx

?2?0a(1?cost)a(1?cost)dt?5?2a3?7?2a3．

9．求曲線y?3?|x2?1|與x軸圍成的封閉圖形繞直線y?3旋轉一周所得旋轉體的體積．

解作出圖6—15，?AB的方程為y?x2?2(0?x?1)，

?的方程為y?4?x2(1?x?2)，設旋轉體在區(qū)間BC[0,1]上的體積為V1，在區(qū)間[1,2]上的體積為V2，則

它們的體積元素分別為：

dV1??{32?[3?(x2?2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx

dV2??{32?[3?(4?x2)]2}dx??[8?2x2?x4]dx圖6—15

由對稱性得V?2(V1?V2)?2??2??(8?2x012?x)dx?2??(8?2x2?x4)dx

142?20(8?2x2?x4)dx?448?．1510．已知點A與B的直角坐標分別為(1,0,0)與(0,1,1)，線段AB繞z軸旋轉一周所得的旋轉曲面為S，求由S及兩平面z?0，z?1所圍成的立體體積．

解直線AB的方程為

?x?1?zx?1yz??，即?；在z軸上截距為z的水平面截此?111?y?z旋轉體所得的截面是一個圓，此截面與z軸交于點?(0,0,z)，與AB交于點M(1?z,z,z)，故圓截面半徑：r(z)?轉體的體積為V??1(1?z)2?z2，從而截面面積S(z)??(1?2z?2z2)；于是所求旋

22(1?2z?2z)dz??．?0312

11．設有曲線y?x?1，過原點作其切線，求由此曲線，切線及x軸圍成的平面圖形

1x，再以點

2x0?1繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的表面積．

解設切點為(x0,x0?1)，則過原點的切線方程為y?(x0,x0?1)代入，解得x0?2，即切線方程為y?由曲線y?S1?由直線段y?1x；2x?1（1?x?2）繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的表面積為

?212?y1?y?2dx???214x?3dx??6(55?1)

1x（0?x?2）繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的表面積為2S2?152??x??022dx?5?

2因此，所得的旋轉體的表面積為S?S1?S2??6(115?1)．

12．平面光滑曲線由極坐標方程r?r(?),?????（[?,?]?[0,?],r?0）給出，試求它繞極軸旋轉所得旋轉曲面的面積計算公式．

解曲線的參數方程為x?r(?)cos?,y?r(?)sin?，?????，且由[?,?]?[0,?]及r?0可知y?r(?)sin??0，故由x?(?)?y?(?)?r(?co?s?r可得所求面積為S?2?22s?i2n?)r?(?s?irn?2?)?2c?os?r2)??r(()???y(?)x?2(?)?y?2(?)d??2??r(?)sin?r?2(?)?r2(?)d?

?22x(x?1)3被拋物線y2?截得的一段弧的長度．332x3322解聯立兩曲線的方程，消去y，得(x?1)?，所以2x?6x?5x?2?0，

33解得x?2；

13．計算曲線y?又曲線與x軸的交點為(1,0)，由對稱性，有

3??2221??(x?1)2?dx?2?1?(x?1)dx

13???3?2s?2?21?

2?21223x?1dx?3x?1d(3x?1)

3?113

33332222852?(3x?1)2|1?(52?22)?[()2?1]．

999214．直徑為20cm，高為80cm的圓筒內充滿壓強為10N/cm的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功．

解由玻意爾－馬略特定理知：PV?10?(?102?80)?80000?當底面積不變而高減少x(cm)時，設壓強為p(x)(N/cm2)，則有

2p(x)??102?(80?x)?80000?，所以p(x)?又dW???102?p(x)dx，于是所作的功為：

2W????10?040800，80?x40800dxdx?8?104??

080?x80?x40??8?104?ln(80?x)|0?800?ln2(J)．

15．邊長為a和b的矩形薄板，與液體成?角斜沉于液體內，長邊平行于液面而位于深

h處，設a?b，液體的密度為?，試求薄板每面所受的壓力．

解如圖6—16，記x為薄板上點到近水面的長邊的距離，取x為積分變量，則x的變化范圍為[0,b]，對應小區(qū)間

[x,x?dx]，壓強為?g(h?xsin?)，面積為adx，

因此所求壓力為

bF???ga(h?xsin?)dx?01?gab(2h?bsin?)．圖6—16216．設有一長度為l，線密度為?的均勻細直棒，在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質量為m的質點M，試求這細棒對質點M的引力．

解如圖6—17所示，區(qū)間[x,x?dx]對質點M的引力大小為dF?k它在x軸，y軸上的分量分別為

m?dx

a2?x2dFx?dFsin??km?dxxm?x??kdx32222a?xa?x(a2?x2)2m?a(a2?x)322dFy??dFcos???kldx

故有Fx??0k11dx?km?(?)圖6—17322aa?l(a2?x2)214

m?x

Fy??k0?lm?a(a2?x)322dx??km?laa?l22．

三．考研題

1．（93，3分）雙紐線(x2?y2)2?x2?y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（）．

A．2??/40cos2?d?B．4?cos2?d?D．

?/40cos2?d?

C．2??/401?/42(cos2?)d??02解由方程可看出雙紐線關于x軸與y軸都對稱，

只需計算所圍圖形在第一象限部分的面積；雙紐線的直角坐標方程繁雜而極坐標方程較為簡單（如圖6—18）：?2?cos2?.

?4].

顯然，在第一象限部分?的變化范圍是：??[0,再由對稱性得S?4S1?4??/41?/42?d??2cos2?d?.應選(A).圖6—18??0022．（96，5分）求心形線r?a(1?cos?)的全長，其中a?0是常數.

解由極坐標下的弧微分公式得ds?r(?)2?r?(?)2?a(1?cos?)2?sin2?d??2acos?2d?，

由于r?a(1?cos?)以2?為周期，因而?的范圍是??[0,2?].又由于r(??)?r(?)，心形線關于極軸對稱.由對稱性知：s?2??0??ds(?)?4a?cosd??8a.

023．（03，10分）過坐標原點作曲線y?lnx的切線，該切線與曲線y?lnx及x軸圍成平面圖形D.（1）求D的面積A.（2）求D繞直線x?e旋轉一周所得旋轉體的體積V.

解（1）如圖6—19所示，曲線y?lnx在點(x0,y0)（y0?lnx0）處的切線方程為y?y0?1(x?x0)；x0由于切線過原點(0,0)，得x0?e，y0?1，所以該切線方程為y?x.e從而，圖形D的面積是A??10(ey?ey)dy?e?1.圖6—19215

（2）切線y?x，x軸與直線x?e所圍三角形繞x?e旋轉所得圓錐體的體積為e1V1??e2，而曲線y?lnx，x軸與直線x?e所圍曲邊三角形繞x?e旋轉所得旋轉體的

31121y2體積為V2???(e?ey)dy??(?e?2e?)

022e121或者V2??2?(e?x)lnxdx??(?e?2e?).

122因此所求旋轉體的體積為V?V1?V2??6(5e2?12e?3).

4．（2000．8分）設曲線y?ax2(a?0,x?0)與y?1?x2交于點A，過坐標原點和點A的直線與曲線y?ax2圍成一平面圖形，問a為何值時，該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積最大？最大體積是多少？

?y?ax21a?x?,y?解當x?0時，由?解得；21?a1?a??y?1?x故直線OA的方程為y?11?aax，所得旋轉體的體積為：1?a1V??0a2x2a2a251?a2?243(?ax)dx??[x?x]|0?1?a153(1?a)55232a2(1?a)52，

52a(1?a)?a?(1?a)2dV2??(4a?a2)2???，(a?0)7da15(1?a)515(1?a)2令

dV?0，并由a?0得唯一的駐點a?4；da由題意知此旋轉體在a?4時取最大值，其最大體積是V?2?16325?5??．152187555．（96．6分）設有一正橢圓柱體，其底面的長，短軸分別為2a,2b，用過此柱體底面的短軸且與底面成?角(0????2)的平面截此柱體，得一

楔形體（如圖6—20），求此楔形體的體積V．

x2y2解底面橢圓的方程為：2?2?1，以垂直與y軸的

ab平行平面截此楔形體所得的截面為直角三角形，兩直角邊長

圖6—20

16

a2y2y2y2(1?2)tan?，分別為a1?2及a1?2tan?；故截面積為S(y)?2bbb于是得楔形體的體積為V?2?b0a2y22a2b(1?2)tan?dy?tan?．2b3ex?e?x6．（97．10分）曲線y?與直線x?0,x?t(t?0)及y?0圍成的曲邊梯形，

2該曲邊梯形繞x軸旋轉一周得到一旋轉體，其體積為V(t)，側面積為S(t)，在x?t處的底面積為F(t)，求：

（1）

S(t)S(t)的值；（2）計算lim．

t???V(t)F(t)解（1）旋轉體的側面積為

?ex?e?x??ex?e?x?2S(t)??2?y1?y?dx?2????1???dx0022????tt2?ex?e?x??2????dx；02??t2?ex?e?x?S(t)2dx?2．旋轉體的體積為V(t)???ydx????；故?00V(t)?2?tt2?et?e?t?2（2）由于F(t)??y|x?t????，于是

2??2?et?e?t??ex?e?x?2?2?????dx022S(t)?????limlim?lim2t????et?e?t??et?e?tt???F(t)t????ex?e?x?2??????22???2??t22???

et?e?t1?e?2t?lim?1．?limtt???e?e?tt???1?e?2t7．（99，6分）為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（如

圖）.已知井深30m，抓斗自重400N，纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為3m/s，在提升過程中，污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉.現將抓起污泥的抓斗提升至井口，問戰(zhàn)勝重力需作多少焦耳的功？（說明：（1）1N?1m?1J；m，N，s，J分別表示米，牛頓，秒，焦耳.（2）抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.）

解法一作x軸如圖6—21，將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功

17

w?w1?w2?w3，

其中w1是戰(zhàn)勝抓斗自重所作的功，w2是戰(zhàn)勝纜繩重力所作的功，

w3為提出污泥所作的功.由題意知：w1?400?30?12000.

將抓斗由x處提升x?dx處，戰(zhàn)勝纜繩重力所作的功為

30dw2?50(30?x)dx，從而w2??50(30?x)dx?22500.圖6—21

0在時間間隔[t,t?dt]內提升污泥需做功為：dw3?3(2000?20t)dt，將污泥從井底提升至井口共需時間為

1030?10，所以w3??3(2000?20t)dt?57000.

03因此，共需做功w?12000?22500?57000?91500(J).

解法二在時間段[t,t??t]內做功為

3dt，?w?dw?[400?(2000?20t)?50(30?3t)]?將污泥從井底提升至井口共需時間為10s，因此，戰(zhàn)勝重力需作功w??100[400?(2000?20t)?50(30?3t)]?3dt?91500.

8．（03，10分）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打入土層，汽錘每次擊打，都將

戰(zhàn)勝土層對樁的阻力而做功.假設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數為k，k?0），汽錘第一次擊打將樁打進地下a(m).根據設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數r(0?r?1).問：（1）汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？

（2）若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？

分析設第n次擊打后，樁被打進地下xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為Wn（n?1,2,3,?）.由題設，已知當樁被打進地下深度為x時，土層對樁的阻力的大小為

kx，Wn?rWn?1.要求的是xn（n?3）及l(fā)imxn.

n??解法一（1）先逐一求出Wn（n?1,2,3），并相應地求出xn（n?1,2,3）.

k2k2x1?a，?022x2k2k222W2??kxdx?(x2?x1)?(x2?a).