高數(shù)8多元函數(shù)的極限與連續(xù)

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二元函數(shù)的極限

二元極限存在常用夾逼準(zhǔn)則證明

例1lim(3x?2y)?14

x?2y?1211??xsin?ysin，xy?0，例2函數(shù)f(x,y)??在原點(diǎn)（0,0）的極限是0.yx

xy?0.?0?二元極限不存在常取路徑

x2y例3證明：函數(shù)f(x，y)?4在原點(diǎn)（0，0)不存在極限.((x，y)?（0，0））4x?y與一元函數(shù)極限類似，二元函數(shù)極限也有局部有限性、極限保序性、四則運(yùn)算、柯西收斂準(zhǔn)則等.證明方法與一元函數(shù)極限證法一致，從略.

上述二元函數(shù)極限limf(x，y)是兩個(gè)自變量x與y分別獨(dú)立以任意方式無限趨近于

x?x0y?y0x0與y0.這是個(gè)二重極限.二元函數(shù)還有一種極限：

累次極限

定義若當(dāng)x?a時(shí)（y看做常數(shù)），函數(shù)f(x，y)存在極限，設(shè)當(dāng)y?b時(shí)，?(y)也存在極限，設(shè)

lim?(y)?limlimf(x，y)?B，

y?by?bx?a則稱B是函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(a，b)的累次極限.同樣，可定義另一個(gè)不同次序的累次極限，即

limlimf(x，y)?C.

x?ay?b那么二重極限與累次極限之間有什么關(guān)系呢？一般來說，它們之間沒有蘊(yùn)含關(guān)系.例如：1)兩個(gè)累次極限都存在，且相等，但是二重極限可能不存在.如上述例3.2)二重極限存在，但是兩個(gè)累次極限可能都不存在.如上述的例2.多重極限與累次極限之間的關(guān)系

定理若函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0）的二重極限與累次極限（首先y?0，其次x?0）都存在，則

?limlimf(x，y).limf(x，y）x?x0y?y0x?x0y?y0

二元函數(shù)的連續(xù)性

定理若二元函數(shù)f(P)與g?P?在點(diǎn)P0連續(xù)，則函數(shù)f(P)?g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)?0）都在點(diǎn)P0連續(xù)

f(P)g(P)

定理若二元函數(shù)u??(x，y)，v??(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù)，并且二元函數(shù)

f(u，v)在點(diǎn)(u0，v0)???(x0，，y0)，?(x0，y0)?連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)

f??(x0，，y0)，?(x0，y0)?在點(diǎn)P0(x0，y0)連續(xù).

1.用極限定義證明以下極限：

1)lim(4x?3y)?19；2）lim(x?y)sinx?2y?12x?0y?011sin?0；xyx2y2xy?03）lim2.(提醒：應(yīng)用?1.）22x?0x?y2x?yy?02.證明：若f(x，y)?x?y，(x?y?0)，則x?y??y?0x?0lim?limf(x，y)??1與limlimf(x，y)??1.

x?0??y?0??x4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y?mx)趨23(x?y)于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.（提醒：在拋物線y?x上探討.)

2x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)2x?y??（0，0）存在極限（關(guān)于D).5.求以下極限：1）limx?ysinxy；2）；limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?422x?0y?03）lim(x?y)In(x?y)；（提醒