《實數(shù)》教學(xué)設(shè)計

《實數(shù)》教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解無理數(shù)及實數(shù)的意義，并會對實數(shù)進(jìn)展分類;

2.了解實數(shù)的相反數(shù)和肯定值的意義，并會求一個實數(shù)的相反數(shù)的肯定值;

3.通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽及祖沖之關(guān)于圓周率的討論成果，對學(xué)生進(jìn)展愛國主義教育.

教學(xué)重點和難點

重點：無理數(shù)及實數(shù)的概念.

難點：對無理數(shù)的意義的理解及無理數(shù)的肯定值的求法.

教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)

問：有理數(shù)都包括哪些數(shù)?怎樣進(jìn)展分類?

答：假如按整數(shù)和分?jǐn)?shù)為標(biāo)準(zhǔn)，分類為

有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

假如按正數(shù)和負(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，分類為

有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

從算術(shù)中的數(shù)擴(kuò)大到有理數(shù)之后，擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，能夠解決更多的問題.例如

，在算術(shù)中，減法不能完全進(jìn)展，甚至連一個最簡潔的一元一次方程，如x+1=0也不能解.在有理數(shù)范圍內(nèi)減法可以通行無阻了，任何一個一元一次方程都可以解.這是由于引入了負(fù)數(shù).

我們在小學(xué)學(xué)過的圓周率，它不是有理數(shù)3.1415926是一個無限不循環(huán)小數(shù).

這節(jié)課我們就要爭論把有理數(shù)再連續(xù)擴(kuò)大的問題.

二、新課

1.實數(shù)

321.2599210，31.7320508，-7-2.6457513，3.1415926

這些數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù).如32，，3是正無理數(shù);-2，-，-33是負(fù)無理數(shù)。

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

實數(shù)有如下的分類方法：

假如按有理數(shù)和無理數(shù)分類，則有

實數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)無理數(shù)正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

由于有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，假如按正負(fù)概念為標(biāo)準(zhǔn)，實數(shù)又可分類為

實數(shù)正實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)零負(fù)實數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)

這里應(yīng)當(dāng)留意：

(1)有理數(shù)都可以化為小數(shù)，其中整數(shù)可以看作小數(shù)點后面是零的小數(shù)，例如5=5.0;分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，例如12=0.5(有限小數(shù))，13=0.3(無限循環(huán)小數(shù)).

(2)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，其中有開方開不盡的數(shù)，如2，33等，也有這樣的數(shù).

(3)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，也就是說，一切有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來

表示;而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù).

從有理數(shù)擴(kuò)大到實數(shù)之后，又進(jìn)一步擴(kuò)大了數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍，能夠解決更多的問題.例如，在有理數(shù)范圍內(nèi)不都能進(jìn)展開方運算.又如，多項式的因式分解也有局限性，對于x2-5就不能連續(xù)分解因式.但在實數(shù)范圍內(nèi)，上述問題都可以解決.

例1以下各數(shù)，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)?哪些是正實數(shù)?

-0.313131，2，-81，23，-327，3.14，7，0.4829，1.020230002，

-39，-3-0.5.

答案：

有理數(shù)有-0.313131，-81，23，-327，-0.4829，3.14.

無理數(shù)有2，7，1.020020232，-39，-3-0.5。

正實數(shù)有2，23，3.14，7.0.4829，1.0200200.02，-3-0.5.

留意：-3-0.5=30.5是正實數(shù);-81=-9及-327=-3是有理數(shù).

指出：推斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，應(yīng)從它們的定義去區(qū)分，不能從形式上去辨別，如帶根號的數(shù)不肯定是無理數(shù)，像上面的-81，-327就是有理數(shù).

例2推斷正誤，在后面的括號里對的用“”，錯的記“”表示，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).()

(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

答案：

(1)()無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020020002這類的數(shù)也是無理數(shù).

(2)()無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).

(3)()無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).

(4)()0是有理數(shù).

(5)()如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).

(6)()如81，雖然帶根號，但81=9，這是有理數(shù).

(7)()有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).

(8)()有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示.

2.實數(shù)的相反數(shù).

我們知道，在有理數(shù)中只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，便如3與-3，38與-38等.實數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)一樣.

假如a表示一個正實數(shù)，-a就表示一個負(fù)實數(shù)，a與-a互為相反數(shù)，0的相反數(shù)仍是0.如2的相反數(shù)是-2;-5的相反數(shù)是5;的相反數(shù)是-.

問：3-2的相反數(shù)是什么?3+2的相反數(shù)是什么?

答：可以把3-2及3+2分別看作一個整體，它們都是實數(shù)，因此3-2的相反數(shù)是-(3-2)=2-3;3+2的相反數(shù)是-3+2=-3-2.

3.實數(shù)的肯定值.

問：什么叫一個有理數(shù)a的肯定值?

答：|a|=a(a0)0(a=0)-a(a0).

和有理數(shù)的肯定值的意義一樣，一個正實數(shù)的肯定值等于它本身;一個負(fù)實數(shù)的肯定值等于它的相反數(shù);0的肯定值是0.

假如a表示實數(shù)，那么

|a|a(a0)0(a=0)-a(a0).

由上面可知，|a|是一個非負(fù)數(shù)，即|a|0.如|2|=2，|-3|=3.

例3求以下各數(shù)的相反數(shù)及肯定值：

(1)3-64;(2)3-.

分析：

(1)題依據(jù)3-a=-3a(a0)，求一個負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個負(fù)數(shù)的肯定值的立方根，再取它的相反數(shù).

(2)題中先推斷3與的大小，再求3-的肯定值.

解(1)由于3-64=-364=-4，所以3-64的相反數(shù)是4，|3-64|=4.

(2)3-的相反數(shù)是-(3-)=-3.

由于3所以3-0，因此|3-|-(3-)=-3+=-3.

例4已知一個數(shù)的肯定值是3，求這個數(shù).

解：設(shè)這個數(shù)為a，依據(jù)題意，有|a|=3.

由于|3|=3，|-3|=3，所以a=3，即肯定值是3的數(shù)為3.

例5求以下各式中的實數(shù)x

(1)|x|=364125;(2)|x|=|-|;(3)求滿意|x|421的整式x.

分析：依據(jù)實數(shù)的肯定值的意義求x.

解(1)364125=45.

這是由于|45|=45,|-45|=45,所以肯定值為364125的數(shù)為45.

(2)||=|-|=.

由于||=，|-|=.所以肯定值等于|-|的數(shù)是.

(3)由于|x|421的整數(shù)x的幾何意義是，在數(shù)軸上到原點的距離小于412的點所表示的所在整數(shù)，如圖可以用數(shù)軸上的點表示已知條件|x|412，所以滿意|x|412的整數(shù)x為-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

缺圖

二課常練習(xí)

1.以下各數(shù)，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)?哪些是實數(shù)?(口答)

-3.14，，32，-0.358，1681，1.732

2.求以下各實數(shù)的相反數(shù)及肯定值：

3-7;(-2)21-;5;-2-3;a-a(a

3.x為何值時，以下各式成立：

(1))|x|x=1;(2)|x|-x=1;(3)2x|x|=-2;(4)|x|+x=0.

四、小結(jié)

1.推斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，肯定要依據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)這一本質(zhì)屬性去推斷，開方開不盡的數(shù)，如2，5等都是無理數(shù).但無理數(shù)不包括這類數(shù)，如是無理數(shù)，而它不是由開方得到的.

2.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).實數(shù)的相反數(shù)及肯定值的意義與有理數(shù)完全一樣，任何

實數(shù)的肯定值都是一個非負(fù)數(shù)，若a表示實數(shù)，則|a|0.

3.對實數(shù)進(jìn)展分類，要先選定分類的標(biāo)準(zhǔn)，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就有不同的分類方法，分類后要留意全部的數(shù)不能重復(fù)和遣漏.

五、作業(yè)

1.以下各數(shù)，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?哪些是實數(shù)?

-3，-38，1.732，0.2，0.13，35，-2.73478，227.

2.推斷正誤，并說明理由.

(1)在理數(shù)是實數(shù);()(2)實數(shù)是無理數(shù);()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù);()(4)帶根號的數(shù)都是無理數(shù);()

(5)0是實數(shù);()(6)0是無理數(shù);()

(7)0是有理數(shù);()(8)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

3.求以下各數(shù)的相反數(shù)和肯定值：

(1)2.5;(2)-7;(3)-5;(4)0;(5)3-2;(6)-3.

4.求以下各式中的實數(shù)x;

(1)|x|=23;(2)|x|=0;(3)|x|=10;(4)|x|=2.

附我國古代數(shù)學(xué)家關(guān)于的討論.

圓的周長與直徑的比值是一個常數(shù)，它是一個無理數(shù)，我們可以用有理數(shù)來近似表示

它.

求無理數(shù)的近似值，我國古代數(shù)學(xué)家早已作出了巨大的奉獻(xiàn)，在東漢初年的數(shù)學(xué)書《

周髀算經(jīng)》里已經(jīng)載有“周三徑一”，稱之為“古率”，就是說，直徑是1的圓，它的周長是3.

到了西漢末年，劉歆(約分元前50年到公元23年)定圓周率為3.1547，到了東漢時代，張衡(公元78-139年)求得兩個比，一是9229=3.17241，另一個是10，約等于3.1622.(印度數(shù)學(xué)家羅笈多也曾定圓周率為10，但已遲于張衡500多年.)

到了三國時，魏人劉徽(公元263年)創(chuàng)立了求圓周率的精確值的原理，他用割圓術(shù)求得圓周率的前三位